Convergenta/Divergenza Serie
Ragazzi Volevo Chiedervi Aiuto Circa Alcuni esercizi relativi alla convergenza o divergenza di alcune serie
Ad Esempio come agire per la serie
[tex]\sum_{i=1}^\infty log(n)/n^2[/tex]
come determinarne eventuale convergenz/divergenza?
Invece per la serie
[tex]\sum_{i=0}^\infty (n+1)/n![/tex] posso usare il criterio del rapporto?
Tale serie e' convergente perche il limite usando il criterio del rapporto mi da 0, giusto?[/tex]
Ad Esempio come agire per la serie
[tex]\sum_{i=1}^\infty log(n)/n^2[/tex]
come determinarne eventuale convergenz/divergenza?
Invece per la serie
[tex]\sum_{i=0}^\infty (n+1)/n![/tex] posso usare il criterio del rapporto?
Tale serie e' convergente perche il limite usando il criterio del rapporto mi da 0, giusto?[/tex]
Risposte
Ciao! Comincia con lo scrivere le formule come si deve, ossia con i compilatori.
Dopo che lo avrai fatto, parleremo di convergenza di serie e quant'altro.
Dopo che lo avrai fatto, parleremo di convergenza di serie e quant'altro.
Sistemato 
Per la seconda, vai benissimo col rapporto.
Per la prima, proponi tu una risoluzione!
Per la prima, proponi tu una risoluzione!
Dai, diamoglielo un piccolo suggerimento! La chiave sta tutta nel termine $n^2$ al denominatore.
ciampax, sei troppo buono... Potevi dirgli anche di usare il criterio integrale, già che c'eri, e l'esercizio sarebbe stato bello che risolto 
Io pensavo di usare un altro criterio, in realtà! 
Mmm, a me è venuta in mente la tabellina con [tex]x^{\alpha}\ln^{\beta}(x)[/tex] e mi sembra abbastanza immediata come cosa.. Tu che hai in mente?
c'entra qualcosa magari il confrontarla con [tex]1/n^2[/tex] che e' la serie armonica generalizzata con p=2 e che quindi converge?
In realtà non puoi usare il criterio del confronto con la serie che dici tu, però penso tu possa usarne uno simile!
mmm confronto asintotico?
Ciampax avrà in mente un confronto asintotico con una potenza [tex]$>1$[/tex] di [tex]$\tfrac{1}{n}$[/tex].
Io, invece, vorrei proporre un sempreverde, ma poco noto, criterio di condensazione di Cauchy (che coi logaritmi va abbastanza d'accordo).
Io, invece, vorrei proporre un sempreverde, ma poco noto, criterio di condensazione di Cauchy (che coi logaritmi va abbastanza d'accordo).
purtroppo non conosco il criterio di condensazione di Cauchy
"M.C.D.":
purtroppo non conosco il criterio di condensazione di Cauchy
E allora studialo!
Che ci vuole?
si ma se non mi e' stato spiegato a lezione
si suppone che io possa svolgere l'esercizio con gli strumenti che mi son stati forniti
si suppone che io possa svolgere l'esercizio con gli strumenti che mi son stati forniti
E ho capito: infatti l'esercizio si fa col confronto asintotico (ma quello serio, come spiegato qui, in cui si affronta proprio la stessa serie).
Però guarda che col criterio di Cauchy questo esercizio si risolve senza troppi patemi.
Però guarda che col criterio di Cauchy questo esercizio si risolve senza troppi patemi.
grazie ^^
L'ho risolto seguendo il confronto con [tex]\sqrt{n}/n^2[/tex]
Ora stavo studiando la seguente serie
[tex]\sqrt{n} - \sqrt{n-1}[/tex]
Ora e' una serie a termini positivi quindi o converge o diverge
dopodiche' ho verificato la condizione necessaria di convergenza
derazionalizzando e ottenendo
[tex]1/(\sqrt{n} + \sqrt{n-1})[/tex] che tende a 0 per n che va ad infinito
Ora qui Non si puo' usare ne criterio del rapporto, ne della radice
Ho utilizzato il criterio degli infinitesimi per cui
se fissato un numero reale p esiste il limite di [tex]n^p * a_n[/tex] che chiamiamo l
se [tex]p \le 1, l \ne 0[/tex] la serie diverge
se [tex]p > 1, l \ne \infty[/tex] la serie converge
Adesso se io scelgo p =1 ed applico il criterio il limite e' infinito quindi la serie diverge
E' Corretto il procedimento?
