Convergenza integrali impropri
Ciao a tutti! ho un po' di difficoltà con lo studio del carattere di un integrale, in particolare non riesco a trovare abbastanza esercizi svolti che mi aiutino a capire! quando gli esercizi si fanno un po' piu difficili mi danno solo il risultato (convergente/divergente) però non so se il procedimento di mezzo l'ho fatto bene! veniamo al dunque, l'esercizio è il seguente:
Calcolare la convergenza del seguente integrale:
[tex]\int_{2}^{+\infty} \frac{(cosx)^2+e^(1+1/x)}{x^2}[/tex]
Ho proceduto nel modo seguente:
tra 2 e +infinito non ci sono singolarità, faccio quindi [tex]\lim_{x\to +\infty} \frac{(cosx)^2+e^(1+1/x)}{x^2}[/tex]
Uso gli sviluppi di taylor del coseno e dell'e e ottengo:
[tex]\lim_{x\to +\infty} \frac{1-x^2+1+1+(1/x)+\frac{1+(1/x)^2}{2}+o(x^2)}{x^2}[/tex]
il procedimento fino a qua è corretto? come proseguo poi?
Calcolare la convergenza del seguente integrale:
[tex]\int_{2}^{+\infty} \frac{(cosx)^2+e^(1+1/x)}{x^2}[/tex]
Ho proceduto nel modo seguente:
tra 2 e +infinito non ci sono singolarità, faccio quindi [tex]\lim_{x\to +\infty} \frac{(cosx)^2+e^(1+1/x)}{x^2}[/tex]
Uso gli sviluppi di taylor del coseno e dell'e e ottengo:
[tex]\lim_{x\to +\infty} \frac{1-x^2+1+1+(1/x)+\frac{1+(1/x)^2}{2}+o(x^2)}{x^2}[/tex]
il procedimento fino a qua è corretto? come proseguo poi?
Risposte
hai utilizzato Taylor-McLaurin in questo modo? cioè di $\cos x$ per $x\to +\infty$ ?.. se è così .. è errato!
Taylor-McLaurin va utilizzato solo quando l'argomento (in questo caso del coseno) va a 0, così anche per le altre cose!
Ah una cosa.. per le formule matematiche ti consiglio di scriverle un po' più grande!
Taylor-McLaurin va utilizzato solo quando l'argomento (in questo caso del coseno) va a 0, così anche per le altre cose!
Ah una cosa.. per le formule matematiche ti consiglio di scriverle un po' più grande!
Secondo me sbagli a fare gli sviluppi di Taylor, perché il limite tende all'infinito e quindi quello che tu chiami "o piccolo" in realtà sono potenze enormi di x, tutt'altro che trascurabili 
senza contare che poi hai un coseno al quadrato, mentre tu hai scritto lo sviluppo del coseno semplice.
Se tu scrivessi gli sviluppi fino, ad esempio, al trentesimo ordine, scopriresti che si trovano delle forme indeterminate del tipo $+infty -infty$.
Il limite si risolve in modo molto più semplice: per $x to +infty$, la funzione al numeratore è definitivamente positiva e limitata, mentre il denominatore tende a $+infty$, quindi il limite fa $0+$.
Secondo me potresti usare il criterio del confronto, per dimostrare la convergenza (o la non convergenza) dell'integrale!
In generale comunque usare Taylor per x che tende all'infinito è sbagliato!!
senza contare che poi hai un coseno al quadrato, mentre tu hai scritto lo sviluppo del coseno semplice.Se tu scrivessi gli sviluppi fino, ad esempio, al trentesimo ordine, scopriresti che si trovano delle forme indeterminate del tipo $+infty -infty$.
Il limite si risolve in modo molto più semplice: per $x to +infty$, la funzione al numeratore è definitivamente positiva e limitata, mentre il denominatore tende a $+infty$, quindi il limite fa $0+$.
Secondo me potresti usare il criterio del confronto, per dimostrare la convergenza (o la non convergenza) dell'integrale!
In generale comunque usare Taylor per x che tende all'infinito è sbagliato!!
grazie a tutti per le risposte! Su taylor avevo proprio questo dubbio, grazie di avermelo tolto! (se per esempio invece di "cosx" avevamo "cos 1/x" taylor potevamo usarlo giusto?)
per quanto riguarda il teorema del confronto, ho un po' di problemi,come trovo g(x)? o meglio, come faccio in quel caso a trovare una funzione che sia un po' piu grande o un po' piu piccola della funzione di partenza?
p.s per le formule piu grandi, come faccio? io do il comando base di latex ma non so come aumentare la grandezza del carattere!
Tanto per non stare ad aprire un altro post, potete darmi una mano anche con questo esercizio?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 5E2%2B1%29
non ho la soluzione quindi non saprei se l'ho fatto bene! wolfram non me lo fa calcolare
(se per esempio invece di "cosx" avevamo "cos 1/x" taylor potevamo usarlo giusto?) per quanto riguarda il teorema del confronto, ho un po' di problemi,come trovo g(x)? o meglio, come faccio in quel caso a trovare una funzione che sia un po' piu grande o un po' piu piccola della funzione di partenza?
p.s per le formule piu grandi, come faccio? io do il comando base di latex ma non so come aumentare la grandezza del carattere!
