Controesempi in Analisi

[gugo82]

In questo thread, cui si spera contribuiscano gli utenti più esperti del forum, vorremmo fare confluire noti e meno noti controesempi in Analisi Matematica, soprattutto in "Analisi di base"*.

I controesempi qui proposti potranno riguardare, e.g., la topologia della retta reale o dello spazio numerico reale \(N\)-dimensionale, la teoria dei limiti, la teoria delle funzioni continue, il Calcolo differenziale ed Integrale (secondo Riemann) per funzioni di una o più variabili, le serie numeriche e di funzioni, le equazioni differenziali, il Calcolo Integrale su varietà monodimensionali e bidimensionali (i.e., integrali curvilinei e di superficie).
Tuttavia, saremo ben lieti di accogliere controesempi dalle varie branche di Analisi Superiore che possano interessare una (più o meno) vasta platea di studenti.

***

Le finalità di un controesempio sono, a nostro parere, principalmente due:

[list=1][*:3qrj1vfk] quella di delimitare con precisione i margini di validità di un teorema o di una teoria (e.g., mostrando che le ipotesi del teorema sono ottimali, cioé non possono essere indebolite senza minare la validità del teorema stesso);

[/*:m:3qrj1vfk]
[*:3qrj1vfk] quella di dimostrare che due o più concetti definiti in maniera diversa (seppur molto simili, o legati da qualche teorema) sono concetti distinti.[/*:m:3qrj1vfk][/list:o:3qrj1vfk]

Per comprendere questa posizione logico-filosofica, il lettore potrà (se vuole) meditare sui due passi seguenti, ognuno relativo ad una delle finalità indicate sopra.

1. Sulle funzioni a derivata nulla in un intervallo.

Un classico teorema di Calcolo Differenziale asserisce che ogni funzione avente derivata prima nulla in un intervallo è ivi costante: per la precisione si ha:

Siano \(I\) un intervallo e \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione continua in \(I\) e derivabile nell'interno di \(I\).

Se \(f^\prime (x)=0\) internamente ad \(I\) allora \(f\) è costante i \(I\), cioé esiste \(c\in \mathbb{R}\) tale che \(f(x)=c\) in tutto \(I\).

Evidentemente, dato che il teorema appena enunciato è dimostrato/dimostrabile, è inutile sforzarsi a trovarvi dei controesempi: si andrebbe incontro a sicuro fallimento.
Ciò nonostante, viene lecito chiedersi se è possibile eliminare/indebolire qualche ipotesi del teorema conservandone la validità.
Tra le ipotesi del teorema, quella che sembra plausibilmente troppo forte è l'ipotesi sulla geometria dell'insieme di definizione della funzione \(f\), i.e. l'ipotesi "\(I\) è un intervallo". Infatti, sembrerebbe che le caratteristiche topologiche/geometriche di \(I\) entrino in gioco nel teorema solo attraverso la definizione di derivabilità, che è ben posta solo nei punti interni.
Quindi sembrerebbe che l'ipotesi geometrica forte "\(I\) è u intervallo" possa essere rimpiazzata da qualcuna più debole, come ad esempio la:

(H) "tutti i punti di accumulazione per \(I\) sono pundi di accumulazione per i punti interni ad \(I\)".

Si noti che la (H) è strettamente più debole della prima, poichél'insieme \(I=[-1,0[\cup ]0,1[\) non è un intervallo ma soddisfa ugualmente la (H).

Perciò si sarebbe portati a formulare una congettura del tipo:

Siano \(I\) un insieme che soddisfa la (H) e \(f:I\to \mathbb{R}\) una funzione continua in \(I\) e derivabile nell'interno di \(I\).

Se \(f^\prime (x)=0\) internamente ad \(I\) allora \(f\) è costante i \(I\), cioé esiste \(c\in \mathbb{R}\) tale che \(f(x)=c\) in tutto \(I\).

Ebbene questa congettura non esprime una verità matematica, cioé non può essere trasformata in un teorema mediante una dimostrazione.
Per lumeggiare tale circostanza, è fondamentale il seguente:

Controesempio (alla congettura!):

Prendiamo \(I=[-1,0[\cup ]0,1[\) e definiamo:
\[
f(x):= \begin{cases} -1 &\text{, se } -1\leq x<0\\
1 &\text{, se } 0 \end{cases}
\]
Chiaramente \(f\) è continua in \(I\) e derivabile nel suo interno (cioé in \(]-1,0[\cup ]0,1[\)) e si ha:
\[
f^\prime (x) = 0
\]
nell'interno di \(I\)... Tuttavia \(f\) non è costante in \(I\), come asserito dalla congettura!

Quindi la congettura è da rifiutare, perché asserisce (almeno in un caso) una cosa falsa.

Quanto appena mostrato aiuta a comprendere che l'ipotesi geometrica ritenuta forzata all'inizio, i.e. "\(I\) è un intervallo", è una parte essenzial del teorema e che essa non può essere indebolita senza pregiudicare la validità del teorema stesso.
Il Controesempio, perciò, ha mostrato un limite della nostra teoria... Quale?
Quello che non è possibile dimostrare un teorema del tipo \(f^\prime (x)=0\ \Rightarrow\ f(x)=\text{cost.}\) senza fare ipotesi di natura geometrica ben precisa sull'insieme di definizione e di derivabilità di \(f\), i.e. che il teorema riportato sopra non è ulteriormente generalizzabile.

2. Sulla differenza tra continuità e derivabilità.

Due noti concetti di Analisi sono quelli di derivabilità e di continuità in un punto.
Essi si definiscono come segue:

Siano \(I\) in insieme non vuoto, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in I\) un p.d.a. per \(I\).

Si dice che \(f\) è continua in \(x_0\) se risulta:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) =f(x_0)\; .
\]

Se \(x_0\) è interno, si dice che \(f\) è derivabile in \(x_0\) se risulta finito il:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; ;
\]
in tal caso il valoe di tale limite si chiama derivata di \(f\) in \(x_0\) e si denota con \(f^\prime (x_0)\).

Una delle primissime conseguenze che discendono dalla definizione di derivabilità è il seguente teorema:

Siano \(I\) un insieme non vuoto, \(f:I\to \mathbb{R}\) ed \(x_0\in I\) un punto interno.

Se \(f\) è derivabile in \(x_0\), allora \(f\) è continua in \(x_0\).

[/quote]
Quindi la proprietà di derivabilità è più forte di quella di continuità... Ma non potrebbero essere tali due proprietà equivalenti?
In altri termini, si potrebbe congetturare che oltre all'implicazione \(f\text{ derivabile in }x_0\ \Rightarrow\ f\text{ continua in } x_0\) (sancita dal teorema precedente) valga pure l'inversa, cioé \(f\text{ derivabile in }x_0\ \Leftarrow\ f\text{ continua in } x_0\); in tal caso, le due nozioni di derivabilità e di continuità, seppure definite in maniera diversa, sarebbero del tutto equivalenti (nel senso che esse individuerebbero la medesima classe di funzioni).

