Convergenza integrale improprio

[Sk_Anonymous]

Ciao, non ho capito bene come studiare la convergenza-divergenza di questo integrale:
$int_(0)^(+oo)(arctan(x+7))/(x*(log(x+2))^b)$
Per x che tende a più infinto, la funzione è asintotica a: $(pi/2(1+o(1)))/(x((log(x))^b)$. Devo usare il teorema del confronto, non la definizione. Grazie mille

[ciampax]

Ma $b$ varia dove? Comunque io partirei usando il fatto che [tex]$\log x\frac{1}{x}$[/tex] e relative conseguenze.

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Ma $b$ varia dove? Comunque io partirei usando il fatto che [tex]$\log x\frac{1}{x}$[/tex] e relative conseguenze.

Il testo dell'esercizio è "trovare i valori di b per cui risulta convergente quell'integrale".

b è un numero che appartiene a R

[Sk_Anonymous]

Allora, molto probabilmente c'è ancora qualcosa che non ho capito bene. Io ho ragionato così: affinchè l'integrale di $1/(x(logx)^b)$ converga, devo riuscire a dimostrare che questa funzione è definitivamente minore di un'altra che ha ordine di infinitesimo maggiore di uno (cioè che converge); per esempio, pongo $1/(x(logx)^b)<1/x^2$. Per vedere se la disuguaglianza è vera, faccio il limite per x che tende a più infinito della prima funzione fratto la seconda funzione, cioè $lim_x->+oo$ $(1/(x(logx)^b))/(1/x^2)$. Tale limite viene + infinito, quindi la disuguaglianza che ho scritto è falsa; inoltre mi accorgo che, anche se ponessi $1/(x(logx)^b)<1/x^(1.0000001)$, tale disuguaglianza sarebbe falsa poichè, calcolando il limite del rapporto delle due funzioni, esso verrebbe sempre più infinito poichè al numeratore rimarrebbe sempre una potenza, che va a infinito più velocemente del logaritmo: quindi concludo che quell'integrale non converge per alcun b. Per favore, ditemi dove ho sbagliato, grazie ciao

[Rigel1]

Il tuo ragionamento è sbagliato perché stai assumendo che, per stabilire l'integrabilità a $+\infty$, sia sufficiente fare confronti con funzioni del tipo $\frac{1}{x^a}$.
Questo in generale è falso, e l'esempio in questione ha esattamente lo scopo di mostrarlo.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Il tuo ragionamento è sbagliato perché stai assumendo che, per stabilire l'integrabilità a $+\infty$, sia sufficiente fare confronti con funzioni del tipo $\frac{1}{x^a}$.
Questo in generale è falso, e l'esempio in questione ha esattamente lo scopo di mostrarlo.

scusa, non c'è un teorema che lo dice?

[Rigel1]

Il teorema a cui ti riferisci penso sia grosso modo questo:

Sia $f:[a,+\infty)\to [0,+\infty)$ una funzione (Riemann) integrabile su ogni intervallo $[a,b]$, per ogni $b>a$.
Supponiamo che esista $\alpha\in\mathbb{R}$ tale che il limite $\lim_{x\to +\infty} x^{\alpha} f(x)$ esista finito e diverso da $0$.
Allora $f$ è integrabile in senso generalizzato in $[a, +\infty)$ se e solo se $\alpha > 1$.

Questo teorema è vero, ma come vedi, fra le ipotesi, compare la frase "Supponiamo che esista $\alpha$...".
Se tale $\alpha$ non esiste, questo teorema non può essere utilizzato.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Il teorema a cui ti riferisci penso sia grosso modo questo:

Sia $f:[a,+\infty)\to [0,+\infty)$ una funzione (Riemann) integrabile su ogni intervallo $[a,b]$, per ogni $b>a$.
Supponiamo che esista $\alpha\in\mathbb{R}$ tale che il limite $\lim_{x\to +\infty} x^{\alpha} f(x)$ esista finito e diverso da $0$.
Allora $f$ è integrabile in senso generalizzato in $[a, +\infty)$ se e solo se $\alpha > 1$.

Questo teorema è vero, ma come vedi, fra le ipotesi, compare la frase "Supponiamo che esista $\alpha$...".
Se tale $\alpha$ non esiste, questo teorema non può essere utilizzato.

ok, nel mio caso non esiste, quindi posso fare una maggiorazione utilizzando il teorema del confronto o sbaglio? Grazie

[Rigel1]

Certo, il teorema del confronto può sempre essere preso in considerazione, e applicato quando sono soddisfatte le sue ipotesi; se come funzioni di confronto vuoi usare solo $\frac{1]{x^a}$, però, puoi verificare che anch'esso, nel tuo caso, non è mai applicabile.

