Convergenza della serie di fourier, $f$ $\alpha$-hoelderiana
Vale il seguente risultato che non riesco a dimostrare
Sia $f:RR->RR$ una funzione $\alpha$-Hoelderiana, ovvero
$|f(t)-f(s)|<=M*|t-s|^\alpha$, dove $M$ è una costante
e sia inoltre $f$ periodica di periodo $2*\pi$-, allora la serie di fourier di $f$ converge puntualmente ad $f$
PS:mi scuso per il titolo tutto scomposto ma la traccia è lunga e non mi ci entrava tutto
Sia $f:RR->RR$ una funzione $\alpha$-Hoelderiana, ovvero
$|f(t)-f(s)|<=M*|t-s|^\alpha$, dove $M$ è una costante
e sia inoltre $f$ periodica di periodo $2*\pi$-, allora la serie di fourier di $f$ converge puntualmente ad $f$
PS:mi scuso per il titolo tutto scomposto ma la traccia è lunga e non mi ci entrava tutto
Risposte
Direi che discende immediatamente dalla condizione di convergenza puntuale di Dini, che puoi trovare ad esempio su Kolmogorov-Fomin, p. 403.
Una dimostrazione diretta puoi farla partendo da
$S_n(x) - f(x) = \frac{1}{\pi}\int_{\-pi}^{\pi} [\frac{f(x+z)-f(x)}{z} \cdot \frac{z}{2\sin(z/2)}] \cdot \sin(\frac{2n+1}{2} z)dz$,
dove $S_n(x)$ indica ovviamente la somma parziale $n$-esima della serie di Fourier.
Per $x$ fissato, indica con $g(z)$ la funzione fra parentesi quadre.
Usando l'ipotesi di Holderianità hai che $g$ è integrabile; per il lemma di Riemann-Lebesgue concludi infine che $\lim_n [S_n(x)-f(x)] = 0$.
Una dimostrazione diretta puoi farla partendo da
$S_n(x) - f(x) = \frac{1}{\pi}\int_{\-pi}^{\pi} [\frac{f(x+z)-f(x)}{z} \cdot \frac{z}{2\sin(z/2)}] \cdot \sin(\frac{2n+1}{2} z)dz$,
dove $S_n(x)$ indica ovviamente la somma parziale $n$-esima della serie di Fourier.
Per $x$ fissato, indica con $g(z)$ la funzione fra parentesi quadre.
Usando l'ipotesi di Holderianità hai che $g$ è integrabile; per il lemma di Riemann-Lebesgue concludi infine che $\lim_n [S_n(x)-f(x)] = 0$.
"Rigel":
Direi che discende immediatamente dalla condizione di convergenza puntuale di Dini, che puoi trovare ad esempio su Kolmogorov-Fomin, p. 403.
A. Kolmogorov, S. Fomin : Introductory Real Analysis?
La versione che ho io non supera le 300 pagine e non parla (o mi sembra che non parli) di condizione di convergenza puntuale di Dini.
Quindi, mi daresti anche il nome del testo oltre che degli autori? Vedo un po se qualcuno che conosco ce l'ha.
Oppure, se non è lunga da scrivere, potresti postare brevemente almeno l'enunciato della condizone di convergenza puntuale di Dini?
Ho aggiunto qualche dettaglio nel post precedente.
Il Kolmogorov e Fomin a cui mi riferisco è "Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale", Edizioni Mir, che penso si trovi solo usato.
La formula di rappresentazione che ho riportato nel mio post precedente la trovi quasi ovunque (ad esempio sul Fusco-Marcellini-Sbordone o sul Pagani-Salsa, tanto per citare un paio di libri di analisi 2).
Il Kolmogorov e Fomin a cui mi riferisco è "Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale", Edizioni Mir, che penso si trovi solo usato.
La formula di rappresentazione che ho riportato nel mio post precedente la trovi quasi ovunque (ad esempio sul Fusco-Marcellini-Sbordone o sul Pagani-Salsa, tanto per citare un paio di libri di analisi 2).
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