Convergenza puntuale ed uniforme
Salve ragazzi,vorrei portare alla luce un altro argomento che mi sta dando non pochi problemi. Il calcolo della convergenza puntuale e uniforme(nonchè totale,a volte) di serie di funzioni.
La funzione che propongo(presa da un compito d'esame) è la seguente:
L'esercizio richiede lo studio di convergenza puntuale e uniforme. Vorrei chiedervi una grossa cortesia,la spiegazione più o meno approfondita del perchè accada una certa cosa,in maniera tale da poter capire quei concetti che ancora mi sfuggono. Grazie
La funzione che propongo(presa da un compito d'esame) è la seguente:
L'esercizio richiede lo studio di convergenza puntuale e uniforme. Vorrei chiedervi una grossa cortesia,la spiegazione più o meno approfondita del perchè accada una certa cosa,in maniera tale da poter capire quei concetti che ancora mi sfuggono. Grazie
Risposte
Try to write the series correctly. You can draw it if you want, it will be enough.
I fixed it. It should be good now.
ripropongo ragazzi!
Ciao MrEngineer ,
Allora consideriamo una successione di funzioni ${f_n(x)}$, con $n = 0,1,2, . . .,$ definite in un
intervallo $I ⊆ RR$ . Fissiamo un punto $x_o ∈ I $ e consideriamo i valori assunti dalle funzioni
$f_n$ in questo punto; possiamo così definire la successione numerica ${f_n(x_o)}$, a partire dalla
quale possiamo costruire la serie numerica $\sum_{n=1}^\infty f_n(x_o)$ Che indicheremo con : ($\zeta$)
Adesso , considerata una successione di funzioni $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ , diremo che e tale successione di funzioni converge
puntualmente se la successione numerica ($\zeta$) è convergente. [Ci basta dunque dimostrare la convergenza di
$\sum_{n=1}^\infty f_n(x_o)$ per dimostrare la convergenza puntuale di $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ ]
Inoltre l'insieme $H ⊆ I$ dei punti in cui $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ converge , è detto intervallo di convergenza ( puntuale ).
All'atto pratico dunque ci basterà inquadrare il dominio di definizione $I$, e andare a considerare un $ x_o in I$ e verificare la convergenza di ($\zeta$) che è una normalissima serie numerica come in Analisi 1
Detto ciò , quando una serie di funzione converge uniformemente? Diremo che una serie di funzione $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ ]
converge uniformemente se la successione delle somme parziali $S_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+....+f_n(x) $ converge
uniformemente.
Possiamo in altro modo studiare la convergenza uniforme , soprattutto se risulta complicato esplicitare $S(x)$, considerando lo studio della convergenza totale , che essendo ''più forte'' ci assicura l'uniforme.
Preso un $I ⊆ RR$ diremo che la serie di funzioni $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ converge totalmente se:
1) $EE (M_n)_n$ con $n in RR $ , una successione di numeri reali non tutti negativi , tale che $ |f_n(x)|<= M_n $
2)$\sum_{n=1}^\infty M_n$ è convergente
Ci basterà dunque trovarci un $M_n$ attraverso delle disuguaglianze , oppure uguagliandolo all'estremo superiore della funzione $|f_n(x)|$
Tutto questo perchè ovviamente sappiamo che: Totale $\rightarrow$ Uniforme $\rightarrow$ Puntuale
Fatte queste precisazioni , prova a trovare una soluzione alla tua serie e postala. Spero di aver risolto tutti i dubbi riguardo la teoria e/o metodologie di risoluzione
Allora consideriamo una successione di funzioni ${f_n(x)}$, con $n = 0,1,2, . . .,$ definite in un
intervallo $I ⊆ RR$ . Fissiamo un punto $x_o ∈ I $ e consideriamo i valori assunti dalle funzioni
$f_n$ in questo punto; possiamo così definire la successione numerica ${f_n(x_o)}$, a partire dalla
quale possiamo costruire la serie numerica $\sum_{n=1}^\infty f_n(x_o)$ Che indicheremo con : ($\zeta$)
Adesso , considerata una successione di funzioni $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ , diremo che e tale successione di funzioni converge
puntualmente se la successione numerica ($\zeta$) è convergente. [Ci basta dunque dimostrare la convergenza di
$\sum_{n=1}^\infty f_n(x_o)$ per dimostrare la convergenza puntuale di $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ ]
Inoltre l'insieme $H ⊆ I$ dei punti in cui $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ converge , è detto intervallo di convergenza ( puntuale ).
All'atto pratico dunque ci basterà inquadrare il dominio di definizione $I$, e andare a considerare un $ x_o in I$ e verificare la convergenza di ($\zeta$) che è una normalissima serie numerica come in Analisi 1
Detto ciò , quando una serie di funzione converge uniformemente? Diremo che una serie di funzione $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ ]
converge uniformemente se la successione delle somme parziali $S_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+....+f_n(x) $ converge
uniformemente.
Possiamo in altro modo studiare la convergenza uniforme , soprattutto se risulta complicato esplicitare $S(x)$, considerando lo studio della convergenza totale , che essendo ''più forte'' ci assicura l'uniforme.
Preso un $I ⊆ RR$ diremo che la serie di funzioni $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ converge totalmente se:
1) $EE (M_n)_n$ con $n in RR $ , una successione di numeri reali non tutti negativi , tale che $ |f_n(x)|<= M_n $
2)$\sum_{n=1}^\infty M_n$ è convergente
Ci basterà dunque trovarci un $M_n$ attraverso delle disuguaglianze , oppure uguagliandolo all'estremo superiore della funzione $|f_n(x)|$
Tutto questo perchè ovviamente sappiamo che: Totale $\rightarrow$ Uniforme $\rightarrow$ Puntuale
Fatte queste precisazioni , prova a trovare una soluzione alla tua serie e postala. Spero di aver risolto tutti i dubbi riguardo la teoria e/o metodologie di risoluzione
Ciao vecchietto,ti ringrazio per la tua cortese risposta. Posso dire di aver già queste nozioni teoriche,il problema è che dal punto di vista pratico(in questo caso ad esempio) non riesco sempre a trovare una soluzione al problema
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo