Convergenza puntuale e uniforme.
Ciao a tutti, sto studiando per uno dei tanti esami di "Calcolo", ma purtroppo mi sono bloccata e non riesco ad andare avanti, spero che qualcuno di voi possa correre in mio soccorso! Volevo sapere come faccio a capire dove una succione di funzioni converge puntualmente o uniformemente.
Posso scrivere alcuni esercizi, e magari cercate di spiegarmene almeno uno tra questi(o uno scelto da voi).
Es:
fn(x)=[(n^2)(x^2)]/[1+(n^3)(x^3)]
fn(x)=(1/n) exp [(nx)/(1+(n^2)(x^2))]
Grazie a tutti....
Posso scrivere alcuni esercizi, e magari cercate di spiegarmene almeno uno tra questi(o uno scelto da voi).
Es:
fn(x)=[(n^2)(x^2)]/[1+(n^3)(x^3)]
fn(x)=(1/n) exp [(nx)/(1+(n^2)(x^2))]
Grazie a tutti....
Risposte
Per la convergenza puntuale devi semplicemente fare il limite per $n \to \infty$ trattando la $x$ come un parametro. Ad esempio per la seconda si ha:
$ lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \qquad \forall x $
(a meno di errori nei conti)
Una volta che hai la convergenza puntuale e sai, ad esempio, che $f_n rarr f$ puntualmente per la convergenza uniforme devi avere:
$\text{sup}_{x \in RR} | f_n - f | rarr 0 \qquad n \to 0 $
Quindi devi cercare il sup di quella roba li e vedere se va a zero. Ad esempio per la seconda:
$ f_n'(x)=(1-n^2x^2)/(1+n^2x^2)^2 exp(nx/(1+n^2x^2)) $
Che si annulla per $ x = 1/n $ o per $x = -1/n $
Un rapido studio del segno della derivata prima porta a concludere che in $1/n$ abbiamo un massimo globale. Quindi:
$\text{sup}_{x \in RR} |f_n(x) - 0 | = f_n(1/n) $
(ricordando che $f$ tende puntualmente a $0$)
Quindi non resta che studiare il limite della successione delle $f_n(1/n)$ che e':
$ lim_{n \to \infty} (1/n) exp(1) = 0 $
Quindi la successione di funzioni converge uniformemente.
Riassumendo quindi:
1. Convergenza puntuale. Limite tenendo $x$ come parametro.
2. Convergenza uniforme. Limite di:
$ \text{sup} | f_n(x) - f(x) | $
$ lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \qquad \forall x $
(a meno di errori nei conti)
Una volta che hai la convergenza puntuale e sai, ad esempio, che $f_n rarr f$ puntualmente per la convergenza uniforme devi avere:
$\text{sup}_{x \in RR} | f_n - f | rarr 0 \qquad n \to 0 $
Quindi devi cercare il sup di quella roba li e vedere se va a zero. Ad esempio per la seconda:
$ f_n'(x)=(1-n^2x^2)/(1+n^2x^2)^2 exp(nx/(1+n^2x^2)) $
Che si annulla per $ x = 1/n $ o per $x = -1/n $
Un rapido studio del segno della derivata prima porta a concludere che in $1/n$ abbiamo un massimo globale. Quindi:
$\text{sup}_{x \in RR} |f_n(x) - 0 | = f_n(1/n) $
(ricordando che $f$ tende puntualmente a $0$)
Quindi non resta che studiare il limite della successione delle $f_n(1/n)$ che e':
$ lim_{n \to \infty} (1/n) exp(1) = 0 $
Quindi la successione di funzioni converge uniformemente.
Riassumendo quindi:
1. Convergenza puntuale. Limite tenendo $x$ come parametro.
2. Convergenza uniforme. Limite di:
$ \text{sup} | f_n(x) - f(x) | $
ciao david, ti ringrazio per il tuo aiuto, ma non so se per colpa del mio computer non riesco a capire i passaggi che hai scritto perchè mi trovo molti simboli che non c'entrano niente.
