Convergenza di un integrale improprio

[Garlick]

Ciao a tutti, devo studiare la convergenza di questo integrale:

integrale tra 0 e 1 di:

(ln(1 - 2x^2 + x) - xcosx + 5/2 x^2 )) / ( x^3 * sqrt(x))

Devo usare gli sviluppi di MacLaurin? Vi chiedo solo deluciddazioni sul procedimento generale per studiarne la convergenza. Grazie

[Berationalgetreal]

Questa volta tolgo la povere da questo integrale improprio; ci sono spesso domande su come stabilire la convergenza di un integrale improprio, quindi penso che valga la pena proporre questo.

Scritto leggermente meglio:

\[ \int_{0}^{1} \frac{\ln ( 1 - 2x^2 + x) - x \cos (x) + \frac{5}{2} x^2}{x^3 \sqrt{x}} \ \text{d} x\]

La risoluzione è in spoiler

Come suggerì 11 anni fa Garlick, utilizziamo le serie di Maclaurin:

Per sviluppare questo logaritmo consiglio di calcolare direttamente le derivate in $0$ ed usare il teorema di Taylor. E' un esercizio che non fa mai male:

\[ \ln (1 -2x^2 + x) = x - \frac{5}{2} x^2 + \frac{7}{3} x^3 - \frac{17}{4} x^4 + o(x^4) \]

Mentre invece

\[ x \cos (x) = x \cdot \left ( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4) \right ) = x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} + o(x^5) \]

Quindi,

\[ \int_{0}^{1} \frac{\ln ( 1 - 2x^2 + x) - x \cos (x) + \frac{5}{2} x^2}{x^3 \sqrt{x}} \ \text{d} x= \int_{0}^{1} \frac{ {x} {- \frac{5}{2} x^2} + \frac{7}{3} x^3 - \frac{17}{4} x^4 + o(x^4) - \left ( {x} - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} + o(x^5) \right ) + {\frac{5}{2} x^2}}{x^3 \sqrt{x}} \]

Da cui, dividendo numeratore e denominatore per $x^3$:

\[ \int_{0}^{1} \frac{ \frac{17}{6} - \frac{17}{4} x - \frac{x^2}{24} + o(x^3)}{\sqrt{x}} \ \text{d} x \sim \overbrace{\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt {x}} \ \text{d} x}^{{} \clubsuit}, \ x \to 0 \]

Per il p-test, [tex]\clubsuit[/tex] converge, avendo $ p = \frac{1}{2} < 1 $. Di conseguenza, converge anche l'integrale di partenza, poichè asintotico a [tex]\clubsuit[/tex].