Continuita' in $RR^2$

[thedarkhero]

Sia $A={(x,y)\inRR^2:x^2+y^2<1}$ e sia $f:A->RR$ la funzione definita da $f(x,y)={(xy(-log(x^2+y^2))^(1/2),if 0
Chiaramente $f\inC(A\{(0,0)})$ ma non riesco a provarne la continuita' in $(0,0)$.

Ho provato a passare alle coordinate polari...
$lim_(r->0^+)|r^2costhetasintheta(-log(r^2))^(1/2)|<=lim_(r->0^+)r^2(-log(r^2))^(1/2)$
ma non riesco a concludere.

Mi conviene abbandonare le coordinate polari oppure riesco in qualche modo a mostrare che questo limite e' nullo?

[thedarkhero]

$lim_(t->0^+)tlogt=lim_(s->oo)log(1/s)/s=(H)=lim_(s->oo)-1/s=0$
ma nel mio caso si procede analogamente?
In che forma la scrivo come frazione per poi applicare l'Hopital?

[thedarkhero]

Beh il limite che ho proposto io (dopo le dovute minorazioni che ho fatto) e' un limite rispetto alla variabile reale $r$...
Comunque io volevo sapere come poterlo mostrare in maniera rigorosa, ovvero senza considerare gli ordini di infiniti e infinitesimi ma con un calcolo esplicito...

[thedarkhero]

Ah giusto, grazie!

Ho calcolato anche le derivate parziali di f:
$(\delf)/(\delx)={(y[(-log(x^2+y^2))^(1/2)+x*1/2*(-log(x^2+y^2))^(-1/2)*(-2x/(x^2+y^2))],if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
$(\delf)/(\dely)={(x[(-log(x^2+y^2))^(1/2)+y*1/2*(-log(x^2+y^2))^(-1/2)*(-2y/(x^2+y^2))],if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$

Ora mi chiedo se f e' di classe $C^1$, ovvero se
$lim_((x,y)->(0,0))(\delf)/(\delx)=0$
$lim_((x,y)->(0,0))(\delf)/(\dely)=0$

Ho provato a passare anche qui in coordinate polari ma diventa abbastanza pesante, mi conviene fare qualche minorazione per verificare questi limiti o procedo a testa bassa nei calcoli?

[thedarkhero]

Sulla differenziabilita' siamo d'accordo. Tuttavia il fatto che $f$ sia differenziabile in $A$ non garantisce che sia di classe $C^1$ (vale il viceversa).
E' per questo motivo che avevo pensato di verificare se $lim_((x,y)->(0,0))\gradf(x,y)=(0,0)$ in modo da capire se le derivate parziali sono continue anche nell'origine o meno...ma siccome il calcolo mi sembrava complicato mi chiedevo se esistesse una soluzione migliore o se passare alle coordinate polari fosse l'idea migliore

[thedarkhero]

Grazie mille, scrivendo le derivate parziali nella forma in cui le hai scritte tu il limite mi è più chiaro

Una questione un po più filosofica...per provare che $f\inC^1(A)$ era necessario provare che $f\C(A)$ (come avevo fatto all'inizio) o era sufficiente provare che le derivate parziali sono continue (indipendentemente dalla continuità o meno della funzione)?

[thedarkhero]

Sisi ovvio, ma quello che intendevo io era un po diverso.
In questo post abbiamo provato due cose: la continuita' di f e la continuita' delle sue derivate parziali.
Per poter affermare che f e' di classe $C^1$ ci sarebbe bastata la continuita' delle derivate parziali o serviva anche la continuita'?
C'e' una relazione tra funzioni con derivate parziali continue e funzioni continue?
N.B. Lo chiedo perche' spesso si definisce $C^k$ come la classe delle funzioni che hanno derivate continue fino all'ordine $k$ ma a volte lo si definisce come la classe delle funzioni che hanno le derivate di ordine $k$ continue.