C'e' qualche metodo alternativo piu' semplice?
L'ho risolto seguendo il confronto con [tex]\sqrt{n}/n^2[/tex]
Ora stavo studiando la seguente serie
[tex]\sqrt{n} - \sqrt{n-1}[/tex]
Ora e' una serie a termini positivi quindi o converge o diverge
dopodiche' ho verificato la condizione necessaria di convergenza
derazionalizzando e ottenendo
[tex]1/(\sqrt{n} + \sqrt{n-1})[/tex] che tende a 0 per n che va ad infinito
Ora qui Non si puo' usare ne criterio del rapporto, ne della radice
Ho utilizzato il criterio degli infinitesimi per cui
se fissato un numero reale p esiste il limite di [tex]n^p * a_n[/tex] che chiamiamo l
se [tex]p \le 1, l \ne 0[/tex] la serie diverge
se [tex]p > 1, l \ne \infty[/tex] la serie converge
Adesso se io scelgo p =1 ed applico il criterio il limite e' infinito quindi la serie diverge
E' Corretto il procedimento?
C'e' qualche metodo alternativo piu' semplice?
Si, c'è un metodo decisamente più semplice!
Basta osservare che la serie data è uguale alla serie:
$ -sum_(n = 0)^(oo )(sqrt(n-1) -sqrt(n) ) $ ;
questa è una serie telescopica, quindi il suo carattere dipende dal comportamento al limite della successione delle somme parziali $ s_n=a_0-sqrt(n) $ ; poichè questa è divergente negativamente, la serie data è divergente positivamente.
Off Topic:
Spero di aver scritto bene le formule!
Basta osservare che la serie data è uguale alla serie:
$ -sum_(n = 0)^(oo )(sqrt(n-1) -sqrt(n) ) $ ;
questa è una serie telescopica, quindi il suo carattere dipende dal comportamento al limite della successione delle somme parziali $ s_n=a_0-sqrt(n) $ ; poichè questa è divergente negativamente, la serie data è divergente positivamente.
Off Topic:
Spero di aver scritto bene le formule!
Eolo ma la serie data e' a termini positivi, come puo' divergere negativamente?
La serie telescopica non e' definita come [tex]b_k = A_{k+1} - A_k ?[/tex]
Quindi la mia serie di partenza non e' gia telescopica?
La serie telescopica non e' definita come [tex]b_k = A_{k+1} - A_k ?[/tex]
Quindi la mia serie di partenza non e' gia telescopica?
Si si, hai ragione, diverge positivamente, ho modificato il messaggio.
Per quanto riguarda la definizione di serie telescopica, io personalemente l'ho sempre vista definita al contrario, ma in ogni caso è la stessa cosa, basta che ci sia il segno "-"; l'ho scritta in quel modo perchè ho pensato che non avessi notato che era una serie telescopica solo perchè era scritta al contrario!
Per quanto riguarda la definizione di serie telescopica, io personalemente l'ho sempre vista definita al contrario, ma in ogni caso è la stessa cosa, basta che ci sia il segno "-"; l'ho scritta in quel modo perchè ho pensato che non avessi notato che era una serie telescopica solo perchè era scritta al contrario!
Ragazzi mentre per quanto riguarda la seguente serie?
[tex](-1)^{n+1}/(2n-1)[/tex]
E' a segni alterni, quindi volevo usare leibniz
quindi avevo scritto la serie come [tex](-1)^n* -1/(2n-1)[/tex]
in modo da lavorare su [tex]-1/(2n-1)[/tex]
tuttavia quest'ultima non e' positiva come invece chiede leibnitz
un suggerimento?
[tex](-1)^{n+1}/(2n-1)[/tex]
E' a segni alterni, quindi volevo usare leibniz
quindi avevo scritto la serie come [tex](-1)^n* -1/(2n-1)[/tex]
in modo da lavorare su [tex]-1/(2n-1)[/tex]
tuttavia quest'ultima non e' positiva come invece chiede leibnitz
un suggerimento?
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