Convergenta/Divergenza Serie

[M.C.D.1]

Ragazzi Volevo Chiedervi Aiuto Circa Alcuni esercizi relativi alla convergenza o divergenza di alcune serie

Ad Esempio come agire per la serie

[tex]\sum_{i=1}^\infty log(n)/n^2[/tex]

come determinarne eventuale convergenz/divergenza?

Invece per la serie

[tex]\sum_{i=0}^\infty (n+1)/n![/tex] posso usare il criterio del rapporto?
Tale serie e' convergente perche il limite usando il criterio del rapporto mi da 0, giusto?[/tex]

[crazybassman-votailprof]

SUGGERIMENTO:

cosa rende positiva una funzione sempre negativa?

[M.C.D.1]

Il Segno - ? XD

[crazybassman-votailprof]

Esatto!

Ora hai risolto?

[M.C.D.1]

Quindi Eolo se considero la serie [tex]1/2n-1[/tex] e dimostro che per leibnitz e' convergente
allora anche la serie [tex]-1/2n-1[/tex] e' convergente?

Questo sfruttando la Proposizione che dice che se [tex]a_k[/tex] regolare allora per [tex]c \in R[/tex] anche [tex]c*a_k[/tex] e' regolare?

Invece La Serie

[tex](-1)^{n^2}/n[/tex]

Ovviamente Rispetta La Condizione necessaria di Convergenza
Dopodiche' applicando leibnitz so che [tex](-1)^n/n[/tex] Converge
Ma qual'e' il passo che mi consente di dire che [tex](-1)^{n^2}/n[/tex] Converge?
Posso dire che [tex](-1)^{n^2}[/tex] si comporta come [tex](-1)^{n}[/tex], ovvero che vale 1 per n pari e -1 per n dispari?

[crazybassman-votailprof]

"M.C.D.":Ragazzi mentre per quanto riguarda la seguente serie?

[tex](-1)^{n+1}/(2n-1)[/tex]

E' a segni alterni, quindi volevo usare leibniz

quindi avevo scritto la serie come [tex]-(1)^n*-1/(2n-1)[/tex]

in modo da lavorare sulla serie [tex]-1/(2n-1)[/tex]

Esatto! Molto semplicemente devi portare il segno "-" del fattore $-1/(2n-1)$ fuori dal segno di sommatoria, cioè riscrivere la serie come:

$- sum_(n = 0)^(oo)[(-1)^n*(1/(2n-1))] $; devi però fare attenzione, perchè $[(-1)^n*(1/(2n-1))]_{n=0}=-1$, quindi la serie non ha tutti i termini positivi ed a rigore non potresti applicare il Criterio di Leibnitz; è però semplicissimo riscrivere la serie in questo modo:

$-1+ sum_(n =1)^(oo)[(-1)^n*(1/(2n-1))] $ in modo che tutti i termini della successione $1/(2n-1)$ siano positivi al variare dell'indice di sommatoria; per cui la tua serie converge perchè è la somma di una serie convergente ($sum_(n =1)^(oo)[(-1)^n*(1/(2n-1))] $) e di una costante.

"M.C.D.":Invece La Serie

[tex]-(1)^{n^2}/n[/tex]

Questa serie è già a termini alterni, l'hai detto tu stesso!

"M.C.D.":Posso dire che [tex](-1)^{n^2}[/tex] si comporta come [tex](-1)^{n}[/tex], ovvero che vale 1 per n pari e -1 per n dispari?

Infatti il quadrato di un numero naturale n è pari se n è pari, dispari se n è dispari!