Ma questa congettura può essere smontata 365 giorni l'anno con il seguente:

Controesempio (alla congettura!):
Siano \(I=[-1,1]\), \(f:I\ni x\mapsto |x|\in \mathbb{R}\) ed \(x_0=0\).
I tre oggetti \(I\), \(f\) ed \(x_0\) soddisfano le ipotesi del teorema precedente, però \(f\) è continua in \(x_0\) pur non essendo ivi derivabile, perché il limite:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}
\]
non esiste finito.

Quindi la proprietà di derivabilità è ben distinta da quella di continuità, ed è "più forte" di quest'ultima (nel senso che la derivabilità è soddisfatta da "molte meno funzioni" rispetto alla continuità).

Da quanto scritto qui sopra emerge chiaramente l'importanza del ruolo del controesempio in Analisi.
Non riconoscere tale importanza, e ridurre il controesempio ad un orpello della teoria, è molto grave... Ma ancora più grave è non dedicare alla costruzione di controesempi il giusto tempo ed il giusto impegno, in aula e fuori.

Per questo motivo, la moderazione della stanza di Analisi ha pensato di istituire questo thread.
L'idea è creare un serbatotio che raccolga materiale relativo a numerosi controesempi, dal quale attingere per integrare quelli già presenti sui testi e/o già presentati a lezione.

***

Buona lettura a tutti.


P.S.:
[xdom="gugo82"]Per mantenere ordinato il thread, consiglio a chiunque abbia da fare osservazioni sul contenuto o sul formato dei post qui presentati di contattare direttamente gli autori in PM.
Grazie per la collaborazione.[/xdom]

__________
* Con la locuzione "Analisi di base" vogliamo intendere quella abbracciata dai classici programmi di Analisi I e II dei più comuni corsi universitari.

[gugo82]

Indice

[*:2balpliy] Funzioni continue
[list=1] [*:2balpliy] Una funzione continua in un unico punto e discontinua altrove.[/*:m:2balpliy][/list:o:2balpliy]

[/*:m:2balpliy]
[*:2balpliy] Funzioni derivabili
[list=1][*:2balpliy] Una funzione derivabile in un unico punto e non derivabile altrove.[/*:m:2balpliy][/list:o:2balpliy][/*:m:2balpliy][/list:u:2balpliy]

[gugo82]

La funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definita come segue:
\[
f(x):= \begin{cases} x &\text{, se } x \text{ è irrazionale}\\
0 &\text{, se } x \text{ è razionale.}
\end{cases}
\]
è continua in \(0\) e solo in tale punto.

Dim.: 1. La \(f\) è continua in \(0\).
Infatti, si ha:
\[
|f(x)-f(0)|= |f(x)| = \begin{cases} |x| &\text{, se } x \text{ è irrazionale}\\
0 &\text{, se } x \text{ è razionale}
\end{cases}
\]
ergo, in corrispondenza di \(\varepsilon >0\), prendendo \(\delta =\varepsilon\) risulta:
\[
|x-0|<\delta \qquad \Rightarrow \qquad |f(x)-f(0)|<\varepsilon \; .
\]

2. La \(f\) non è continua in alcun altro punto della retta reale.
Invero, scelto \(x_0\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\), si possono presentare due casi:

[*:277ja17y] se \(x_0\) è irrazionale, allora per ogni \(\delta >0\) è possibile scegliere \(x_\delta\) razionale in modo che \(|x_\delta -x_0|<\delta\) e \(|f(x_\delta)-f(x_0)|=|-f(x_0)|=|x_0|\geq |x_0|\);

[/*:m:277ja17y]
[*:277ja17y] se \(x_0\) è razionale, allora per ogni \(\delta >0\) è possibile scegliere \(x_\delta\) irrazionale in modo che \(|x_\delta -x_0|<\delta\) e \(|f(x_\delta)-f(x_0)|=|f(x_\delta)|=|x_\delta|\geq |x_0|\);[/*:m:277ja17y][/list:u:277ja17y]

in ogni caso, dunque, si ha:
\[
\exists \varepsilon =|x_0|>0:\ \forall \delta >0, \exists x_\delta \in ]x_0-\delta ,x_0+\delta[:\ |f(x_\delta) -f(x_0)|\geq \varepsilon
\]
quindi \(f\) non può essere continua in \(x_0\).

***

Commenti.

Il controesempio appena riportato mostra che la nozione di continuità non è locale, nel senso che adesso andiamo ad illustrare.

Quando cerchiamo di immaginare una funzione continua in un punto ci scontriamo sempre con una difficoltà: infatti, gli esempi di funzioni che vengono alla mente non solo continui solo in un punto, ma continui tutto intorno a quel punto (od addirittura in tutto l'insieme di definizione).
Ad esempio, se proviamo a trovare una funzione definita in \([-1,1]\) e continua in \(0\), vengono alla mentre immediatamente grafici del tipo:
[asvg]xmin=-2;xmax=2; ymin=-2;ymax=2;
axes();
strokewidth=2;
stroke="red"; plot("x",-1,1); stroke="orange"; plot("x^2+1", -1,1); stroke="yellow"; plot("cos(10*x)-0.5",-1,1);[/asvg]
che però appartengono a funzioni continue in tutto \([-1,1]\), oppure del tipo:
[asvg]xmin=-2;xmax=2; ymin=-2;ymax=2;
axes();
strokewidth=2;
stroke="dodgerblue"; plot("x",-0.5,0.5); line([-1,0],[-0.5,0]); line([0.5,0.5],[1,0.5]);[/asvg]
che appartengono a funzioni discontinue in \([-1,1]\), ma continue in un intorno di \(0\).

Pertanto l'intuizione ci porterebbe a congetturare che:

Una funzione \(f\) continua in un punto \(x_0\) interno ad \(X\) è continua in tutto un intorno di \(x_0\).

Questa congettura farebbe diventare la continuità una proprietà locale; in altri termini, la continuità in un punto \(x_0\) si "irradierebbe" a tutti i punti di un (adeguato) intorno di tale punto, rendendo la continuità "qualcosa di più" di una semplice proprietà puntuale (i.e. legata al comportamento in un unico punto).

Tuttavia, la nostra intuizione è fallace e ciò è ben mostrato dall'esempio riportato all'inizio, in cui la continuità in \(0\) si guarda bene dall'irradiarsi anche intorno a \(0\). Quindi possiamo ben dire che esistono funzioni, continue in un punto interno al proprio insieme di definizione, che non lo sono in alcun altro punto di tale insieme (in particolare, esse non sono continue intorno al punto scelto).
Pertanto la proprietà di continuità è una proprietà intrinsecamente puntuale, nel senso che essa non si "irradia" da un punto a tutto un intorno di tale punto (né può farlo in alcun modo).

