Continuità in due variabili

[faximusy]

Salve a tutti,

in merito ad una funzione di due variabili, per calcolarne la continuità utilizzo due metodi: calcolandone il limite in un punto $x_0$ e assicurandomi che questo sia pari a $f(x_0)$ ; un altro metodo che conosco è quello delle rette, quindi quando ho necessità di calcolare la continuità della funzione nel punto $(0,0)$ utilizzo la sostituzione $y=mx$ e mi assicuro che il limite risultante non dipenda dal parametro $m$ (e quindi sarebbe continua in $(0,0)$).


Esistono altri metodi? Questi sono sufficienti? O esistono altri metodi per casi particolari?

[regim]

Io userei il termine determinare invece che calcolare. Comunque non 'e vero assolutamente che se hai che, al variare di $m$ ti risulta il lmite uguale al valore della funzione nell'origine, allora puoi concludere che la funzione sia continua in quel punto.
Ti faccio un esempio, prendi una funzione che in ogni retta abbia un solo punto, uno solo, in cui la funzione assume valore diverso da quello assunto nell'origine e dal limite calcolato su quella retta, e che questi punti man mano che varia $m$ stiano sempre piu' vicini all'origine di modo che comunque fissi un intorno dell'origine ve ne sia sempre almeno uno, ecco allora che non puoi concludere, non solo che la funzione sia continua, ma nemmeno che il limite esista.

[Alexp1]

Di questo argomento se ne è già parlato, sotto ti riporto il link

https://www.matematicamente.it/forum/lim ... 44410.html

prova a dargli una lettura, se hai problemi o non ti è chiaro qualcosa chiedi pure!

[faximusy]

"regim":Io userei il termine determinare invece che calcolare. Comunque non 'e vero assolutamente che se hai che, al variare di $m$ ti risulta il lmite uguale al valore della funzione nell'origine, allora puoi concludere che la funzione sia continua in quel punto.
Ti faccio un esempio, prendi una funzione che in ogni retta abbia un solo punto, uno solo, in cui la funzione assume valore diverso da quello assunto nell'origine e dal limite calcolato su quella retta, e che questi punti man mano che varia $m$ stiano sempre piu' vicini all'origine di modo che comunque fissi un intorno dell'origine ve ne sia sempre almeno uno, ecco allora che non puoi concludere, non solo che la funzione sia continua, ma nemmeno che il limite esista.

No, infatti non intendevo questo se c'è una cosa che so fare è non farmi mai capire XD

"Alexp":Di questo argomento se ne è già parlato, sotto ti riporto il link

https://www.matematicamente.it/forum/lim ... 44410.html

prova a dargli una lettura, se hai problemi o non ti è chiaro qualcosa chiedi pure!

Come nella discussione linkatomi l'utente secondo me aveva il mio stesso problema

Il fatto è che, forse come me, non frequentando una facoltà di matematica, non è necessario approfondire sul se è realmente continua, perchè dopo l'utilizzo di uno dei metodi la funzione risulta non continua nella totalità degli esercizi... il che sembra più di un caso

Se ad esempio, col metodo delle rette, scopro che il limite ha un valore che dipende da $m$, posso concludere che la funzione non è continua.

E' quindi un metodo sufficiente per identificare una funzione non continua? (anche perchè gli esercizi d'esame non richiedono altro)

E, se ho capito dal link, se dovesse indicarmi una continuità (un limite che non dipenda da $m$) questa non sarebbe comunque necessaria a dire che la funzione è continua





Grazie a entrambi per essere intervenuti

[regim]

Guarda, le risposte su questo sito tendono a chiarire in primis i problemi di natura concettuale, e solo dopo i particolari aspetti che può presentare un problema, un esercizio.
Il concetto di continuità di una funzione é molto importante nell'analisi, ti consiglio di rivederti i teoremi e le defnizioni a prescindere dal caso concreto.

Ciao

[faximusy]

Dunque, riporto un esempio che potrebbe essere utile:

Innanzitutto chiariamo la teoria. Per calcolare che una funzione sia continua, dobbiamo trovare il valore del limite della funzione che tende al punto in cui vogliamo verificare la continuità, e assicurarci che questo sia pari al valore che la funzione assume in quel punto.