Grazie cmq!
Grazie cmq!
Scusa, ma vedo che l'abitudine generale è quella di non guardare neanche la pagina di accesso al forum... 
Leggi qua:
https://www.matematicamente.it/f/accesso ... ATEMATICHE
Leggi qua:
https://www.matematicamente.it/f/accesso ... ATEMATICHE
Grazie per il tuo aiuto! Ieri avevo rovato a scaricarlo il programma adatto, ma purtroppo non ci ero riuscita. Ora va tutto bene! Ti ringrazio ancora!
1)ma la convergenza puntuale non deriva dalla convergenza uniforme?
cioè convergenza uniforme--->convergenza puntuale?
Personalmente ,per vedere se un qualcosa è convergente uniformemente vedo la serie dei moduli: se è convergente allora è converg. uniform.
cioè convergenza uniforme--->convergenza puntuale?
Personalmente ,per vedere se un qualcosa è convergente uniformemente vedo la serie dei moduli: se è convergente allora è converg. uniform.
Ora sono entrata in confusione! Non capisco cosa vuoi dirmi! Puoi spiegarti meglio magari con un esempio!
Se c'è convergenza uniforme c'è anche quella puntuale, ma non capisco quello che hai scritto dopo! Puoi spiegarmelo.
Se c'è convergenza uniforme c'è anche quella puntuale, ma non capisco quello che hai scritto dopo! Puoi spiegarmelo.
Non entrare in confusione: segui solo quello che ti ha detto davide (almeno per il momento, sperando che arrivi qualcuno che chiarisce)
Sulla 1) vorrei qualcuno che smentisse oppure no.
sul modo di vedere se una funz è convergente ti fo un esempio: $sum_{n=-oo}^{+oo} (1/2 + j1/3)^|n| * e^(jnt) $ questa funzione è convergente uniformemente? si lo è, perchè: facendo il modulo di $(1/2 + j1/3) $ viene $ sqrt (1/4+1/9)= sqrt (13)/6 $. Quindi $sum_{n=-oo}^{+oo} (sqrt (13)/6)^|n|$ converge, quindi converge uniformemente
Sulla 1) vorrei qualcuno che smentisse oppure no.
sul modo di vedere se una funz è convergente ti fo un esempio: $sum_{n=-oo}^{+oo} (1/2 + j1/3)^|n| * e^(jnt) $ questa funzione è convergente uniformemente? si lo è, perchè: facendo il modulo di $(1/2 + j1/3) $ viene $ sqrt (1/4+1/9)= sqrt (13)/6 $. Quindi $sum_{n=-oo}^{+oo} (sqrt (13)/6)^|n|$ converge, quindi converge uniformemente
"giadaga":
Ora sono entrata in confusione! Non capisco cosa vuoi dirmi! Puoi spiegarti meglio magari con un esempio!
Se c'è convergenza uniforme c'è anche quella puntuale, ma non capisco quello che hai scritto dopo! Puoi spiegarmelo.
Bandit sta' parlando delle serie di funzioni... Nel caso delle successioni si riesce a trovare facilmente la convergenza col metodo che ho spiegato prima in quasi tutti i casi per cui non e' necessario preoccuparsi di "smanettare" con moduli e/o maggiorazioni...
ok, quindi sono 2 cose distinte e separate?
Ho capito, grazie!
Volevo farti un'altra domanda, nell'esempio svolto nel momento in cui trovo la convergenza uniforme, posso dire che converge uniformemente per......per quali valori?
Volevo farti un'altra domanda, nell'esempio svolto nel momento in cui trovo la convergenza uniforme, posso dire che converge uniformemente per......per quali valori?
In pratica per vedere se c'è convergenza uniforme devo applicare il teorema di Weistrass!
Ma quando è che non esiste la convergenza puntuale?E in oltre quali sono i valori della x per cui posso dire che la successione di funzioni non converge è puntualmente?