Esemplifico: supponiamo di voler studiare la convergenza di $\int_e^{+\infty} f(x) dx$, con $f(x) = \frac{1}{x \log x}$, usando solo le funzioni $\frac{1}{x^a}$ come funzioni di confronto.

Teorema del confronto I: se esiste $a>1$ tale che $f(x) \le \frac{1}{x^a}$ definitivamente (cioè da un certo $x_0$ in poi), allora $f$ è integrabile.

Nel nostro caso, per avere $\frac{1}{x \log x} \le \frac{1}{x^a}$ definitivamente, deve necessariamente essere $a \le 1$; questa prima versione del teorema del confronto non è dunque applicabile.

Teorema del confronto II: se esiste $a\le 1$ tale che $f(x) \ge \frac{1}{x^a}$ definitivamente, allora $f$ non è integrabile. (In realtà è sufficiente considerare solo $a=1$, ma tant'è.)

Nel nostro caso, per avere $\frac{1}{x \log x} \ge \frac{1}{x^a}$ definitivamente, deve necessariamente essere $a > 1$; anche questa seconda versione del teorema del confronto non è quindi applicabile.


Adesso è chiaro?

[Sk_Anonymous]

Ok riporto la tua frase "se esiste $a>1$ tale che $f(x) \le \frac{1}{x^a}$ definitivamente (cioè da un certo $x_0$ in poi), allora $f$ è integrabile". Nel mio caso, non riesco a dimostrare quella disuguaglianza...quindi la domanda è: se le ipotesi del teorema sono negative, cioè non si riesce a trovare una disuguaglianza come è scritta sopra, possiamo dedurre che l'integrale di f è divergente oppure non possiamo dire nulla, ma dobbiamo fare in qualche altro modo? Per esempio, io, poichè ho verificato che mai si verifica che $1/(xlogx)<1/x^a$, con a>1, ho dedotto che l'integrale è divergente. Penso che il mio errore stia qui, e cioè che potevo solo dedurre che il teorema non si poteva applicare e che quindi dovevo usare la definizione, giusto?

[Rigel1]

"Soscia":se le ipotesi del teorema sono negative, cioè non si riesce a trovare una disuguaglianza come è scritta sopra, possiamo dedurre che l'integrale di f è divergente oppure non possiamo dire nulla, ma dobbiamo fare in qualche altro modo?

La seconda che hai detto.

La struttura di un teorema è semplice: (Ipotesi) $=>$ (Tesi).
Se le ipotesi non sono verificate, non puoi usare quel teorema; in particolare, non puoi inferire alcunché sul fatto che (Tesi) sia vera o falsa.

...giusto?

Giusto.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":[quote="Soscia"]se le ipotesi del teorema sono negative, cioè non si riesce a trovare una disuguaglianza come è scritta sopra, possiamo dedurre che l'integrale di f è divergente oppure non possiamo dire nulla, ma dobbiamo fare in qualche altro modo?

La seconda che hai detto.

La struttura di un teorema è semplice: (Ipotesi) $=>$ (Tesi).
Se le ipotesi non sono verificate, non puoi usare quel teorema; in particolare, non puoi inferire alcunché sul fatto che (Tesi) sia vera o falsa.

...giusto?

Giusto.[/quote]
Ok ho capito, però ho ancor un dubbio. Nelle soluzioni fornite dal professore risulta che quell'integrale di partenza, per x che tende a più infinito, è convergente se e solo se $b>1$. Allora, siccome quella funzione integranda è asintotica a $(pi/2)/(x(log(x))^b)$, se pongo $b=1.0001$ l'integrale dovrebbe convergere, quindi dovrei riuscire a trovare una funzione del tipo $1/x^a$, con $a>1$, tale che maggiori $(pi/2)/(x(log(x))^b)$. Se pongo che la funzione $1/x^a$ è per esempio $1/x^2$, posso scrivere $(pi/2)/(x(log(x))^b)<1/x^2$. Facendo il limite per x che tende a più infinito della prima funzione fratto la seconda, cioè $lim_x->+oo$ $((pi/2)/(x(log(x))^b))/(1/x^2)$, mi accorgo che questo limite fa sempre più infinito qualunque sia b, poichè al numeratore rimane sempre una x che tende a più infinito più velocemente del logaritmo; quindi, noto che anche se b>1, l'integrale dovrebbe divergere (poichè quel limite viene più infinito) contrariamente a quanto detto dal professore. Cioè, quello che voglio dire è che se quell'integrale converge se e solo se b>1, allora se pongo b=1.0001, dovrei comunque riuscire a trovare una funzione del tipo $1/x^a$ con $a>1$ che maggiori la funzione integranda (asintotica), invece il calcolo di quel limite dimostra che tale disuguaglianza non è mai verificata. Dove sbaglio?