In altri termini $\lim_{(x,y) \to \(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)$


Prendiamo un esempio: $(x^2y^3)/(x^4+y^4)$ se la funzione ha $x!=0$, con l'aggiunta del punto $0$ se la funzione ha $x=0$

Procedendo con il metodo della retta per l'origine, quindi la sostituzione $y=mx$, ci accorgiamo che il limite non dipende da $m$, quindi per ora abbiamo scoperto purtroppo potrebbe essere continua in $(0,0)$, dico purtroppo perchè altrimenti avremmo terminato l'esercizio.

Proviamo applicando la defizione. Dobbiamo cioè trovare che per ogni $\epsilon>0$ esiste un $\delta>0$ tale che per ogni coppia $(x,y)$ appartenente al dominio di definizione della funzione, eccetto il punto $(0,0)$ di nostro interesse, sia $\sqrt((x-0)^2+(y-0)^2) <\delta$, allora $|f(x,y)-0|<\epsilon$


A questo punto dobbiamo ritrovare questa ultima relazione sottraendo lo $0$, che corrisponde al limite che contiamo di trovare.
Come possiamo procedere? Di solito, apre, che si usi una disuguaglianza triangolare i modo che tutto quadri a pennello.

Poichè $y^3<=x^4+y^4$ allora sarà $(x^2y^3)/(x^4+y^4)
$(x^2y^3)/(x^4+y^4)<=x^2<=x^2+y^2$ e quindi il limite esiste certamente con $\delta=\sqrt(\epsilon)$


Dovrebbe essere corretto, e forse anche comprensibile

[regim]

Se quella é per te la definizione di continuitá, ti sbagli(quella lí é valida solo nei punti di accumulazione, ma nei punti isolati non é applicabile).
Poi guarda bene le relazioni che hai scritto sotto...ti sembrano tutte vere per ogni $x$ e $y$ ?
La mia seconda replica era dovuta, perché non puoi dire che, siccome normalmente applicando il metodo di cui sopra, spesso ti consente di escludere la continuitá di una funzione, allora puoi applicarlo anche per affermare che é continua, perché non é vero.

[faximusy]

"regim":Se quella é per te la definizione di continuitá, ti sbagli(quella lí é valida solo nei punti di accumulazione, ma nei punti isolati non é applicabile).
Poi guarda bene le relazioni che hai scritto sotto...ti sembrano tutte vere per ogni $x$ e $y$ ?
La mia seconda replica era dovuta, perché non puoi dire che, siccome normalmente applicando il metodo di cui sopra, spesso ti consente di escludere la continuitá di una funzione, allora puoi applicarlo anche per affermare che é continua, perché non é vero.

Non so per punti che non siano di accumulazione, ma è servita a superare l'esercizio

Comunque per quali $x,y$ non sarebbe vera la relazione? Ho seguito un esempio del testo.


Riguardo la replica, l'avevo capita, infatti non basta il metodo delle rette per assicurarsi che sia continua

[regim]

"faximusy":
Poichè $y^3<=x^4+y^4$

Se prendi $y<1$ con $x =0$ ma anche prendendo $x$ non nullo e opportunamente piccolo.

[faximusy]

"regim":[quote="faximusy"]
Poichè $y^3<=x^4+y^4$

Se prendi $y<1$ con $x =0$ ma anche prendendo $x$ non nullo e opportunamente piccolo.[/quote]


Ah si, ho capito. Quindi la funzione non è continua perché non è possibile trovare un $\delta$ che soddisfi la definizione di limite?

[regim]

Quale funzione? dovresti definirla con precisione.
Quella che hai dato non é definita nell'origine, quindi non si pone proprio il problema di verificarne o meno la continuitá in quel punto.
Se invece la definisci anche nell'origine e dici che vale $0$, allora é continua. La dimostrazione consiste nel poter maggiorare, almeno in un opportuno intorno dell'origine, il modulo della medesima con una funzione in due variabile che peró tende a zero. E questa funzione l'hai scritta, ma la dimostrazione mi rimane un po' macchinosa e lacunosa tutto qui.