Questo fatto rende necessaria la definizione di continuità in un insieme in termini di continuità in ogni punto di tale insieme, i.e. rende necessario fornire prima la definizione di continuità in un punto:

Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) un insieme non vuoto, \(f:X\to \mathbb{R}\) e \(x_0\in X\).
Si dice che \(f\) è continua in \(x_0\) se essa soddisfa la seguente proprietà:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall x\in X\cap ]x_0-\delta, x_0+\delta[,\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \; .
\]

e solo dopo la definizione di continuità in un insieme:

Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) un insieme non vuoto ed \(f:X\to \mathbb{R}\).
Si dice che la \(f\) è continua in \(X\) se essa è continua in ogni punto di \(X\) (a norma della definizione data all'inizio).

[Zero87]

Vediamo un controesempio abbastanza famoso del Teorema di esistenza dei valori intermedi.
Rivediamo, innanzitutto, l'enunciato del teorema di esistenza dei valori intermedi.


Teorema (enunciato)

Sia $f:[a,b]-> \RR$ una funzione continua. Supponiamo che valga $f(a) Allora la funzione assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$, in altre parole $\forall \bar(y)$ tale che $f(a) < \bar(y) < f(b)$ (o, rispettivamente, $f(a)>\bar(y)>f(b)$), esiste $\bar(x)\in ]a,b[$ tale che $f(\bar(x))=\bar(y)$.


Controesempio

Di questo teorema non vale il viceversa, in altre parole può esistere una funzione che soddisfa la tesi il teorema di esistenza dei valori intermedi ma non è continua.
Il controesempio più famoso è $f(x):[0,1]->\RR$ definita nel modo seguente
$f(x)={ (0 \qquad \qquad \qquad \qquad x=0),(sin(1/x) \qquad 0 che soddisfa il teorema dei valori intermedi ma non è continua nell'origine (basta calcolare limite destro e sinistro).

Mostriamo, ora, che la funzione così definita assume tutti i valori intermedi tra $0$ e $sin(1)$.
Poiché $x\in [0,1]$, scelgo $x=1/\pi$ che è uguale a circa $0,3$ per la cronaca. Abbiamo
$sin(1/(1/\pi))=sin(\pi)=0$.
Nell'intervallo $[1/\pi, 1]$ la funzione $sin(1/x)$ assume tutti i valori intermedi tra $0$ e $sin(1)$ poiché è una funzione continua e soddisfa tutte le ipotesi di tale teorema. Dunque in tutto $[0,1]$ la funzione assume tutti i valori intermedi tra $0$ e $sin(1)$ in quanto li assume in una restrizione del suo intervallo.


NOTA

Molti controesempi sono dati dalle funzioni di Darboux che sono funzioni che soddisfano la proprietà dei valori intermedi ma non è detto che siano continue: sono semplicemente "derivate di funzioni derivabili". Poiché a parole mie non sono una garanzia, preferisco citare questo intervento di Gugo
https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 28#p773328

Ringrazio, infine, Paolo90 per i suggerimenti stilistici.

[Paolo902]

@Zero87: mi fa piacere vedere che hai apportato le modifiche suggerite. Però.... non hai dimostrato che quella funzione ha la proprietà dei valori intermedi!

[gugo82]

La funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2 &\text{, se } x \text{ è irrazionale}\\
0 &\text{, se } x \text{ è razionale}
\end{cases}
\]
è derivabile in \(0\) e solo in tal punto.

Dim.: Per comodità divido la dimostrazione in due passi.

1. La funzione \(f\) è derivabile in \(0\).
Invero è:
\[
\begin{split}
\frac{f(x)-f(0)}{x-0} &= \begin{cases} \frac{x^2-0}{x} &\text{, se } x \text{ è irrazionale}\\
\frac{0-0}{x} &\text{, se } x \text{ è razionale}
\end{cases}\\
&= \begin{cases} x &\text{, se } x \text{ è irrazionale}\\
0 &\text{, se } x \text{ è razionale}
\end{cases}
\end{split}
\]
e sappiamo (cfr. questo controesempio) che tale funzione è continua in \(0\); perciò abbiamo:
\[
f^\prime (0)=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =0\; .
\]

2. La \(f\) non è derivabile in alcun altro punto di \(\mathbb{R}\).
Basta osservare che \(f\) non è continua in alcun punto di \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\), dunque a fortiori essa non è derivabile in nessun punto di tale insieme.

***

Commenti

Il controesempio appena riportato mostra che, al pari della continuità, la derivabilità non è una proprietà locale, bensì essa è una proprietà intrinsecamente puntuale. In altri termini, la proprietà di derivabilità non si "irradia" da un punto a tutto un intorno di tale punto (né può farlo in alcun modo).

Questo fatto rende necessaria la definizione di derivabilità in un insieme aperto in termini di derivabilità in ogni punto di tale insieme, i.e. rende necessario fornire prima la definizione di derivabilità in un punto:

Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) un insieme aperto non vuoto, \(f:X\to \mathbb{R}\) e \(x_0\in X\).
Si dice che \(f\) è derivabile in \(x_0\) se esiste ed è finito il:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\; .
\]

e solo dopo la definizione di derivabilità in un insieme:

Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) un insieme aperto non vuoto ed \(f:X\to \mathbb{R}\).
Si dice che la \(f\) è derivabile in \(X\) se essa è derivabile in ogni punto di \(X\) (a norma della definizione data sopra).

[Federico7771]

Sia $D$ $sube$ $RR$ ed $f: D \to RR$ una funzione. Sia $c$ interno a $D$; se esiste un intorno $(c-\delta,c+\delta)$ di $c$ t.c.:
[list=i] [*:2501tyec] $f$ sia decrescente in $(c-\delta,c)$ e crescente in $(c,c+\delta)$ allora c è minimo locale;
[/*:m:2501tyec]
[*:2501tyec] $f$ sia crescente in $(c-\delta,c)$ e decrescente in $(c,c+\delta)$ allora c è massimo locale.[/*:m:2501tyec][/list:o:2501tyec]

La condizione esposta è sufficiente ma non necessaria affinché $c$ sia di estremo locale.

Semplice controesempio:
\[
f(x):= \begin{cases} x^2\left( 2-\sin \frac{1}{x}\right) &\text{, se } x\neq 0 \\
0 &\text{, se } x=0 .
\end{cases}
\]
In $x=0$ si ha un minimo, ma negli intorni destri e sinistri non ha senso parlare di di monotonia.

Sembrerà anche banale ma mi è sembrato di capire che è un errore spesso diffuso non prendere in considerazione anche questo tipo di funzioni.

[j18eos]

Premessa: riferendomi all'opening post di gugo82, ripensando alle mie esperienze di insegnamento privato; propongo all'intera comunità un post come da titolo.

Mi auguro che questo post possa essere utile anche a chi studia per la prima volta la topologia generale.

