Convergenza normale
Salve, sto studiando le serie di funzioni. In un esercizio trovato in rete mi chiede di verificare la convergenza normale di una serie, ma che cos'è? Sul testo di analisi che sto usando (Marcellini Sbordone Fusco) c'è la definizione di convergenza puntuale, unifome e totale, ma normale no, mi date una definizione? Ho un altro dubbio, so che la convergenza totale implica quella uniforme che implica quella puntuale. La convergenza normale implica qualche altro tipo di convergenza? Grazie mille! 
Risposte
Credo sia la convergenza in norma in norma infinito.
Una serie di funzioni si dice normalmente convergente in un insieme \(X\) se e solo se essa converge la serie delle norme-\(\infty\) degli addendi, cioè se risulta \(\sum_{n=0}^\infty \lVert f_n\rVert_{\infty, X} <\infty\) (ove, come al solito, \(\lVert f\rVert_{\infty ,X} :=\sup_X |f|\)).
Insomma, è la convergenza totale...
Insomma, è la convergenza totale...
Forse il contesto naturale è quello di uno spazio normato. Se $x_h$ è una successione in uno spazio normato $X$ allora si dice che la serie $\sum_{h=0}^{+\infty}x_h$ converge normalmente se converge la serie numerica $\sum_{h=0}^{+\infty}||x_h||$.
Ok capito. Quindi dalle definizioni che ho letto mi sembra di capire che la convergenza totale implica quella normale. Ma l'implicazione vale anche nell'altro verso? A occhio direi di si, sbaglio?
"gugo82":
Insomma, è la convergenza totale...
Ok perfetto grazie della conferma. 
E' la convergenza totale solo se, usando la definizione che ho dato io, $X$ è lo spazio delle funzioni delle funzioni $A \to \mathbb{R}$ limitate e la norma è la norma del sup.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo