Convergenza di un integrale improprio con parametro

[Aciredef2]

Buongiorno a tutti, ho l'esame di analisi 1 tra qualche settimana, e dopo tanti sforzi credo di aver capito come ragionare per affrontare lo studio della convergenza di un integrale. Ho svolto questo esercizio, preso da una traccia di esame, però non ho nessun risultato e quindi non so se è giusto. Essendo appunto all'inizio del mio sentiero illuminato, vorrei essere sicura di ciò che ho fatto:)
La traccia chiede appunto di discutere per quali valori di alpha il seguente integrale converge:


I= $ int_(0)^(+infty) x/(1+x^2)^alpha dx $

Allora prima di tutto notiamo che F(x)>0, ed è continua nell'intervallo ]0,+ $ oo $ [ , quindi possiamo applicare il criterio del confronto asintotico: spezzando l'integrale in modo da avere un estremo finito, si ha:
$ int_(0)^(1) x/ (1+ x^2) ^ alpha dx $ + $ int_(1)^(+infty) x/(1+ x^2)^alpha dx $

Nel primo integrale, con punto critico in x=0, sappiamo che

$ x/ (1+ x^2)^ alpha $ $ ~ $ $ x $ $ -= $ $ 1/x^-1 $ per $ x-> 0 $

Quindi per il criterio del confronto $ int_(0)^(1) f(x) dx $ convergerà se e solo se converge $ int_(0)^(1) 1/x^-1 dx $ .
Sappiamo che converge per $ alpha = -1 < 1 => alpha < 2 $

Ora passando al secondo integrale, con punto critico in $ x= + infty $ , abbiamo
$ x/(1+x^2) ^ alpha $ $ ~ $ $ x/x^(2alpha) $ $ -= $ $ 1/ x^ (2alpha -1) $
Quindi sempre per il criterio del confronto $ int_(1)^(+infty) f(x) dx $ convergerà se e solo se converge $ int_(1)^(+infty) 1/ x^ (2alpha -1) dx $ . Quest'ultimo converge per $ 2alpha - 1 > 1 => alpha>1 $
In conclusione l'integrale $ int_(0)^(+infty) f(x) dx $ converge per $ alpha in (1,2) $
Ecco il mio risultato. Aspetto vostre conferme e chiarimenti, soprattutto per quanto riguarda il ragionamento che ci sta dietro piuttosto che il risultato. Ringrazio tutti anticipatamente per il tempo speso!:)

[quantunquemente]

$x=0$ non è un punto critico in quanto $f(0)=0 forall alpha$
quindi, basta la condizione $alpha >1$