§§§

Inizio subito col mettere la carta in tavola:

Teorema di Borel - Heine - Lebesgue - Pincherle:
Un sottoinsieme \(K\) di \(\mathbb{R}^n\) (con la topologia naturale) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Per semplicità, sia \(n=1\) allora tutti gli intervalli chiusi e limitati di \(\mathbb{R}\) sono compatti; però non tutti i sottoinsiemi compatti di \(\mathbb{R}\) sono gli intervalli chiusi e limitati!

L'esempio naive di insieme compatto che non sia un intervallo chiuso e limitato è una unione finita(1) di intervalli chiusi e limitati, da ciò si sarebbe indotti a rafforzare il precedente teorema (che enunzio solo per \(n=1\) nel seguito tratterò il caso \(n\geq2\)) così:

Un sottoinsieme \(K\) di \(\mathbb{R}\) è compatto se e solo se è una unione finita di intervalli chiusi e limitati.

Ma questo teorema è falso, come mi appresto a dimostrare considerando l'insieme di Cantor.

Costruzione.

Considerato l'intervallo \([0;1]\equiv I\), si costruisca la successione decrescente di insiemi chiusi:
\[
I_1=I\setminus\left]\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right[\\
I_2=I_1\setminus\left(\left]\frac{1}{9};\frac{2}{9}\right[\cup\left]\frac{7}{9};\frac{8}{9}\right[\right)\\
I_3=I_2\setminus\left(\left]\frac{1}{27};\frac{2}{27}\right[\cup\left]\frac{7}{27};\frac{8}{27}\right[\cup\left]\frac{19}{27};\frac{20}{27}\right[\cup\left]\frac{25}{27};\frac{26}{27}\right[\right)=\\
=I\setminus\left(\bigcup_{m=1}^3\bigcup_{n=0}^{2^{m-1}-1}\left]\frac{1+3n}{3^m};\frac{2+3n}{3^m}\right[\right)\\
\vdots
\]
tale successione converge a un insieme \(\displaystyle C=I\setminus\left(\bigcup_{m=1}^{+\infty}\bigcup_{n=0}^{2^{m-1}-1}\left]\frac{1+3n}{3^m};\frac{2+3n}{3^m}\right[\right)\) non vuoto, in quanto:
\[
\left\{0;\frac{1+3n}{3^m};\frac{2+3n}{3^m};1\right\}_{m\in\mathbb{N};n\in\{0;...;2^{m-1}-1\}}\subset C;
\]
in particolare \(C\) è un insieme infinito.

Per costruzione \(C\) è un sottoinsieme chiuso di \(I\), poiché esso è il complemento in \(I\) di un insieme unione (numerabile) di intervalli aperti; poiché \(I\) è un sottoinsieme chiuso di \(\mathbb{R}\) e \(C\) è un sottoinsieme chiuso di \(I\) allora \(C\) è un sottoinsieme chiuso di \(\mathbb{R}\), essendo pure limitato allora \(C\) è un insieme compatto per il teorema di Borel - Heine - Lebesgue - Pincherle!

Caratterizzazione degli elementi dell'insieme di Cantor.

Rappresentando gli elementi di \(I\) in base \(3\), si ha per costruzione che in \(C\) non vi sono elementi la cui rappresentazione in base \(3\) contenga almeno una cifra, che non sia l'ultima, pari ad \(1\); per semplicità espongo il ragionamento su \(I_1\), gli altri casi sono analoghi: per costruzione:
\[
I_1=[0;1]\setminus\left]\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right[
\]
ovvero, rappresentando gli elementi di tale insieme in base \(3\) si ha che sono eliminati gli elementi da \(0,1x_2x_3..._3\) a \(0,2y_2y_3..._3\) ove \(x_2;y_2;x_3;y_3;...\in\{0;1;2\}\), inoltre, si nota che:
\[
\frac{1}{3}=0,1_3=0,0222..._3=\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{2}{3^k};
\]
allora:
\[
C=\left\{\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{3^n}\in I\mid a_n\in\{0;2\}\right\}
\]
ovvero \(C\) è equipotente all'insieme \(\{0;2\}^{\mathbb{N}}\), per cui è un insieme infinito continuo.

A questo punto è facile concludere che \(C\) non contiene alcun tipo di intervallo!

Dimostrazione.

Per assurdo \(C\) contenga almeno un intervallo, senza ledere la generalità siano \(0,x_1x_2x_3..._3=x\in C\) ove \(x_1;x_2;x_3;...\in\{0;2\}\) e \(]x-r;x+r[\subset C\) con \(r\in]0;1[\); per la densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\) si ha che esiste \(\rho\in\mathbb{Q}\cap]0;r]\), sia \(\rho=0,r_1r_2r_3..._3\) ove al solito \(r_1;r_2;r_3;...\in\{0;1;2\}\); considerato il minimo indice \(k\in\mathbb{N}\) tale che \(r_k=1\) e si può supporre senza ledere la generalità che sia \(r_{k+1}\neq0\), considerato l'elemento \(y=0,x_1...x_{k-1}r_kx_{k+1}..._3\) si ha che:
\[
|x-y|=|0,0...0r_k0..._3|=\frac{1}{3^k}<\rho\leq r
\]
e quindi \(y\in C\) in assurdo con la precedente caratterizzazione di \(C\).

Passando al caso \(n\geq2\), mimando il caso \(n=1\), si potrebbe supporre che:

Un sottoinsieme \(K\) di \(\mathbb{R}^n\) (con la topologia naturale) è compatto se e solo se è l'unione finita di pluri-rettangoli chiusi e limitati.

Richiamato il seguente teorema di topologia:

Il prodotto (topologico) di finiti(2) insiemi è compatto se e solo se ogni insieme fattore è compatto

e considerando il prodotto di \(n\) copie dell'insieme di Cantor, si ha un insieme compatto che non contiene alcun pluri-rettangolo.

In conclusione, il teorema di Borel - Heine - Lebesgue - Pincherle non è potenziabile come supposto!

§§§

Note finali.

(1) Giusto per scrupolo: considerato l'insieme \(J=\displaystyle\bigcup_{k=0}^{+\infty}\left[\frac{1}{2^{2k+1}};\frac{1}{2^{2k}}\right]\), esso è limitato ma non è chiuso; in quanto \(0\notin J\) ma \(0\) è aderente a \(J\), pur essendo \(J\) una unione (infinita) di intervalli chiusi e limitati; per il teorema di Borel - Heine - Lebesgue - Pincherle \(J\) non è un insieme compatto.

(2) Il teorema di topologia generale richiamato è valido per un qualsiasi prodotto topologico, anche infinito; però ci sono dei passaggi delicati da evidenziare:
[list=1]
[*:1suioac6] se un prodotto topologico è compatto allora è facile dimostrare che ogni insieme fattore è compatto;[/*:m:1suioac6]
[*:1suioac6] data una famiglia infinita di insiemi compatti, il loro prodotto topologico è compatto (teorema di Tikhonov), ma tale teorema è equivalente all'assioma della scelta (AC), quindi ho preferito richiamare un'enunziato debole piuttosto che l'enunziato completo e forte;[/*:m:1suioac6]
[*:1suioac6] per le famiglie numerabili di spazi metrici (compatti) il teorema di Tikhonov è indipendente da AC.[/*:m:1suioac6][/list:o:1suioac6]

[j18eos]

Premessa: non ho premesse da esporre, nel senso che per giustificare un tale controesempio topologico in "analisi" dovrei scrivere più post; mi limito a scrivere che questo post è utile a tutti quelli che studiano le forme differenziali in "analisi 2" (e non).