Tanto per non stare ad aprire un altro post, potete darmi una mano anche con questo esercizio?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 5E2%2B1%29
non ho la soluzione quindi non saprei se l'ho fatto bene! wolfram non me lo fa calcolare
"mark36":
(se per esempio invece di "cosx" avevamo "cos 1/x" taylor potevamo usarlo giusto?)
esatto! perchè avendo $\cos (1/x)$ per $x\to +\infty$, l'argomento del coseno va a 0
"mark36":
p.s per le formule piu grandi, come faccio? io do il comando base di latex ma non so come aumentare la grandezza del carattere!
basta che metti il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine dell'espressione matematica
Provo a spiegare. Consideriamo il il primo integrale:
\begin{align}
\int_{2}^{+\infty}\frac{\cos^2 xe^{(1+\frac{1}{x})}}{x^2};
\end{align}
come hai gisutamente osservato, la funzione integranda nell'intervallo d'integrazione presenta singolorità solo a $+\infty,$ ed osservando che in $[2;+\infty)$ risulta sempre positiva, possiamo considerrarne il comportamento asintotico: quando $x\to+\infty$ si ha:
\begin{align}
\frac{\cos^2 xe^{(1+\frac{1}{x})}}{x^2}\sim \frac{e \cos^2 x }{x^2}\le \frac{e }{x^2}\to\mbox{converge,}
\end{align}
essendo, $e^{(1+\frac{1}{x})}\to e,x\to+\infty, $ ed essendo $\forall x, \cos^2x<1.$
Consideriamo il secondo integrale:
\begin{align}
\int_{1}^{+\infty}\frac{(x+1)\ln(x+1)}{e^x+x^2+1} ;
\end{align}
anche in questo caso, la funzione integrando risulta definita positiva per ogni valore dell'intervallo di integrazione, e dunque considerando il comportamento asintotico, abbiamo che quando $x\to+\infty,$ si ha:
\begin{align}
\frac{(x+1)\ln(x+1)}{e^x+x^2+1}\sim \frac{x\ln x}{e^x}\to\mbox{converge,}
\end{align}
in quanto $\frac{x\lnx}{e^x}$ è infinitesima di ordine maggiore di qualsiasi potenza.
\begin{align}
\int_{2}^{+\infty}\frac{\cos^2 xe^{(1+\frac{1}{x})}}{x^2};
\end{align}
come hai gisutamente osservato, la funzione integranda nell'intervallo d'integrazione presenta singolorità solo a $+\infty,$ ed osservando che in $[2;+\infty)$ risulta sempre positiva, possiamo considerrarne il comportamento asintotico: quando $x\to+\infty$ si ha:
\begin{align}
\frac{\cos^2 xe^{(1+\frac{1}{x})}}{x^2}\sim \frac{e \cos^2 x }{x^2}\le \frac{e }{x^2}\to\mbox{converge,}
\end{align}
essendo, $e^{(1+\frac{1}{x})}\to e,x\to+\infty, $ ed essendo $\forall x, \cos^2x<1.$
Consideriamo il secondo integrale:
\begin{align}
\int_{1}^{+\infty}\frac{(x+1)\ln(x+1)}{e^x+x^2+1} ;
\end{align}
anche in questo caso, la funzione integrando risulta definita positiva per ogni valore dell'intervallo di integrazione, e dunque considerando il comportamento asintotico, abbiamo che quando $x\to+\infty,$ si ha:
\begin{align}
\frac{(x+1)\ln(x+1)}{e^x+x^2+1}\sim \frac{x\ln x}{e^x}\to\mbox{converge,}
\end{align}
in quanto $\frac{x\lnx}{e^x}$ è infinitesima di ordine maggiore di qualsiasi potenza.
"Noisemaker":
Provo a spiegare. Consideriamo il il primo integrale:
\begin{align}
\int_{2}^{+\infty}\frac{\cos^2 xe^{(1+\frac{1}{x})}}{x^2};
\end{align}
Mhm... hai letto male, il testo di mark ha il segno + fra il coseno e l'esponenziale, non un prodotto
"mark36":
per quanto riguarda il teorema del confronto, ho un po' di problemi,come trovo g(x)? o meglio, come faccio in quel caso a trovare una funzione che sia un po' piu grande o un po' piu piccola della funzione di partenza?
Se usi il criterio del confronto ti basta trovare una funzione che maggiori la tua (dato che questa è sempre positiva e quindi è minorata dalla funzione costantemente nulla). Ad esempio, visto che nell'intervallo $[2,+infty)$ valgono $cos^2(x) ≤ 1$ e $e^(1 + 1/x) ≤ e^2$ allora puoi prendere $ g(x) = (1+e^2)/(x^2) $ il cui integrale converge essendo il denominatore di ordine 2.
Evviva il sabato sera matematico
(@__@)
grazie a tutti per le risposte ma scusa una cosa, prendiamo il caso di
[tex]\begin{align} \frac{x\ln x}{e^x} \end{align}[/tex]
non ho capito bene come hai fatto a vedere che converge! stessa cosa per l'altro esercizio... scusate la capa che vi sto facendo!
ma scusa una cosa, prendiamo il caso di[tex]\begin{align} \frac{x\ln x}{e^x} \end{align}[/tex]
non ho capito bene come hai fatto a vedere che converge! stessa cosa per l'altro esercizio... scusate la capa che vi sto facendo!
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