[Rigel1]

"Soscia":
Ok ho capito, però ho ancor un dubbio. Nelle soluzioni fornite dal professore risulta che quell'integrale di partenza, per x che tende a più infinito, è convergente se e solo se $b>1$.

Concordo.

Allora, siccome quella funzione integranda è asintotica a $(pi/2)/(x(log(x))^b)$, se pongo $b=1.0001$ l'integrale dovrebbe convergere, quindi dovrei riuscire a trovare una funzione del tipo $1/x^a$, con $a>1$, tale che maggiori $(pi/2)/(x(log(x))^b)$.

Rileggi con attenzione i post precedenti.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":[quote="Soscia"]
Ok ho capito, però ho ancor un dubbio. Nelle soluzioni fornite dal professore risulta che quell'integrale di partenza, per x che tende a più infinito, è convergente se e solo se $b>1$.

Concordo.

Allora, siccome quella funzione integranda è asintotica a $(pi/2)/(x(log(x))^b)$, se pongo $b=1.0001$ l'integrale dovrebbe convergere, quindi dovrei riuscire a trovare una funzione del tipo $1/x^a$, con $a>1$, tale che maggiori $(pi/2)/(x(log(x))^b)$.

Rileggi con attenzione i post precedenti.[/quote]
Vabbè, insomma, ho interpretato male il teorema. Quindi la convergenza di quell integrale si può studiare soltando integrando la funzione asintotica e calcolandone il limite della primitiva, ossia usando la definizione giusto?

OT: Rigel, toglimi un altro dubbio dalla testa, il limite per x che tende a più infinito di $x^a/(log(x))^b$, fa sempre infinito qualunque siano $a>0$ e $b>0$? Per esempio, il limite per x che tende a più infinito di $x^0.0000000000000001/(log(x))^999999999999999$ fa comunque più infinito? Grazie, mi sei stato d'aiuto.

[Rigel1]

"Soscia":
Vabbè, insomma, ho interpretato male il teorema. Quindi la convergenza di quell integrale si può studiare soltando integrando la funzione asintotica e calcolandone il limite della primitiva, ossia usando la definizione giusto?

Quando si studia qualcosa facendo uso della sola definizione non si sbaglia mai.

OT: Rigel, toglimi un altro dubbio dalla testa, il limite per x che tende a più infinito di $x^a/(log(x))^b$, fa sempre infinito qualunque siano $a>0$ e $b>0$? Per esempio, il limite per x che tende a più infinito di $x^0.0000000000000001/(log(x))^999999999999999$ fa comunque più infinito?

Sì.
La dimostrazione è anche semplice: osserva che
$(\frac{x^a}{(\log x)^b}) = (\frac{x^c}{\log x}) ^b$, con $c= a/b > 0$.
Di conseguenza, ti basta dimostrare che
$\lim_{x\to +\infty} \frac{x^c}{\log x} = +\infty$ per ogni $c > 0$, cosa che puoi fare senza difficoltà usando, ad esempio, la regola de l'Hopital.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":[quote="Soscia"]
Vabbè, insomma, ho interpretato male il teorema. Quindi la convergenza di quell integrale si può studiare soltando integrando la funzione asintotica e calcolandone il limite della primitiva, ossia usando la definizione giusto?

Quando si studia qualcosa facendo uso della sola definizione non si sbaglia mai.

OT: Rigel, toglimi un altro dubbio dalla testa, il limite per x che tende a più infinito di $x^a/(log(x))^b$, fa sempre infinito qualunque siano $a>0$ e $b>0$? Per esempio, il limite per x che tende a più infinito di $x^0.0000000000000001/(log(x))^999999999999999$ fa comunque più infinito?