§§§

Richiamo il teorema cardine di tale post:

Teorema di caratterizzazione degli insieme aperti connessi in \(\displaystyle(\mathbb{R}^n;\mathcal{T}_{nat})\):
Un insieme aperto \(\displaystyle A\) in \(\displaystyle(\mathbb{R}^n;\mathcal{T}_{nat})\) è connesso se e solo se è connesso per cammini.

in conseguenza: se si deve studiare un forma differenziale su un insieme aperto connesso non ci sono problemi rispetto alla connessione per archi.

Ma se si deve studiare una forma differenziale su un insieme connesso non aperto, le cose si complicano; infatti, il serpente topologico o seno del topologo e nomi simili è un insieme (chiuso) connesso ma non connesso per cammini.

Costruzione. (I parte)

Considerato l'insieme:
\[
X=\left\{\left(x;\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)\mid x>0\right\}
\]
esso è il grafico della funzione \(\displaystyle\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) sull'intervallo \(\displaystyle]0;+\infty[\); essendo una funzione composta di funzioni continue, \(\displaystyle\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) è una funzione continua.
Richiamato il seguente teorema di topologia generale:

Teorema di caratterizzazione degli insiemi connessi di \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\):
Un sottoinsieme \(\displaystyle S\) di \(\displaystyle(\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\) è connesso se e solo se è vuoto[nota]Si assume per definizione che l'insieme vuoto è connesso.[/nota] o è un intervallo[nota]Per i più pignoli: \(\displaystyle\mathbb{R}\) è un intervallo perché soddisfa la definizione di intervallo stesso.[/nota].

quindi \(\displaystyle]0;+\infty[\) è un insieme aperto connesso per cui è un insieme connesso per archi, allora \(\displaystyle X\) è un insieme connesso per cammini in quanto immagine[nota]L'immagine di un insieme connesso (per cammini) mediante una funzione continua è un insieme connesso (per cammini).[/nota] della funzione continua:
\[
\varphi:x\in]0;+\infty[\to\left(x;\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)\in\mathbb{R}^2.
\]
Richiamato un altro teorema di topologia generale:

Sia \(\displaystyle X\) un sottoinsieme conneso in uno spazio topologico \(\displaystyle(S;\mathcal{T})\), allora la sua chiusura \(\displaystyle\overline{X}\) è un insieme connesso.

si ha che \(\displaystyle\overline{X}\) è un insieme connesso; tale è il serpente topologico.

Ora bisogna calcolare esplicitamente \(\displaystyle\overline{X}\)... È più facile a farsi che a dirsi (prof. Riccardo De Arcangelis, R.I.P.)

Costruzione. (II parte)

Sia \(\displaystyle x_0\in]0;2\pi]\), considerata la successione \(\displaystyle\left\{\frac{1}{x_0+2n\pi}\in]0;+\infty[\right\}_{n\in\mathbb{N}_0}\) banalmente risulta che:
\[
\lim_n\varphi\left(\frac{1}{x_0+2n\pi}\right)\in\{0\}\times[-1;1]
\]
quindi:
\[
\overline{X}\supseteq X\cup\{0\}\times[-1;1].
\]
Sia \(\displaystyle\left(\overline{x};\overline{y}\right)\in\overline{X}\); per assurdo sia \(\displaystyle\overline{x}<0\), ciò significherebbe che:
\[
\exists\{x_n\in]0;+\infty[\}_{n\in\mathbb{N}}\mid\lim_nx_n<0
\]
e ciò è assurdo; quindi è per forza \(\displaystyle\overline{x}\geq0\).
Il caso che \(\displaystyle\overline{x}>0\) corrisponde al grafico della funzione \(\displaystyle\varphi\), quindi interessa solo il caso che sia \(\displaystyle\overline{x}=0\).
Sia:
\[
\{x_n\in]0;+\infty[\}_{n\in\mathbb{N}}\mid\lim_nx_n=0
\]
allora banalmente:
\[
\lim_n\varphi(x_n)\in\{0\}\times[-1;1]
\]
quindi[nota]Essendo in \(\displaystyle(\mathbb{R}^2;\mathcal{T}_{nat})\), la chiusura di un insieme \(\displaystyle S\) coincide con la sua chiusura per successioni; ovvero l'insieme ottenuto dai limiti delle successioni dei punti di \(\displaystyle S\) convergenti in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\), in particolare le successioni costanti determinano \(\displaystyle S\) stesso.[/nota]:
\[
\overline{X}=X\cup\{0\}\times[-1;1].
\]

Il serpente topologico è un insieme connesso ma non connesso per cammini!

Dimostrazione.

Sia \(\displaystyle(0;y_1)\in\overline{X}\); per assurdo esista una funzione continua \(\displaystyle\gamma\) da \(\displaystyle[0;1]\) a \(\displaystyle\overline{X}\) tale che \(\displaystyle\gamma(0)\in X\) e \(\displaystyle\gamma(1)=(0;y_1)\).
Posto:
\[
p_1:(x;y)\in\overline{X}\to x\in[0;+\infty[
\]
si consideri:
\[
\sup\{t\in[0;1]\mid p_1(\gamma(t))>0\}=\sup X_+=\tau
\]
per ipotesi \(\displaystyle0\leq\tau<1\) ovvero essendo \(\tau\) il minimo dei maggioranti di \(\displaystyle X_+\) si ha che:
\[
\forall t\in]\tau;1],\,p_1(\gamma(t))=0.
\]
Ricordata la definizione dell'estremo superiore per l'insieme \(\displaystyle X_+\):
\[
\forall t\in X_+,\,t\leq\tau,\\
\forall\epsilon>0,\,\exists t\in X_+\mid\tau-\epsilon\leq t\leq\tau
\]
per il teorema della permanenza del segno delle funzioni continue:
\[
\exists\delta>0:\forall t\in]\tau-\delta;\tau+\delta[\cap[0;1],\,p_1(\gamma(t))>0
\]
quindi per la seconda proprietà che definisce l'estremo superiore di un insieme, dev'essere \(\tau=1\) in assurdo con quanto affermato!

Onde evitare l'assurdo \(\displaystyle\overline{X}\) non è un insieme connesso per cammini.