Ma quando è che non esiste la convergenza puntuale?E in oltre quali sono i valori della x per cui posso dire che la successione di funzioni non converge è puntualmente?
Hai la convergenza uniforme su tutti gli insiemi $A \subset RR$ t.c:
$ \text{sup}_A | f_n(x) - f(x) | \to 0 $
In quel caso, a meno che non abbia sbagliato i conti, (cosa abbastanza facile!
) la convergenza dovrebbe essere uniforme su tutto $RR$...
@ Bandit
Le serie sono un tipo particolare di successione. Solo che hanno proprieta' particolari che fanno si che sia conveniente sviluppare una teoria ad-hoc per loro....
$ \text{sup}_A | f_n(x) - f(x) | \to 0 $
In quel caso, a meno che non abbia sbagliato i conti, (cosa abbastanza facile!
) la convergenza dovrebbe essere uniforme su tutto $RR$...@ Bandit
Le serie sono un tipo particolare di successione. Solo che hanno proprieta' particolari che fanno si che sia conveniente sviluppare una teoria ad-hoc per loro....
Grzie!
Nel caso dovessi trovare una successione di funzioni che converge puntualmente in tutto R, ma in zero il dominio della funzione non è compreso, dovrei dire che converge puntualmente per tutti i valori R\0 (tutto R privato dell'origine)?
E poi quando vado a fare la convergenza uniforme devo considerare l'intervallo (0,+infinito[ o ]-infinito, 0) ?
Nel caso dovessi trovare una successione di funzioni che converge puntualmente in tutto R, ma in zero il dominio della funzione non è compreso, dovrei dire che converge puntualmente per tutti i valori R\0 (tutto R privato dell'origine)?
E poi quando vado a fare la convergenza uniforme devo considerare l'intervallo (0,+infinito[ o ]-infinito, 0) ?
Grazie!
Nel caso dovessi trovare una successione di funzioni che converge puntualmente in tutto R, ma in zero il dominio della funzione non è compreso, dovrei dire che converge puntualmente per tutti i valori R\0 (tutto R privato dell'origine)?
E poi quando vado a fare la convergenza uniforme devo considerare l'intervallo (0,+infinito[ o ]-infinito, 0) ?
Nel caso dovessi trovare una successione di funzioni che converge puntualmente in tutto R, ma in zero il dominio della funzione non è compreso, dovrei dire che converge puntualmente per tutti i valori R\0 (tutto R privato dell'origine)?
E poi quando vado a fare la convergenza uniforme devo considerare l'intervallo (0,+infinito[ o ]-infinito, 0) ?
...io prenderei l'unione dei due intervalli. Ovvero controllerei su $RR \\ {0}$. Anche se difficilmente si avra' convergenza uniforme nell'intorno di $0$: quasi sempre le successioni di funzioni che si trovano negli esercizi sono continue e, se convergono uniformemente, convergono a funzioni continue. Quindi se puntualmente si ha la convergenza a una funzione nn continua partendo da una continua...
Comunque in linea di principio controlla pure su tutto $RR \\ {0}$...
Comunque in linea di principio controlla pure su tutto $RR \\ {0}$...
"david_e":
@ Bandit
Le serie sono un tipo particolare di successione. Solo che hanno proprieta' particolari che fanno si che sia conveniente sviluppare una teoria ad-hoc per loro....
Allora vogliamo svilupparla?
Quello che ti ho detto prima è esatto: facendo quei calcoli se la serie dei moduli converge, converge uniformemente.
So come far a dire se converge nel senso dell'energia, ma non so far vedere se converge puntualmente.
Se una serie-successione di funzioni converge uniformemente, allora converge anche puntualmente!
Il mio problema non è la convergenza puntuale, ma quella uniforme! Capito????
Help me!!!!
Help me!!!!
"giadaga":
Il mio problema non è la convergenza puntuale, ma quella uniforme! Capito????
Help me!!!!
Stavo rispondendo a Bandit!
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