Controllare equazione complessa.
Vi prego controllatemi se è giusta questa equazione complessa mi vengono dei numeri strani ma il procedimento penso sia giusto. Controllatemela per favore.
\(\displaystyle z^5-5\bar{z}|z|=0 \)
io ho risolto così l'equazione controllate se è giusta
Riscrivo tutto in forma trigonometrica e lascio a sinistra dell'uguale solo \(\displaystyle z^5=5\bar{z}|z| \)
\(\displaystyle \rho^5(\cos(5\theta)+\imath\sin(5\theta))=5 \rho(\cos(-\theta)+\imath\sin(-\theta))\rho \)
\(\displaystyle \rho^5(\cos(5\theta)+\imath\sin(5\theta))=5\rho^2(\cos(-\theta)+\imath\sin(-\theta)) \)
\(\displaystyle \rho^3(\cos(6\theta)+\imath\sin(6\theta))=5 \)
ora eguaglio i moduli \(\displaystyle \rho^3=5 \) e trovo \(\displaystyle \rho = \sqrt[3]{5} \)
ora eguaglio gli argomenti a meno di costanti \(\displaystyle 2k\pi \)
\(\displaystyle 6\theta=2k\pi \) e ottengo \(\displaystyle \theta= \frac{k\pi}{3} \) \(\displaystyle k=0,1,2 \)
dopo ovviamente ci sono gli angoli da calcolare ma fino a qui è giusto o sbagliato? Ditemelo per favore
Grazie in anticipo!
\(\displaystyle z^5-5\bar{z}|z|=0 \)
io ho risolto così l'equazione controllate se è giusta
Riscrivo tutto in forma trigonometrica e lascio a sinistra dell'uguale solo \(\displaystyle z^5=5\bar{z}|z| \)
\(\displaystyle \rho^5(\cos(5\theta)+\imath\sin(5\theta))=5 \rho(\cos(-\theta)+\imath\sin(-\theta))\rho \)
\(\displaystyle \rho^5(\cos(5\theta)+\imath\sin(5\theta))=5\rho^2(\cos(-\theta)+\imath\sin(-\theta)) \)
\(\displaystyle \rho^3(\cos(6\theta)+\imath\sin(6\theta))=5 \)
ora eguaglio i moduli \(\displaystyle \rho^3=5 \) e trovo \(\displaystyle \rho = \sqrt[3]{5} \)
ora eguaglio gli argomenti a meno di costanti \(\displaystyle 2k\pi \)
\(\displaystyle 6\theta=2k\pi \) e ottengo \(\displaystyle \theta= \frac{k\pi}{3} \) \(\displaystyle k=0,1,2 \)
dopo ovviamente ci sono gli angoli da calcolare ma fino a qui è giusto o sbagliato? Ditemelo per favore
Grazie in anticipo!
Risposte
k arriva fino a 5.
Calma coi toni del titolo. Mi sembra che questo forum dia risposta a tutti.
Calma coi toni del titolo. Mi sembra che questo forum dia risposta a tutti.
come sarebbe a dire che \(\displaystyle k \) arriva fino a 5 perchè?
la \(\displaystyle \rho \) è uguale a \(\displaystyle \sqrt[3]{5} \)
le radici da trovare sono 3
la \(\displaystyle \rho \) è uguale a \(\displaystyle \sqrt[3]{5} \)
le radici da trovare sono 3
"21zuclo":
\(z^5-5\bar{z}\ |z|=0\)
Innanzitutto si vede ad occhio che \(z=0\) è soluzione dell'equazione. Quindi, senza ledere la generalità, cerchiamo soluzioni non nulle.
Portando il secondo addendo a destra dell'uguale, passando al modulo m.a.m. e tenendo presente che \(|\bar{z}|=|z|\), dall'equazione discende che:
\[
|z|^5 = 5|z|^2
\]
ergo ogni possibile soluzione non nulla dell'equazione ha \(|z|^3=5\) ossia \(|z|=5^{1/3}\).
Appurato ciò, possiamo cercare le nostre soluzioni nella forma \(z=5^{1/3} w\) con \(|w|=1\); sostituendo nell'equazione si trova:
\[
5^{5/3}\ w^5 -5^{5/3}\ w^{-1} =0
\]
(perché per ogni numero \(w\) di modulo unitario si ha \(\bar{w}=w^{-1}\)), ossia:
\[
w^6=1
\]
e perciò \(w\) è una delle sei radici seste distinte dell'unità.
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