Conclusioni.
[list=1]
[*:wr4zh6mt] Si è esplicitamente costruito un insieme non aperto connesso ma non connesso per cammini, quindi il teorema richiamato all'iniziato non è migliorabile.[/*:m:wr4zh6mt]
[*:wr4zh6mt] A causa di quanto dimostrato: un insieme si definisce semplicemente connesso se e solo se ogni sua componente connessa per cammini è semplicemente connessa.
Questo è il concetto topologico (correttamente definito) che si utilizza per studiare le forme differenziali.[/*:m:wr4zh6mt][/list:o:wr4zh6mt]
§§§

Ringraziamenti:
Ringrazio gabriella127 per avermi aiutato a migliorare questo post chiedendo spiegazioni su alcuni punti non chiari.[ot]Più che un esempio patologico mi sembra un esempio cervellotico; ovviamente ci si può fustigare nel costruire un insieme in \(\displaystyle(\mathbb{R}^n;\mathcal{T}_{nat})\) connesso ma non connesso per cammini, che non sia né aperto e né chiuso... Buon divertimento! [/ot]

[elianto84]

Vorrei giusto segnalare che c'è un bel libro interamente dedicato all'argomento, è il Gelbaum, Counterexamples in Analysis, consultabile da http://www.kryakin.org/am2/_Olmsted.pdf.

[quantunquemente]

un controesempio sul teorema di Rolle

$y=|x|$ in $[-1,1]$
la funzione è continua nell'intervallo,si ha $f(-1)=f(1)$,ma è derivabile solo in $(-1,1)-{0}$

non esiste un punto interno all'intervallo in cui si annulli la derivata

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Esempio di funzione derivabile ma non [tex]\mathcal{C}^1[/tex] (cioè la derivata non è continua).
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2\sin(1/x), & se\ x\neq 0,\\
0, & se\ x = 0.
\end{cases}
\]
La derivata di questa funzione non è continua in zero.

Esempio di funzione con derivata positiva in un punto ma non crescente in nessun intorno di tale punto.
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2\sin(1/x)+x, & se\ x\neq 0,\\
0, & se\ x = 0.
\end{cases}
\]
La derivata in zero vale 1 ma la funzione non è crescente in nessun intorno di zero.

[mazzarri1]

"quantunquemente":un controesempio sul teorema di Rolle

$y=|x|$ in $[-1,1]$
la funzione è continua nell'intervallo,si ha $f(-1)=f(1)$,ma è derivabile solo in $(-1,1)-{0}$

non esiste un punto interno all'intervallo in cui si annulli la derivata

ciao caro non capisco il tuo contro-esempio... il teorema di Rolle dice che:

se una funzione è continua e derivabile in un intervallo $(a,b)$ e se $f(a)=f(b)$ allora esiste almeno un punto $c in (a,b)$ tale che $f'(c)=0$

ma la tua funzione $|x|$ non è derivabile in $RR$ come tu stesso dici... in $x=0$ ha un punto angoloso per cui cadono le ipotesi del teorema di Rolle che quindi non è applicabile

ciao!

[quantunquemente]

ciao
il mio controesempio segue l'indicazione scritta da gugo nel punto 1) del suo primo post

[mazzarri1]

[/quote="quantunquemente"]ciao
il mio controesempio segue l'indicazione scritta da gugo nel punto 1) del suo primo post[/quote]

[Platone2]

Salve a tutti. Riscrivo con molto piace su questo forum dopo credo 10 anni!
Non so se l'utente j18eos frequenta ancora il forum. Stavo leggendo questo topic è qualcosa non mi torna nella dimostrazione riportata sotto. Ovviamente la domanda è posta a tutti gli utenti

"j18eos": Il serpente topologico è un insieme connesso ma non connesso per cammini!

Dimostrazione. Sia \(\displaystyle(0;y_1)\in\overline{X}\); per assurdo esista una funzione continua \(\displaystyle\gamma\) da \(\displaystyle[0;1]\) a \(\displaystyle\overline{X}\) tale che \(\displaystyle\gamma(0)\in X\) e \(\displaystyle\gamma(1)=(0;y_1)\).
Posto:
\[
p_1:(x;y)\in\overline{X}\to x\in[0;+\infty[
\]
si consideri:
\[
\sup\{t\in[0;1]\mid p_1(\gamma(t))>0\}=\sup X_+=\tau
\]
per ipotesi \(\displaystyle0\leq\tau<1\) ovvero essendo \(\tau\) il minimo dei maggioranti di \(\displaystyle X_+\) si ha che:
\[
\forall t\in]\tau;1],\,p_1(\gamma(t))=0.
\]
Ricordata la definizione dell'estremo superiore per l'insieme \(\displaystyle X_+\):
\[
\forall t\in X_+,\,t\leq\tau,\\
\forall\epsilon>0,\,\exists t\in X_+\mid\tau-\epsilon\leq t\leq\tau
\]
per il teorema della permanenza del segno delle funzioni continue:
\[
\exists\delta>0:\forall t\in]\tau-\delta;\tau+\delta[\cap[0;1],\,p_1(\gamma(t))>0
\]
quindi per la seconda proprietà che definisce l'estremo superiore di un insieme, dev'essere \(\tau=1\) in assurdo con quanto affermato!

Onde evitare l'assurdo \(\displaystyle\overline{X}\) non è un insieme connesso per cammini.

Non mi torna la parte finale del ragionamento, ossia il modo in cui vine applicato il teorema della permanenza del segno delle funzioni continue. D'accordo che \(p_1 \circ \gamma \) è una funzione continua, ma per poter applica il teorema dovrebbe essere \( p_1(\gamma(\tau))>0 \), ma non mi pare sia così in questo caso; infatti \(\tau\) non appartiene all'insieme \(X_+\) (altrimenti sarebbe il massimo di quell'insieme, mentre il supp in generale è solo il minimo dei maggioranti, e come tale può non appartenere all'insieme).
Sbaglio in qualcosa?
Accetto volentieri pareri

[Leonardo971]

Un noto teorema di analisi 1 asserisce che [highlight]se $f: I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è una funzione definita sull'intervallo $I$, continua e invertibile, allora anche la sua inversa $f^{-1}$ è continua nel rispettivo dominio.[/highlight]
Tale teorema non è più vero se $I$ non è un intervallo.
Come controesempio consideriamo la funzione:
\[f: D=[0,1) \cup [2,3] \to \mathbb{R} \quad | \quad f(x)=
\begin{cases}
x \quad \text{se} \quad x \in [0,1)\\
x-1 \quad \text{se} \quad x \in [2,3]\\
\end{cases}
\]
Ovviamente $f$ è continua e invertibile nel suo dominio $D$, con inversa:
\[f^{-1}: [0,1) \cup [1,2] \to [0,1) \cup [2,3] \quad | \quad f^{-1}(y)=
\begin{cases}
y \quad \text{se} \quad y \in [0,1)\\
y+1 \quad \text{se} \quad y \in [1,2]\\
\end{cases}
\]
Tuttavia $f^{-1}$ non è continua nel punto $x=1$ dato che:
\[\lim_{y \to 1^-} f^{-1}(y)=\lim_{y \to 1^-} y=1\]
mentre:
\[\lim_{y \to 1^+} f^{-1}(y)=\lim_{y \to 1^+} (y+1)=2\]
e quindi limite destro e sinistro non coincidono (discontinuità a salto nel punto $x=1$).

