Convergente o assolutamente convergente?

[Swalke]

Ciao a tutti.
Devo determinare il carattere della seguente serie a segni alterni e dire se è assolutamente convergente o meno.

sum[n=2, oo] (-1)^n*(log(n)/(5+n*(log(n))^2))

A questo link potete vederla in forma + amichevole:

http://img395.imageshack.us/img395/2619/serie37rm.gif


Usando Leibnitz (se ho fatto giusto) ho trovato che la serie converge.
Ma non riesco a risolvere la serie a segni positivi per poter dire se è assolutamente convergente o meno!

Aiuto!

[Piera4]

Due serie a termini positivi a(n), b(n) hanno lo stesso carattere
se lim a(n)/b(n) = a
a(n) =log n /(5 + n(log n)^2)
b(n) = 1 / nlogn
lim a(n)/b(n) = lim n(log n)^2 /(5 + n(log n)^2) =1
(per vederlo basta dividere numeratore e denominatore per n(log n)^2 )
quindi la serie ha lo stesso carattere di 1/nlog n che diverge per
il criterio degli integrali (una primitiva di 1/xlogx è log|logx| )

[Swalke]

Grazie!
Solo una cosa:
...io ho studiato il criterio dell'integrale ma in realtà non era in programma.

Per caso esiste un altro modo per poter dire che 1/(n*logn) diverge?

[Piera4]

c'è il criterio di condensazione di cauchy:
una serie di termine a(n) positiva e non crescente ha lo stesso carattere di 2^n * a(2^n), ovvero basta sostituire nella serie originaria al posto di n 2^n e moltiplicare tutto per 2^n.
ora a(n)=1/n log n
quindi 2^n * a(2^n)= 2^n *1/(2^n * log 2^n)=
=1/log 2^n =1/(n * log 2)
e questa serie ha lo stesso carattere della serie armonica che diverge

[Swalke]

Grazie mille!!!