Convergenza integrale generalizzato
Devo stabilire per quali valori di $alpha$ la funzione $f(x)=1/|x|^alpha$ è integrabile in senso generalizzato in $[-1,00,+1]$.
Pensavo che $f(x)$ è uguale a $1/x^alpha$ per $x>0$, e sappiamo che questa converge per $alpha<1$. Visto che è una funzione pari posso utilizzare lo stesso ragionamento per $x<0$ e concludere quindi che f(x) è integrabile in senso generalizzato se e solo se $alpha<1$.
Vorrei chiedervi conferma della correttezza del mio ragionamento perchè in classe è stato detto che f(x) è integrabile in senso generalizzato se e solo se $alpha>1$.
Grazie
Pensavo che $f(x)$ è uguale a $1/x^alpha$ per $x>0$, e sappiamo che questa converge per $alpha<1$. Visto che è una funzione pari posso utilizzare lo stesso ragionamento per $x<0$ e concludere quindi che f(x) è integrabile in senso generalizzato se e solo se $alpha<1$.
Vorrei chiedervi conferma della correttezza del mio ragionamento perchè in classe è stato detto che f(x) è integrabile in senso generalizzato se e solo se $alpha>1$.
Grazie
Risposte
Il tuo ragionamento è corretto....... pensa alla funzione $x^(-3)$ la sua primitiva è $-(x^(-2))/2$ che diverge in 0. Forse stai confondendo gli appunti sull'integrabilità in un intorno di infinito dove si che devi avere $\alpha > 1$........spero aiuti!! ciao
Grazie.
Invece cosa si può dire per quanto riguarda la convergenza di $1/(x^alpha*log^beta(x))$ in un intorno di $0$ e in un intorno di $+-oo$?
Invece cosa si può dire per quanto riguarda la convergenza di $1/(x^alpha*log^beta(x))$ in un intorno di $0$ e in un intorno di $+-oo$?
prova a iniziare il ragionamento......io partirei dal confronto asintotico con funzioni di cui conosci le proprietà di integrabilità negli intorni dei punti che ti interessano...
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