Quanto detto può sembrare banale, ma talvolta durante un esame può capitare di trascurare l'ipotesi che $I$ sia un intervallo.

[Leonardo971]

Una funzione reale di variabile reale $f: I=(x_0-r,x_0+r) \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice analitica in $I$ (e si scrive $f \in C^{\omega}(I)$) se è infinitamente derivabile in $I$ (cioè $f \in C^{\infty}(I)$) e se coincide in $I$ con la sua serie di Taylor$:
\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \quad \forall x \in I\]
Tuttavia, il fatto che $f$ sia infinitamente derivabile non implica necessariamente l'analiticità, cioè la sua serie di Taylor potrebbe non convergere, o convergere a un valore diverso da $f(x)$ (insomma $C^{\omega} \subset C^{\infty}$ strettamente).
Per mostrare ciò, si ricorre spesso al seguente facile controesempio:
\[f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad | \quad f(x)=
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}} \quad \text{se} \quad x \neq 0\\
0 \quad \text{se} \quad x=0\\
\end{cases}
\]
Mostriamo che $f$ è infinitamente derivabile nel punto $x_0=0$ con derivate tutte nulle.

Chiaramente la funzione è infinitamente derivabile in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Fissiamo un punto generico $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
Dimostriamo per induzione che $f^{(n)}(x)=P_n(\frac{1}{x})e^{-\frac{1}{x^2}} \quad \forall n \in \mathbb{N}$ dove $P_n(\frac{1}{x})$ è un polinomio di grado $3n$.
Ovviamente:
\[n=1 \Longrightarrow f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-\frac{1}{x^2}}\]
Inoltre supponendo vero che $f^{(n)}(x)=P_n(\frac{1}{x})e^{-\frac{1}{x^2}}$ (ipotesi induttiva) risulta:
\[f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\left[P_n\left(\frac{1}{x}\right)\right]e^{-\frac{1}{x^2}}+\frac{2}{x^3}P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=\frac{d}{dx}\left[a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n}+\dots+a_1\frac{1}{x}+a_0\right]e^{-\frac{1}{x^2}}+\\
\\
+\left[2a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n+3}+\dots+2a_1\left(\frac{1}{x}\right)^4+2a_0\left(\frac{1}{x}\right)^3\right]e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=\left[-3na_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n-1+2}-\dots-a_1\left(\frac{1}{x}\right)^2\right]e^{-\frac{1}{x^2}}+\\
\\
+\left[2a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n+3}+\dots+2a_1\left(\frac{1}{x}\right)^4+2a_0\left(\frac{1}{x}\right)^3\right]e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=\left[2a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3(n+1)}+\dots-a_1\left(\frac{1}{x}\right)^2\right]e^{-\frac{1}{x^2}}=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^2}}\]
con $P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)$ polinomio di grado $3(n+1)$.
Dunque adesso risulta:
\[\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x)=\lim_{x \to 0} P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0} \left[a_{3n}\left(\frac{1}{x}\right)^{3n}+\dots+a_1\left(\frac{1}{x}\right)+a_0\right]e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3n}}\left(a_{3n}+\dots+a_1x^{3n-1}+a_0x^{3n}\right)e^{-\frac{1}{x^2}}=\\
\\
=a_{3n}\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{3n}}}{e^{\frac{1}{x^2}}}=a_{3n}\lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\frac{3n}{2}}}{e^t}=0 \quad \forall n \in \mathbb{N}\]
avendo posto $t=\frac{1}{x^2}$.
Quindi per un noto teorema dell'analisi $\exists f^{(n)}(0)=\lim_{x \to 0} f^{(n)}(x)=0 \quad \forall n \in \mathbb{N}$.
Quindi abbiamo che la serie di Taylor di $f$ nel punto $x_0=0$ è data da:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\]
Quindi $f$, pur essendo infinitamente derivabile in $\mathbb{R}$, non coincide con la sua serie di Taylor (se non nel punto $x_0=0$ dove $f(x_0)=0$) e non è dunque analitica.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Contribuisco ai controesempi in Analisi con i seguenti:
Lipschitz ma non uniformemente continua
È un risultato noto che se \( I \subseteq \mathbb{R} \) è un intervallo ed \( f: I \to \mathbb{R} \) è \(k\)-lipschitz allora è uniformemente continua.

Dimostrazione:

Sia \( \epsilon >0 \), e prendiamo \( \delta = \frac{\epsilon}{k} \) risulta che per ogni \(x,y \in I \) tale che \( \left| x- y \right| \leq \delta \) allora abbiamo
\[ \left| f(x) - f(y) \right| \leq k \delta = \epsilon \]

Potremmo essere tentati di pensare che quanto segue sia vero.
Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) tale che per ogni \( [a,b] \subset \mathbb{R} \) risulta che \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) è \(k\)-lipschitziana allora \(f \) è uniformemente continua su \( \mathbb{R} \).
Invero risulta falso.

Contro-esempio

\( f(x) = x^2 \) è lipschitziana con costante \(k= 2 \max( \left| a \right|, \left| b \right| ) \) su tutti gli intervalli \( [a,b] \subset \mathbb{R} \), ma non è uniformemente continua. Infatti per \( \epsilon = 1 \) abbiamo che per ogni \( \delta >0 \) esistono \( x, y \) tale che \( \left| x-y \right| \leq \delta \) ma
\[ \left| x^2-y^2 \right| \geq 2 \geq 1 \]
Infatti
\[ \left| x^2-y^2 \right| = \left| x- y \right| \left| x+y \right| \]
e prendendo \( x= \frac{2}{\delta} \) e \( y= \frac{2+\delta^2}{\delta} \) abbiamo che
\[ \delta \left| \frac{4+\delta^2}{\delta} \right| = \left| 4 + \delta^2 \right| \geq 2 > 1 \]

Teorema di Dini
Sia \( I=[a,b] \), e sia \( (f_n)_{n \geq 0} \) una successioni di funzioni \( f_n : I \to \mathbb{R} \) continue e crescenti, i.e. \( f_{n+1}(x) \geq f_n(x) \) per ogni \( n \geq 0 \). Tale che
\[ f_n \xrightarrow{n \to \infty} f \ \ \ \ \ \text{ puntualmente} \]
allora se \(f \) è continua abbiamo
\[ f_n \xrightarrow{n \to \infty} f \ \ \ \ \ \text{ uniformemente} \]

Togliamo l'ipotesi \( (f_n)_{n \geq 0} \) è una successione crescente.
contro-esempio:

Sia allora \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R} \) definita da
\[ f_n(x) = \left\{\begin{matrix}
nx& \text{se} & x \in [0,1/n] \\
1-n\left( x- \frac{1}{n} \right)& \text{se} & x \in [1/n,2/n] \\
0 & \text{altrimenti}&
\end{matrix}\right. \]
Allora abbiamo che \( \sup_{x \in [0,1] } \left| f_n(x) - 0 \right| = 1 \) ma \( f_n \to 0 \) puntualmente.

