Convergenza debole
Ho questo esercizio: data
$x_n(t)={(n^2t),(-n^2(t-2/n)),(0):}$
dove le tre espressioni valgono rispettivamente per $0<=t<=1/n$, $1/n<=t<=2/n$ e altrove, si stabilisca se $x_n$ converge debolmente in $C([0,1])$
$x_n(t)={(n^2t),(-n^2(t-2/n)),(0):}$
dove le tre espressioni valgono rispettivamente per $0<=t<=1/n$, $1/n<=t<=2/n$ e altrove, si stabilisca se $x_n$ converge debolmente in $C([0,1])$
Risposte
Intendi $C^0$? lo spazio delle funzioni continue? Per avere l'idea dovresti capire chi è il duale di $C^0$, ma vengono le misure...
Si intendo lo spazio delle funzioni continue. Dalla definizione non riesco a ricavare molto perché appunto non so chi è il duale di $C^0([0,1])$
Ciò che devo fare per provare che $x_n$ tende debolmente a $x$ è che preso un qualunque elemento $x'\in(C^0([0,1]))'$ devo mostrare che $x'(x_n)->x'(x)$.
Io ho pensato che un elemento del duale potrebbe avere questa forma:
$x'(x_n)=int_0^1x_n(t)dt$
ma non saprei esattamente il perché; nel caso fosse giusto comunque avrei che:
$x_n(t)->0$ $\forall t \in \RR$
e
$\forall n \in \NN$ $x'(x_n)=int_0^1x_n(t)dt=1$ che non tende a $int_0^(1)0dt=0$
Ovviamente non so se è giusto...
Ciò che devo fare per provare che $x_n$ tende debolmente a $x$ è che preso un qualunque elemento $x'\in(C^0([0,1]))'$ devo mostrare che $x'(x_n)->x'(x)$.
Io ho pensato che un elemento del duale potrebbe avere questa forma:
$x'(x_n)=int_0^1x_n(t)dt$
ma non saprei esattamente il perché; nel caso fosse giusto comunque avrei che:
$x_n(t)->0$ $\forall t \in \RR$
e
$\forall n \in \NN$ $x'(x_n)=int_0^1x_n(t)dt=1$ che non tende a $int_0^(1)0dt=0$
Ovviamente non so se è giusto...
No, non ha quella forma, il duale di $C^0$ viene lo spazio delle misure con segno, quindi una cosa non così facile. Ma non credo che serva sapere come si rappresenta il duale, forse si riesce ugualmente.
"Luca.Lussardi":
No, non ha quella forma, il duale di $C^0$ viene lo spazio delle misure con segno, quindi una cosa non così facile. Ma non credo che serva sapere come si rappresenta il duale, forse si riesce ugualmente.
E non hai idea di come si possa fare???
Da quel che dicono le dispense di un mio vecchio corso di analisi funzionale:
$f_n->f$ debolmente nello spazio $(C[a,b],||.||_{oo})$, se, e solamente se:
esiste un $c$ tale che $||f_n||_{oo}<=c \forall n \in NN$
e
$lim f_n(x)=f(x) \forall x \in [a,b]$
Della prova nessuna traccia, non credo che sia quindi troppo semplice
(il duale di questi spazi è formato da "integrali di Stieltjes" . . . )
$f_n->f$ debolmente nello spazio $(C[a,b],||.||_{oo})$, se, e solamente se:
esiste un $c$ tale che $||f_n||_{oo}<=c \forall n \in NN$
e
$lim f_n(x)=f(x) \forall x \in [a,b]$
Della prova nessuna traccia, non credo che sia quindi troppo semplice
(il duale di questi spazi è formato da "integrali di Stieltjes" . . . )
ma con quale norma intendi?
$||f_n||_(oo)=sup |f_n(x)|$ non mi scrive sup, ma contiene
$||f_n||_(oo)=inf {k: |f_n(x)|<= k q.o.}$ non mi scrive inf, ma appartiene
$||f_n||_(oo)=sup |f_n(x)|$ non mi scrive sup, ma contiene
$||f_n||_(oo)=inf {k: |f_n(x)|<= k q.o.}$ non mi scrive inf, ma appartiene
"fabry1985mi":
ma con quale norma intendi?
$||f_n||_(oo)=sup |f_n(x)|$
oppure un'alta?
sì, questa!
(anche se mi sa che non è il codice esatto
)
ma allora prendendo per vero il teorema detto dovrebbe essere che:
$||x_n(t)||_(oo)=n->+oo$ per $n->+oo$ e dunque non esiste $c$ t.c. $||x_n(t)||_(oo)<=c$ $\forall n in \NN$
dunque $x_n(t)$ non converge debolmente in $C^0([0,1])$
Secondo voi va bene così?
$||x_n(t)||_(oo)=n->+oo$ per $n->+oo$ e dunque non esiste $c$ t.c. $||x_n(t)||_(oo)<=c$ $\forall n in \NN$
dunque $x_n(t)$ non converge debolmente in $C^0([0,1])$
Secondo voi va bene così?
Nel mio piccolo, penso di sì 
Voi non avete visto un teorema analogo?
Comunque, il fatto la norma sia limitata non è vero per qualsiasi successione debolmente convergente?!? Ho questo ricordo..
Voi non avete visto un teorema analogo?
Comunque, il fatto la norma sia limitata non è vero per qualsiasi successione debolmente convergente?!? Ho questo ricordo..
"leev":
Nel mio piccolo, penso di sì
Voi non avete visto un teorema analogo?
Comunque, il fatto la norma sia limitata non è vero per qualsiasi successione debolmente convergente?!? Ho questo ricordo..
Guarda è meglio che non ti spieghi quanto è stato un cane a spiegare questo docente. Su questo argomento non ha mai fatto cenno eppure in un tema d'esame era uscito questo esercizio... E pensare che l'analisi è così bella e c'è certa gente che riesce a fartela odiare!!!
Grazie mille! E speriamo non capiti qualcosa di molto difficile....
Sì, si fa a mano più o meno come stato detto. Per essere più precisi si può fare così. Fissiamo $x \in [0,1]$; allora $F: C^0([0,1]) \to \RR$ che manda $u$ in $u(x)$ è lineare e continuo rispetto alla norma $||\cdot||_\infty$. Dunque se $u_n$ converge debolmente a $u$ in $C^0([0,1])$ necessariamente si ha che $u_n(x) \to u(x)$ ovunque. Questo mostra che se il limite debole c'è per forza deve coincidere con quello puntuale. La successione data va a $0$ puntualmente ovunque, e quindi se convergesse debolmente dovrebbe andare a $0$ anche debolmente. Ma se consideriamo il funzionale lineare e continuo $G : C^0([0,1]) \to \RR$ dato da $G(u)=\int_0^1 u(x)dx$ si ha che $G(u_n)=1$ per ogni $n$ mentre $G(0)=0$. Ne segue che $u_n$ non può tendere debolmente a $0$.
Dunque era giusto il ragionamento anche se non sapevo il perché...
Grazie infinite!
Grazie infinite!
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