Convergenza integrale improprio

[Sk_Anonymous]

Ciao, non ho capito bene come studiare la convergenza-divergenza di questo integrale:
$int_(0)^(+oo)(arctan(x+7))/(x*(log(x+2))^b)$
Per x che tende a più infinto, la funzione è asintotica a: $(pi/2(1+o(1)))/(x((log(x))^b)$. Devo usare il teorema del confronto, non la definizione. Grazie mille

[Sk_Anonymous]

"gugo82":Beh, distingui i casi [tex]$a>0$[/tex], [tex]$a=0$[/tex], [tex]$a<0$[/tex] (cui corrispondono comportamenti diversi per l'esponenziale), innanzitutto.
Poi, nei casi in cui potrebbe esserci integrabilità, tieni presenti i limiti notevoli.

Allora,
1) per $a>0$, l'integrale dato non converge per nessun $a>0$;
2) per a=0, l'integrale converge;
3) per $a<0$, l'integrale converge per ogni $a<0$. Qualcuno può confermare? (non ho il risultato)

[Sk_Anonymous]

qualcuno può dirmi se il risultato è giusto?

[xdom="gugo82"]Aspettare 24 ore è troppo, vero?
(Cfr. regolamento, 3.4.)

Blocco fino a domani.[/xdom]

[Sk_Anonymous]

Ciao, ho una funzione che per x che tende a 0 è asintotica a $(sqrt(2)(log(x))^2)/sqrt(x)$. Devo vedere se il suo integrale converge o diverge. Non so come muovermi, dovrei usare il criterio del confronto ma non so come fare...grazie mille per l'aiuto

[ciampax]

A te il limite notevole [tex]$\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \log^\beta x=0,\ \alpha>0,\ \beta>0$[/tex] fa proprio fatica ad entrarti in testa, eh?

[Sk_Anonymous]

"ciampax":A te il limite notevole [tex]$\lim_{x\to 0^+} x^\alpha \log^\beta x=0,\ \alpha>0,\ \beta>0$[/tex] fa proprio fatica ad entrarti in testa, eh?

quindi ?

[gugo82]

"Soscia":Ciao, devo studiare l'integrale $ int_(0)^(oo) $ $(2e^(ax)-1)(1-cos(1/x))dx$ al variare del parametro $a$ in $RR$.

"Soscia":[quote="gugo82"]Beh, distingui i casi [tex]$a>0$[/tex], [tex]$a=0$[/tex], [tex]$a<0$[/tex] (cui corrispondono comportamenti diversi per l'esponenziale), innanzitutto.
Poi, nei casi in cui potrebbe esserci integrabilità, tieni presenti i limiti notevoli.

Allora,
1) per $a>0$, l'integrale dato non converge per nessun $a>0$;
2) per a=0, l'integrale converge;
3) per $a<0$, l'integrale converge per ogni $a<0$. Qualcuno può confermare? (non ho il risultato)[/quote]
Se [tex]$a>0$[/tex], l'integrando è positivo e va a [tex]$+\infty$[/tex] per [tex]$x\to +\infty$[/tex], quindi l'integrale diverge.

Se [tex]$a=0$[/tex], l'integrando si riduce a [tex]$1-\cos \tfrac{1}{x}$[/tex], che presenta problemi in [tex]$0$[/tex] ed [tex]$\infty$[/tex]: ma:

[tex]$\int_0^{+\infty} \left( 1-\cos \frac{1}{x}\right)\ \text{d} x=\int_0^1 \left( 1-\cos \frac{1}{x}\right)\ \text{d} x +\int_1^{+\infty} \left( 1-\cos \frac{1}{x}\right)\ \text{d} x$[/tex]
[tex]$=\int_1^{+\infty} \frac{1-\cos y}{y^2}\ \text{d} y +\int_1^{+\infty} \left( 1-\cos \frac{1}{x}\right)\ \text{d} x$[/tex] (sostituzione [tex]$y=\tfrac{1}{x}$[/tex] nel primo integrale)

e le funzioni integrande all'ultimo membro sono sommabili in [tex]$+\infty$[/tex] (in quanto la prima è infinitesima d'ordine inferiore a [tex]$2$[/tex], ma superiore a [tex]$\tfrac{3}{2} >1$[/tex]; mentre la seconda è infinitesima d'ordine [tex]$2$[/tex] per via dell'approssimazione [tex]$1-\cos \tfrac{1}{x} \approx \tfrac{1}{2x^2}$[/tex]); quindi l'integrale in questo caso è convergente.

Se [tex]$a<0$[/tex], che l'integrale sia convergente si stabilisce usando il risultato precedente.