[thedarkhero]

Ok grazie!
Ancora una cosa sulla continuita' di quelle derivate parziali nell'origine...non mi sono chiarissimi i passaggi che hai fatto in coordinate polari.
Io procederei cosi' (prendo per esempio la derivata parziale rispetto a x, l'altra e' analoga):
$|y(-log(x^2+y^2)(x^2+y^2)-x^2)/((-log(x^2+y^2))^(1/2)(x^2+y^2))|=$
$|rsin(theta)(-log(r^2)r^2-r^2cos^2(theta))/((-log(r^2))^(1/2)r^2)|=$
$|rsin(theta)(-log(r^2)-cos^2(theta))/(-log(r^2))^(1/2)|$
fino a qui dovrebbe andare bene, ho solo semplificato, ma poi non mi e' chiaro come procedere (rivedendo i tuoi passaggi mi sfugge qualcosa, mi indicheresti come continuare?)

[thedarkhero]

Se prendo $theta=0$ e $ro=9/10$ ho che la disuguaglianza $|cos^2(theta)+2log(ro)|<=|2log(ro)|$ non è verificata.
Dovrei restringere la condizione $0

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[thedarkhero]

Sisi ok, possiamo appunto parlare di "opportuno intorno", in modo da risparmiarci i calcoli

Se ora volessi verificare se $f_(x,x)$ esiste ed è continua su A, potrei usare qualche considerazione particolare o l'unica via è lanciarsi negli impietosi calcoli?

[gugo82]

L'argomento "continuità" è stato affrontato con le orrende coordinate polari... Ma in verità se ne può fare a meno.

Dato che \(x^2+y^2\geq 2|xy|\), hai:
\[
-\log (x^2+y^2)\leq - \log (2|xy|)
\]
e dunque:
\[
|f(x,y)|\leq |xy|\ \sqrt{-\log (2|xy|)}\; .
\]
Possiamo supporre \(x\neq 0\neq y\), perché se vale una delle due uguaglianze il risultato è banale; visto che per \((x,y)\to (0,0)\) si ha pure \(|xy|\to 0^+\), la precedente importa:
\[
0\leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} |f(x,y)| \leq \lim_{t\to 0^+} t \sqrt{-\log(2t)} =0
\]
e questo accomoda la continuità.

[thedarkhero]

Vero, grazie
Arrivati però a provare che $f\inC^1(A)$ se voglio discutere la continuità di $f_(x,x)$ devo per forza calcolare esplicitamente questa derivata parziale di ordine 2 giusto? E qui non ho molte alternative per ridurre i calcoli mi sa...

[gugo82]

Beh, sai che la tua funzione è certamente differenziabile con derivate continue in \(A\) privato dei due diametri che stanno sugli assi.
Quindi devi solo vedere cosa succede sui diametri.
Per simmetria, basta che guardi cosa succede sul raggio che poggia sul semiasse positivo delle \(x\), cioé nei punti del tipo \((\xi ,0)\) con \(\xi\in ]0,1[\), e nell'origine \((0,0)\).
Si può fare...

[thedarkhero]

Quando dici "la tua funzione" intendi la $f_x$?
Come hai dedotto le informazioni sui diametri?

[gugo82]

No, intendo la \(f(x,y)\).

Le informazioni le deduci direttamente dalla definizione di \(f\): dove ci sono problemi di derivabilità?
Dove \(x^2+y^2\neq 0\)? No.
Dove \(xy\) ha segno costante? Certo che no.
Dove \(\log (x^2+y^2)\neq 0\)? No, perché ciò non accade mai nel dominio assegnato.

I problemi nascono unicamente lì dove l'argomento del logaritmo si annulla (quindi nell'origine) e lì dove l'argomento del valore assoluto si annulla e cambia segno (quindi sui diametri).

Pertanto, per il teorema di derivazione della funzione composta, la \(f\) è certamente \(C^1\) in \(A\) privato dei diametri.
Per vedere cosa accade sui diametri, basta che vai a guardare cosa succede su un raggio (per simmetria) e nell'origine.

[thedarkhero]

Sisi ma abbiamo gia' visto che $f\inC^1(A)$ usando le coordinate polari (e grazie alla disuguaglianza che hai suggerito, cioe' $x^2+y^2>=2|xy|$ potremmo forse riverificarlo senza ricorrere alle coordinate polari) ma ora mi stavo chiedendo come poter verificare che $(\del^2f)/(\delx^2)\inC(A)$ in quanto l'unico modo che mi veniva in mente per poterlo fare era calcolare esplicitamente questa derivata parziale di ordine 2 ma il risultato era abbastanza orrendo dunque speravo ci fosse qualche modo piu' "fine"...