Sì.
La dimostrazione è anche semplice: osserva che
$(\frac{x^a}{(\log x)^b}) = (\frac{x^c}{\log x}) ^b$, con $c= a/b > 0$.
Di conseguenza, ti basta dimostrare che
$\lim_{x\to +\infty} \frac{x^c}{\log x} = +\infty$ per ogni $c > 0$, cosa che puoi fare senza difficoltà usando, ad esempio, la regola de l'Hopital.[/quote]

Benissimo, un'ultima cosa Rigel, (sono duro ) ...ritornando alla convergenza di quell'integrale, io la vedo così; il fatto che, come ho dimostrato calcolando il limite, non si riesce a trovare nessuna disuguaglianza tale che $1/(x(logx)^b)<1/x^a$, qualunque sia b, è dovuto al fatto che l'integrale di questa funzione è al limite della convergenza, cioè sarebbe bastato che la funzione tendesse a 0 un pò più lentamente che il suo integrale non sarebbe stato più convergente (scusa la sintassi un pò sballata)? Cioè, mentre l'integrale di $1/x^2$ converge con molto margine, tant'è che questa funzione si può maggiorare con $1/x^1.000001$, il cui integrale converge ancora, la mia funzione converge "pelo pelo" cossichè non si può trovare alcuna funzione che per confronto sta sopra di essa e il cui integrale converge, mentre si può usare soltanto la definizione

[Rigel1]

Grosso modo il concetto da te espresso è corretto.
Il problema è che non esiste una funzione "soglia" in grado di separare le funzioni convergenti da quelle divergenti.
Le funzioni del tipo $\frac{1}{x(\log x)^b}$ sono molto vicine alla soglia, tanto che a uno potrebbe venire in mente di usare $\frac{1}{x\log x}$ per "separare" le funzioni integrabili da quelle non integrabili. Purtroppo, però, puoi verificare che si può ripartire col meccanismo, considerando $\frac{1}{x \log x (\log x)^b}$ (ti lascio indovinare per quali valori di $b$ è integrabile), etc etc etc.
Senza contare che tutto poi si può complicare a piacere prendendo funzioni con andamento meno regolare, oscillanti, etc.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Grosso modo il concetto da te espresso è corretto.
Il problema è che non esiste una funzione "soglia" in grado di separare le funzioni convergenti da quelle divergenti.
Le funzioni del tipo $\frac{1}{x(\log x)^b}$ sono molto vicine alla soglia, tanto che a uno potrebbe venire in mente di usare $\frac{1}{x\log x}$ per "separare" le funzioni integrabili da quelle non integrabili. Purtroppo, però, puoi verificare che si può ripartire col meccanismo, considerando $\frac{1}{x \log x (\log x)^b}$ (ti lascio indovinare per quali valori di $b$ è integrabile), etc etc etc.
Senza contare che tutto poi si può complicare a piacere prendendo funzioni con andamento meno regolare, oscillanti, etc.

Ok Rigel, ora mi è tutto più chiaro grazie, quindi, riassumendo, quando bisogna studiare la convergenza-divergenza di un integrale improprio e non è possibile utilizzare il teorema del confronto, come in questo caso, bisogna ricorrere alla definizione. Però se la primitiva non si conosce come faccio?

[Rigel1]

"Soscia":
Ok Rigel, ora mi è tutto più chiaro grazie, quindi, riassumendo, quando bisogna studiare la convergenza-divergenza di un integrale improprio e non è possibile utilizzare il teorema del confronto, come in questo caso, bisogna ricorrere alla definizione. Però se la primitiva non si conosce come faccio?

Ti riconduci, per confronto o confronto asintotico, ad una funzione della quale riesci a valutare l'integrabilità (per esempio perché ne conosci una primitiva).

[Sk_Anonymous]

Ciao, devo studiare l'integrale $ int_(0)^(oo) $ $(2e^(ax)-1)(1-cos(1/x))dx$ al variare del parametro $a$ in R. Io studio il comportamento della funzione a più infinito, però, potendo assumere il parametro $a$ tutti i valori in R, a seconda del suo segno, il comportamento asintotico della funzione cambia. Come faccio? Grazie mille

[gugo82]

Beh, distingui i casi [tex]$a>0$[/tex], [tex]$a=0$[/tex], [tex]$a<0$[/tex] (cui corrispondono comportamenti diversi per l'esponenziale), innanzitutto.
Poi, nei casi in cui potrebbe esserci integrabilità, tieni presenti i limiti notevoli.