Controesempi per tonelli e fubini
sapreste suggerirmi dei controesempi al teorema di fubini e al teorema di tonelli?
thanks
thanks
Risposte
"Nebula":
sapreste suggerirmi dei controesempi al teorema di fubini e al teorema di tonelli?
thanks
In che senso controesempi?? Forse vuoi degli esempi di applicazione dei due teoremi (che spesso vanno in coppia: con Tonelli si garantisce la sommabilità e con Fubini si rende lecita l'inversione dell'ordine di integrazione)?
"Kroldar":
In che senso controesempi?? Forse vuoi degli esempi di applicazione dei due teoremi (che spesso vanno in coppia: con Tonelli si garantisce la sommabilità e con Fubini si rende lecita l'inversione dell'ordine di integrazione)?
Credo che Nebula chieda degli esempi di funzioni che non verifichino le ipotesi dei teoremi, per cui la tesi (l'indipendenza dall'ordine di integrazione) sia falsa.
Ciao,
L.
"Lorenzo Pantieri":
Credo che Nebula chieda degli esempi di funzioni che non verifichino le ipotesi dei teoremi, per cui la tesi (l'indipendenza dall'ordine di integrazione) sia falsa.
precisamente.
ne avrei un graaaaan bisogno, senza controesempi le cose mi sembrano... lontane...
Cerca un po' nella biblioteca del tuo dipartimento. Si trovano in certi libri di analisi. Ti posso segnalare:
- Analisi tre, Gilardi
- Analisi due, De Marco
Per un livello più avanzato (utile però se si conosce, almeno a grandi linee, la teoria della misura, quella generale per capirci e non solo quelle di Lebesgue e Peano-Jordan):
- Analisi reale e complessa, Rudin
E chi più ne ha, più ne metta...
- Analisi tre, Gilardi
- Analisi due, De Marco
Per un livello più avanzato (utile però se si conosce, almeno a grandi linee, la teoria della misura, quella generale per capirci e non solo quelle di Lebesgue e Peano-Jordan):
- Analisi reale e complessa, Rudin
E chi più ne ha, più ne metta...
"Nebula":
senza controesempi le cose mi sembrano... lontane...
Condivido assolutissimamente questa posizione. Purtroppo, nell'integrale di Lebesgue a volte i controesempi sono piuttosto "cervellotici" (vedi l'esempio di insieme non misurabile dovuto a Vitali -cha fa uso dell'assioma di scelta- o l'esempio di insieme di misura nulla ma con la potenza del continuo dovuto -credo- a Cantor).
Ad ogni modo: senza esempi e controesempi, IMHO, è impossibile capire adeguatamente i concetti matematici.
Ciao,
L.
A proposito, hai studiato quei teoremi nell'ambito dell'integrale di Lebesgue, vero?
"amel":
- Analisi tre, Gilardi
Veramente ottimo, anche se molto tosto!
Eh sì condivido, però è utile per trovare esempi e controesempi, più che studiarci sopra direttamente (anche secondo me è un po' pesante).
"Lorenzo Pantieri":
vedi l'esempio di insieme non misurabile dovuto a Vitali -cha fa uso dell'assioma di scelta- o l'esempio di insieme di misura nulla ma con la potenza del continuo dovuto -credo- a Cantor.
dove posso trovarli?
Visto che Pantieri è di Bologna, gli sarà pure venuto in mente il Pini! 
"Nebula":
[quote="Lorenzo Pantieri"]vedi l'esempio di insieme non misurabile dovuto a Vitali -cha fa uso dell'assioma di scelta- o l'esempio di insieme di misura nulla ma con la potenza del continuo dovuto -credo- a Cantor.
dove posso trovarli?[/quote]
Sono sul Pagani-Salsa, Analisi matematica 2: uno spettacolo di libro. Te lo consiglio, insieme col volume 1, che è se possibile ancora più bello.
P.S. Per Amel: parafrasando S. Paolo, abito a Bologna ma non sono di Bologna!
Comunque il Pini lo conosco di fama: sul suo testo c'è un esempio di funzione che ammette primitiva, ma non integrabile seconda Riemann (alla faccia di chi identifica i due concetti!)
"Lorenzo Pantieri":
parafrasando S. Paolo, abito a Bologna ma non sono di Bologna!