Togliamo l'ipotesi \( I=[a,b] \) e prendiamo \( I=(0,1]\).
contro-esempio:

Sia allora \( f_n : (0,1] \to \mathbb{R} \) definita da
\[ f_n(x) = \frac{-1}{(n+1)x} \to 0 \ \ \ \ \ \text{ puntualmente} \]
Ma
\[ \sup_{x \in I} \left| \frac{-1}{(n+1)x} - 0 \right| = \infty \]

Togliamo l'ipotesi \( f \) continua
contro-esempio:

Sia allora \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R} \) definita da \( f_n(x) = - x^n \). Abbiamo che
\[ f_n \to f \]
definita da
\[ f(x) = \left\{\begin{matrix}
0& \text{se} & x < 1 \\
-1& \text{se}& x=1
\end{matrix}\right. \]
Ma
\[ \sup_{ x \in [0,1] } \left| f_n(x) - f(x) \right| = 1 \]

Permutazioni illegali di un integrale con il limite
Sia \( (f_n)_{n \in \mathbb{N}} \) delle funzioni continue su \( [a,b] \) tale che \( (f_n)_{n \geq 0} \) converge uniformemente verso una funzione \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) allora \(f \) è continua e inoltre
\[ \int_a^b f_n(x) dx \xrightarrow{n \to \infty} \int_a^b f(x) dx \]

Potremmo essere tentati di credere che il teorema sia valido se sostituiamo convergenza uniforme con convergenza puntuale
Contro-esempio:

Sia allora \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R} \) definita da
\[ f_n(x) = \left\{\begin{matrix}
n^2x& \text{se} & x \in [0,1/n] \\
n-n^2\left( x- \frac{1}{n} \right)& \text{se} & x \in [1/n,2/n] \\
0 & \text{altrimenti}&
\end{matrix}\right. \]

Abbiamo che \( f_n \to 0 \) puntualmente ma
\[ \int_0^1 f_n(x) dx = 1 \neq 0 = \int_0^1 0 dx \]

Potremmo anche essere tentati di pensare che se \( f_n \to f \) puntualmente ma non uniformemente allora
\[ \int_a^b f_n (x) dx \nrightarrow \int_a^b f(x) dx \]
Controesempio:

Sia \( f_n : [0,1] \to \mathbb{R} \) definita da \( f_n(x) = x^n \) e sia \( f: [0,1] \to \mathbb{R} \) definita da
\[ f(x) = \left\{\begin{matrix}
0& \text{se} & x < 1 \\
1& \text{se}& x=1
\end{matrix}\right. \]
abbiamo che \( f_n \to f \) puntualmente ma non uniformemente. Nonostante ciò
\[ \int_0^1 x^n dx = \left.\begin{matrix}
\frac{x^{n+1}}{n+1}
\end{matrix}\right|_0^1 = \frac{1}{n+1} \xrightarrow{n \to \infty} 0 \]
e
\[ \int_0^1 f(x) dx = 0 \]

Limiti e limiti per successioni
Sia \(f : U \to \mathbb{R} \) definita in un intorno bucato di \(x^{\ast} \) allora
\[ \lim_{x \to x^{\ast}} f(x) = \ell \]
se e solo se per ogni \( (x_n)_{n \geq 0 } \) tale che \(U \ni x_n \neq x^{\ast} \) per ogni \( n \geq 0 \) e tale che \( x_n \to x^{\ast} \) risulta che
\[ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \ell \]


Togliamo l'ipotesi \( x_n \neq x^{\ast} \).
contro-esempio:

\[ f(x) = \left\{\begin{matrix}
1 & \text{se} & x = 0 \\
x& \text{se}& x \neq 0
\end{matrix}\right. \]
allora \(x_n = 0 \) per ogni \(n \geq 0 \) è una successione tale che \( x_n \to 0 \) ma
\[ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = 1 \neq 0 = \lim_{ x \to 0} f(x) \]

Le somme infinite non sono commutative
Se \( a_k \geq 0 \) per ogni \( k \geq 0 \), allora per ogni permutazione \( \sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) abbiamo
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_{\sigma(k)} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \]
In particolare se \( (b_k)_{k \geq 0 } \) è una successione qualsiasi e
\[ \sum_{k=0}^{\infty} b_k \]
è assolutamente convergente allora
\[ \sum_{k=0}^{\infty} b_k = \sum_{k=0}^{\infty} b_{\sigma(k)} \]
per ogni permutazione \( \sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \).

Potremmo essere tentati di togliere sostituire la convergenza assoluta di
\[ \sum_{k=0}^{\infty} b_k \]
con la convergenza (semplice).
Controesempio:

\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} = - \ln(2) \]
possiamo trovare una permutazione \( \sigma \) tale che
\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\sigma(k)}}{\sigma(k)} = \infty \]
Definiamo la permutazione
\( \sigma(1) = 1, \sigma(2) = 2 , \sigma(3)=4, \sigma(4)=3, \sigma(5)=6, \sigma(6)=8 , \ldots \) in modo tale da guadagnare 1/4 ogni volta e non perdere nulla. Riarrangiamo i termini dunque
\[ -1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12} - \frac{1}{5} + \frac{1}{14} + \ldots + \frac{1}{28} - \frac{1}{7} + \ldots\]
\[ \geq -1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \ldots = - 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4} = \infty \]

In effetti si può fare di più, se \( a_k \to 0 \) con
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k^+ = \infty \]
e
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k^{-} = - \infty \]
dove \( a_k^+ \) e rispettivamente \( a_k^- \) sono i termini positivi e rispettivamente negativi della successione \( a_k \). Allora per ogni \( r \in \mathbb{R} \), esiste una permutazione \( \sigma_r : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tale che
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_{\sigma_r(k)} = r \]

Al lettore lasciamo l'esercizio di costruire una permutazione \( \sigma_{\pi} \) tale che
\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{\sigma_{\pi}(k)}}{\sigma_{\pi}(k)} = \pi \]

Criterio di Leibniz
Sia \( (a_k)_{k \geq 0} \) una successione tale che
\[ a_k \xrightarrow{ k \to \infty} 0 \]
\[ a_k a_{k+1} \leq 0 \ \ \ \ \forall k \]
\[ \left| a_{k+1} \right| \leq \left| a_k \right| \]
allora
\[ \sum_{k=0}^{\infty} a_k \]
converge

Togliamo l'ipotesi che \( \left| a_{k+1} \right| \leq \left| a_k \right| \).
Contro-esempio:

\[ a_k := \frac{ \left( (-1)^k + 1/2 \right)}{k+1} \]
abbiamo che soddisfa tutte le altre condizioni ma
\[ \sum_{k = 0 }^{N } a_k \xrightarrow{N \to \infty} \infty \]