[faximusy]

"regim":Quale funzione? dovresti definirla con precisione.
Quella che hai dato non é definita nell'origine, quindi non si pone proprio il problema di verificarne o meno la continuitá in quel punto.
Se invece la definisci anche nell'origine e dici che vale $0$, allora é continua. La dimostrazione consiste nel poter maggiorare, almeno in un opportuno intorno dell'origine, il modulo della medesima con una funzione in due variabile che peró tende a zero. E questa funzione l'hai scritta, ma la dimostrazione mi rimane un po' macchinosa e lacunosa tutto qui.

Grazie per gli interventi; cercherò di studiare meglio la questione in questi giorni e poi proverò a postare una soluzione migliore

[faximusy]

L'applicazione migliore è mediante l'utilizzo delle coordinate polari.
Ossia, con la sostituzione:

$x=\rhocos\theta$
$y=\rhosen\theta$

Quindi, la mia funzione, definita correttamente come:

$(x^2y^3)/(x^4+y^4)$ con $x,y != 0,0$
$0 $ con $ x,y=0,0$


diventa: $(\rho^5cos^2\thetasen^3\theta)/(\rho^4cos^4\theta+\rho^4sen^4\theta) = (\rhocos^2\thetasen^3\theta)/(cos^4\theta+sen^4\theta)$

Ora, in $(0,0)$ la funzione vale $0$, quindi devo trovare che il $\lim_{(x,y) \to \(0,0)} f(x,y)=0$

Quindi:

$\lim_{(x,y) \to \(0,0)} f(x,y)=\lim_{\rho \to \0} (\rhocos^2\thetasen^3\theta)/(cos^4\theta+sen^4\theta)$

che è effettivamente $0$


Quindi la funzione è continua in $0$, e precisamente in tutto $R^2$ perchè rapporto di funzioni continue.

[Alexp1]

"faximusy", ricorda che in generale non è sufficiente controllare che il limite non dipenda da $\theta$ per dire che il limite esiste...devi verificare anche se esiste l'intorno $\rho$; infatti esistono casi in cui il limite della funzione $f(x,y)$ tende ad un valore $l$ per qualsiasi direzione si scelga, ma andando a definire $\rho$ ci si accorge che non esiste, quindi il limite non può esistere....un'analisi più accurata mostrerà che ci sono linee (non rette) lungo le quali il limite risulterà $!=l$.

[gugo82]

Una buona tecnica si rivela quella delle maggiorazioni/minorazioni che fanno uso di alcune disuguaglianze tra medie, come le seguenti:

(AMGM) [tex]$\sqrt{|x|\ |y|} \leq \frac{|x|+|y|}{2}$[/tex],

(pMqM) [tex]$\Big[ \frac{|x|^q+|y|^q}{2} \Big]^\frac{1}{q} \leq \Big[ \frac{|x|^p+|y|^p}{2} \Big]^\frac{1}{p}$[/tex] con [tex]$0
Nel tuo caso hai per (AMGM):

[tex]$x^4+y^4 \geq 2\sqrt{x^4y^4} =2x^2y^2$[/tex]

quindi:

[tex]$0\leq \Big| \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} \Big| \leq \Big| \frac{x^2y^3}{2x^2 y^2} \Big| =\frac{1}{2} \ |y|$[/tex]

e puoi concludere col teorema dei carabinieri.

[faximusy]

"Alexp":"faximusy", non è sufficiente controllare che il limite non dipenda da $\theta$ per dire che il limite esiste...devi verificare anche se esiste l'intorno $\rho$; infatti esistono casi in cui il limite della funzione $f(x,y)$ tende ad un valore $l$ per qualsiasi direzione si scelga, ma andando a definire $\rho$ ci si accorge che non esiste, quindi il limite non può esistere....un'analisi più accurata mostrerà che ci sono linee (non rette) lungo le quali il limite risulterà $!=l$.

Dunque, se avessi avuto al denominatore $x^2+y^2$ (quindi $\rho^2(cos^2\theta+sen^2\theta)$), avrei potuto semplificarlo e avere semplicemente $\rho^3cos^2\thetasen^3\theta$ il cui limite per $\rho->0$ sarebbe $0$, perchè $cos^2\thetasen^3\theta$ risulta limitato.