Sì, intendevo quello.
P.S.: Ho sempre avuto rispetto reverenziale per i libri di Pini, soprattutto per la precisione (è un po' pedante), anche se in giro c'è ancora di meglio.
"Lorenzo Pantieri":
sul suo testo c'è un esempio di funzione che ammette primitiva, ma non integrabile seconda Riemann (alla faccia di chi identifica i due concetti!)
cheeeeeeeee?????
cioè tipo alla faccia mia!!!
ma se $F(x)= \int f(x)dx$
allora non è vero che $\int_a^b f(x)dx= F(b)-F(a)$?
Quasi sempre è come dici tu, ma non sempre (!!!!), per questo nel teorema fondamentale del calcolo [size=84](o come cavolo si chiama)[/size], c'è sempre scritto:
Sia data una funzione f integrabile che ammette primitiva ecc ecc
Integrale e primitiva sono due concetti vicini, ma ben distinti...
Sia data una funzione f integrabile che ammette primitiva ecc ecc
Integrale e primitiva sono due concetti vicini, ma ben distinti...
beh, me lo puoi dare questo controesempio o è... come dire... troppo ampio per entrare nei margini di questa pagina?
"Nebula":
beh, me lo puoi dare questo controesempio o è... come dire... troppo ampio per entrare nei margini di questa pagina?
Eh, a pagina 45 del libro Analisi 3 di Gilardi viene proprio riportato un controesempio al teorema di Tonelli. Cito riassumendo. L'ipotesi sul segno di $u$ che compare nel teorema di Tonelli è essenziale. Si consideri infatti la funzione definita q.d. $u(x,y)=\frac{x}{(x^2+y^2)^2}$. Ora $u_y$ è integrabile. Siccome $u_y$ è dispari, segue che il suo integrale è nullo. Pertanto sono soddisfatte le ip. del teor. di Tonelli, tranne quella sul segno. Ora, se valesse la conclusione del teor. di Tonelli, dedurremmo l'integrabilità di u in $\mathbb{R}^2$, mentre $u$ non lo è in quanto ha una singolarità troppo forte nell'origine. Infatti....
Ciao,
L.
"Nebula":
[quote="Lorenzo Pantieri"]sul suo testo c'è un esempio di funzione che ammette primitiva, ma non integrabile seconda Riemann (alla faccia di chi identifica i due concetti!)
cheeeeeeeee?????
cioè tipo alla faccia mia!!!
[/quote]
Un esempio di funzione integrabile ma che non ha primitiva è facile: la funzione segno. Un esempio di funzione che ha primitiva ma non è integrabile è più "tecnico" ed è riportato, per esempio, sul testo di Pini.
Come vedi, non c'è alcun legame fra "avere una primitiva" ed "essere integrabile": i due concetti sono del tutto indipendenti.
Ciao,
L.
"Nebula":
sapreste suggerirmi dei controesempi al teorema di fubini e al teorema di tonelli?
thanks
Puoi consultare anche il volume 2 del Fremlin http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm (pero' non e' un testo scolastico come i soliti Analisi 2, 3, ecc.).
"Lorenzo Pantieri":
Un esempio di funzione integrabile ma che non ha primitiva è facile: la funzione segno. Un esempio di funzione che ha primitiva ma non è integrabile è più "tecnico" ed è riportato, per esempio, sul testo di Pini.
Come vedi, non c'è alcun legame fra "avere una primitiva" ed "essere integrabile": i due concetti sono del tutto indipendenti.
Ciao,
L.
vabè, ma sgn una primitiva quasi quasi ce l'ha, il modulo...
"Nebula":
vabè, ma sgn una primitiva quasi quasi ce l'ha, il modulo...
Messa così, capisci che la cosa non regge: la funzione sgn non ha alcuna primitiva, questo fatto si dimostra facilmente e i discorsi si chiudono qui.
Tuttavia, quel "quasi quasi" è interessante. Si dimostra che, nel caso dell'integrale di Lebesgue, vale una versione "riadattata" del teorema fondamentale del calcolo integrale: se $f$ è una funzione integrabile, la corrispondente funzione integrale è derivabile quasi dappertutto con derivata $f$. Questo teorema rende rigorosa la tua intuizione.
Ciao,
L.
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