Convergenza integrali improprio

[stefano_89]

ciao a tutti, ho un dubbio sul seguente integrale improprio:
\( \int_0^1 \frac{1}{x^a log^b x} \ \text{d} x \)

Sò che per x->0 l' integrale converge con se a<1 a prescindere la "b", mentre se a=0 serve b>1.
Quello che non capisco è come affrontare il caso x->1 perchè mi rimane questo \( \int_0^1 \frac{1}{ log^b x} \ \text{d} x \)
che non saprei gestire..
i dubbi aumentano perchè ho visto questi 2 esempi:

1) \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x log x} \ \text{d} x \)
2) \( \int_0^1 \frac{log x}{\sqrt x } \ \text{d} x \)

nel primo si dice che l' integrale non converge, mentre nel secondo converge..
per quanto riguarda lo studio per x->0 entrambi non hanno problemi perchè sarebbe come avere a<1, ma cosa cambia per x->1 ??

grazie a tutti

[Noisemaker]

in generale hai che
se $0 \begin{align}
\int_{0}^{a}\frac{1}{x^{\alpha}\ln^{\beta}x}=\begin{cases}\mbox{converge se }:& \alpha<1, \forall\,\,\beta\\\mbox{converge se }:& \alpha=1, \beta>1\\
\mbox{diverge se }:& \alpha>1, \forall\,\,\beta\\\mbox{diverge se }:& \alpha=1, \beta\le1\\ \end{cases}
\end{align}

se $a>1$, l'integrale
\begin{align}
\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}\ln^{\beta}x}=\begin{cases}\mbox{converge se }:& \alpha>1, \forall\,\,\beta\\\mbox{converge se }:& \alpha=1, \beta>1\\
\mbox{diverge se }:& \alpha<1, \forall\,\,\beta\\\mbox{diverge se }:& \alpha=1, \beta\le1\\ \end{cases}
\end{align}

in particolare hai che
se $0 \begin{align}
\int_{0}^{a}\frac{1}{ \ln^{\beta}x}=\begin{cases}\mbox{converge se }:&\beta<1, \\
\mbox{diverge se }:&\beta\ge1, \end{cases}
\end{align}

[stefano_89]

ok grazie mille non ero a conoscenza dell' ultima parte!