Convergenza puntuale e uniforme

[Marco9921]

Salve a tutti,

Avrei bisogno di un piccolo aiutino...

Ho questa successione di funzioni:

fn(x) = $ (sqrt(2*e)*(x/e^(x^2)))^n $

La traccia chiede di studiare la convergenza puntuale ed uniforme.

Dunque, la prima cosa che ho fatto è calcolare il $\lim_{n \to \infty}fn(x)$

... e qui mi sono bloccato... dovrebbe essere per x=0 il limite viene 0 ... per le altre x >0 il limite è infinito

Quindi non converge puntualmente? ... e la convergenza uniforme?

Mi affido alla vostra esperienza.

Grazie mille.

[giuscri]

Ho avuto un po' di problemi a caricare le formule: la successione e' questa
\[ f_n(x) = \left[ \sqrt{2e} \frac{x}{\exp{x^2}}\right]^n \]
vero?

"Marco992":
Dunque, la prima cosa che ho fatto è calcolare il $ \lim_{n \to \infty}fn(x) $
... e qui mi sono bloccato... dovrebbe essere per x=0 il limite viene 0 ... per le altre x >0 il limite è infinito

Perche' escludi le \(x \le 0\)? E poi non tutte le \(x > 0\) mi sembrano scandalose: \(f_n(1) \to 0\).

Ricorda che \(|a|^n\) si schiaccia a zero se \(|a| < 1\), eh ...

[Marco9921]

la funzione è esattamente come l'ho scritta prima, al denominatore di x c'è e^(x^2)

ho considerato solo x>0 perchè per x<0 essendo x elevato al quadrato allora sarà uguale a x>0 in quanto x è elevato al quadrato.

per quanto riguarda il limite... ho visto che per valori piccoli il limite tende a 0 ... ma ad esempio per x=100 già tende a valori molto grandi.

secondo te può convergere puntualmente?

[Marco9921]

hai ragione... xche la x al numeratore non è elevato al quadrato ... questo potrebbe influenzare il limite...

... però non saprei proprio come fare ... dovrei scomporre la funzione in qualche modo? =S

Altrimenti non converge puntualmente... che ne pensi?

[giuscri]

"Marco992":la funzione è esattamente come l'ho scritta prima, al denominatore di x c'è e^(x^2)

Ok, quindi e' la stessa che ti ho scritto io

ho considerato solo x>0 perchè per x<0 essendo x elevato al quadrato allora sarà uguale a x>0 in quanto x è elevato al quadrato.

Ha senso. Pero' ricorda che la funzione e' dispari.

per quanto riguarda il limite... ho visto che per valori piccoli il limite tende a 0 ... ma ad esempio per x=100 già tende a valori molto grandi.

Ripeto: \(|a|^n\) va a zero, a patto che \(|a|\) sia piu' piccolo di \(1\). Quindi ...

[Marco9921]

quindi per x diverso da 0 la fn diverge... pertanto non converge puntualmente... Giusto?

Adesso devo verificare la convergenza uniforme

[Marco9921]

la convergenza uniforme in questo caso la studio solo per x=0 giusto?

[giuscri]

"Marco992":quindi per x diverso da 0 la fn diverge... pertanto non converge puntualmente... Giusto?

No.
Com'e fatta \(x^2\)? E \(x^3\)?, e ancora \(x^6\), \(x^{47}\), \(x^{154}\), ...?
E' vero: all'aumentare dell'esponente le funzioni hanno un tasso di crescita sempre piu' ripido, ma quando \(-1 < x < 1\), al crescere dell'esponente le due funzioni si alzano in modo sempre piu' pigro da quota \(0\).

Adesso: com'e' fatta
\[\sqrt{2e} \frac{x}{\exp{x^2}}\]
? (Almeno sui positivi: sui negativi e' la stessa roba, ma a testa in giu)

Dando un'occhiata alla sua crescenza, dovresti trovare che in generale sta sotto quota \(1\), a parte in un punto \(x_M\). Quindi dovresti avere convergenza semplice su tutto l'asse reale alla funzione
\[f(x) := \begin{cases} 1 & x = x_M \\ 0 & \text{altrove} \end{cases}\]

A quel punto, la convergenza uniforme si vede ad occhio ...basta scansare, anche sulla frontiera, \(x_M\) e dovresti essere apposto.

Sei d'accordo?

EDIT:

... la convergenza uniforme in questo caso la studio solo per x=0 giusto?

Ha senso questa affermazione? Se ne puo' avere, nel senso di usare biecamente la definizione, e quindi valutare la distanza fra \(f_n(x_0)\) e \(f(x_0)\), be': un po' troppo facile: \(f(x_0)\) e' stata definita come
\[ \lim_{n \to \infty} f_n(x_0)\]
La loro differenza sara' sempre nulla.

[Marco9921]

Grazieeeeeeeeeeeee

D'accordissimo.