Ma essendo $cos^4\theta+sen^4\theta$ al denominatore, non risulta limitato, e credo sia questo il problema

Forse neanche questo è il metodo adatto per questo caso

"gugo82":Una buona tecnica si rivela quella delle maggiorazioni/minorazioni che fanno uso di alcune disuguaglianze tra medie, come le seguenti:

(AMGM) [tex]$\sqrt{|x|\ |y|} \leq \frac{|x|+|y|}{2}$[/tex],

(pMqM) [tex]$\Big[ \frac{|x|^q+|y|^q}{2} \Big]^\frac{1}{q} \leq \Big[ \frac{|x|^p+|y|^p}{2} \Big]^\frac{1}{p}$[/tex] con [tex]$0
Nel tuo caso hai per (AMGM):

[tex]$x^4+y^4 \geq 2\sqrt{x^4y^4} =2x^2y^2$[/tex]

quindi:

[tex]$0\leq \Big| \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} \Big| \leq \Big| \frac{x^2y^3}{2x^2 y^2} \Big| =\frac{1}{2} \ |y|$[/tex]

e puoi concludere col teorema dei carabinieri.

Quindi, dimostro che la funzione è minorata da $1/2y$, il cui limite per $y->0$ è pari a $0$, e quindi anch'essa deve essere infinitesima?

[Camillo]

Riprendo il calcolo del limite $lim_( rho rarr 0 ) ( rho cos^2theta sin^3theta)/(cos^4theta +sin^4 theta) $.


$cos^2theta sin^3theta$ è senz'altro funzione limitata così come$ 1/(cos^4theta +sin^4 theta)$ ,il cui denominatore non è mai nullo.
Pertanto mi sembra si possa subito dire che il limite vale $0 $ .

[faximusy]

"Camillo":Riprendo il calcolo del limite $lim_( rho rarr 0 ) ( rho cos^2theta sin^3theta)/(cos^4theta +sin^4 theta) $.


$cos^2theta sin^3theta$ è senz'altro funzione limitata così come$ 1/(cos^4theta +sin^4 theta)$ ,il cui denominatore non è mai nullo.
Pertanto mi sembra si possa subito dire che il limite vale $0 $ .

Ah ok, quindi il mio ragionamento era corretto?


Ammetto di non aver ben compreso il discorso riguardo la possibilità che seno e coseno siano o meno limitati

[faximusy]

Ad esempio, questa funzione:

$f(x,y) = (y^4)/(x^2+y^4)$

che io so non avere limite in $(0,0)$.

Se provo ad applicare le coordinate polari, ottengo:

$(\rho^2sen^4(\theta))/(cos^2(\theta)+\rho^2sen^4(\theta))$

In questo caso, sebbene il limite per $\rho -> 0$ sia pari a $0$, non dovrebbe essere possibile concludere che il limite di $f(x,y)->(0,0)$ esiste perchè suppongo dipenda da $\theta$.

Forse, se ho capito qualcosa , il denominatore $1/(cos^2(\theta)+\rho^2sen^4(\theta))$ diventa nullo quando $cos^2(\theta)=0$, quindi non posso dire che è limitato

[gugo82]

Semplicemente se [tex]$\cos \theta =0$[/tex] la tua funzione espressa in coordinate polari è identicamente [tex]$=1$[/tex] per [tex]$\rho \neq 0$[/tex]... Quindi limite indipendente da [tex]$\theta$[/tex] nisba.

[faximusy]

"gugo82":Semplicemente se [tex]$\cos \theta =0$[/tex] la tua funzione espressa in coordinate polari è identicamente [tex]$=1$[/tex] per [tex]$\rho \neq 0$[/tex]... Quindi limite indipendente da [tex]$\theta$[/tex] nisba.

Si, infatti questo era riscontrabile anche con le equazioni parametriche $x(t)=nt , y(t)=mt$


Se per esempio ho questa funzione in coordinate polari:

$(\rhocos^2(\theta)sen(\theta))/(\rho^2cos^4(\theta)+sen^2(\theta))$


Posso concludere con l'ipotesi precedente, cioè che il denominatore si annulla con $\sen^2(\theta)=0$? Cioè in pratica avrei quindi dipendenza da $\theta$.