Continuità in due variabili

[faximusy]

Salve a tutti,

in merito ad una funzione di due variabili, per calcolarne la continuità utilizzo due metodi: calcolandone il limite in un punto $x_0$ e assicurandomi che questo sia pari a $f(x_0)$ ; un altro metodo che conosco è quello delle rette, quindi quando ho necessità di calcolare la continuità della funzione nel punto $(0,0)$ utilizzo la sostituzione $y=mx$ e mi assicuro che il limite risultante non dipenda dal parametro $m$ (e quindi sarebbe continua in $(0,0)$).


Esistono altri metodi? Questi sono sufficienti? O esistono altri metodi per casi particolari?

[faximusy]

"faximusy":[quote="gugo82"]Semplicemente se [tex]$\cos \theta =0$[/tex] la tua funzione espressa in coordinate polari è identicamente [tex]$=1$[/tex] per [tex]$\rho \neq 0$[/tex]... Quindi limite indipendente da [tex]$\theta$[/tex] nisba.

Si, infatti questo era riscontrabile anche con le equazioni parametriche $x(t)=nt , y(t)=mt$


Se per esempio ho questa funzione in coordinate polari:

$(\rhocos^2(\theta)sen(\theta))/(\rho^2cos^4(\theta)+sen^2(\theta))$


Posso concludere con l'ipotesi precedente, cioè che il denominatore si annulla con $\sen^2(\theta)=0$? Cioè in pratica avrei quindi dipendenza da $\theta$.[/quote]


Non puoi, perchè, per esempio:

data la funzione $f(x,y)= (x^2y^2)/(x^2+y^6)$ che trasformata in coordinate polari diventa: $(\rho^2cos^2(\theta)sen^2(\theta))/((cos^2(\theta)+\rho^4sen^6(\theta)))$

Potresti quindi essere portato a dire che la funzione non è continua in $(0,0)$ perchè il limite non esiste (essendovi dipendenza da $\theta$), in realtà questo limite esiste e vale $0$.


Continua a non essere sufficiente come ipotesi

[faximusy]

"faximusy":

Non puoi, perchè, per esempio:

data la funzione $f(x,y)= (x^2y^2)/(x^2+y^6)$ che trasformata in coordinate polari diventa: $(\rho^2cos^2(\theta)sen^2(\theta))/((cos^2(\theta)+\rho^4sen^6(\theta)))$

Potresti quindi essere portato a dire che la funzione non è continua in $(0,0)$ perchè il limite non esiste (essendovi dipendenza da $\theta$), in realtà questo limite esiste e vale $0$.


Continua a non essere sufficiente come ipotesi

In questo caso è improponibile cercare l'intorno di $\rho$, perchè risulterebbe una diseguazione di quarto grado che non è il caso di affrontare.
Meglio rifarsi alla definizione, come già a pagina 1 (https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#382364) dove però c'era un errore logico, che qui non si commetterebbe.

"faximusy":[quote="gugo82"]Semplicemente se [tex]$\cos \theta =0$[/tex] la tua funzione espressa in coordinate polari è identicamente [tex]$=1$[/tex] per [tex]$\rho \neq 0$[/tex]... Quindi limite indipendente da [tex]$\theta$[/tex] nisba.

Si, infatti questo era riscontrabile anche con le equazioni parametriche $x(t)=nt , y(t)=mt$


Se per esempio ho questa funzione in coordinate polari:

$(\rhocos^2(\theta)sen(\theta))/(\rho^2cos^4(\theta)+sen^2(\theta))$


Posso concludere con l'ipotesi precedente, cioè che il denominatore si annulla con $\sen^2(\theta)=0$? Cioè in pratica avrei quindi dipendenza da $\theta$.[/quote]

In questo caso invece possiamo cercare con agilità l'intorno di $\rho$, come proposto da Alexp qui (https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#326580 , dove però segnalo un errore in quanto verrebbe $\rho^3cos^2(\theta)sen(\theta)$ al numeratore) e scoprire che questi non esiste. Quindi il limite non esiste. La funzione NON è continua nello $0$


Infatti, come da esempio di Alexp, basti effettuare la sostituzione $y=x^2$ per scoprire che il risultato risulti $!=0$



Quindi credo possiamo concludere che, un buon procedimento è il seguente:

1) cercare una curva (parametrizzata da $x=nt, y=mt$), parabola ($y=mx^a$, con esponente $a$ opportuno), retta ($y=mx$) tale che possa concludere che il limite dipenda dalle particolari figure scelte e quindi che la funzione NON è continua.

2) quando non possibile passare il tutto in coordinate polari, verificare il risultato del limite e la dipendenza da $\theta$, e anche se qualora non vi fosse, e il denominatore non risulti mai nullo (perchè potrebbe annullarsi per particolari valori di $\theta$), verificare che esista l'intorno di $\rho$ con una disequazione.

3) Qualora la disequazione risulti fin troppo ostica, appoggiarsi alla definizione di limite.

...
4) Se non si trova soluzione... lasciare in bianco l'esercizio, perchè comunque non è il caso di perderci la salute



Sul punto 2 credo ci sia ancora qualcosa da dire; proverò a contattare il mio docente in merito e aggiornerò la mia conclusione.


Grazie davvero a tutti per aver partecipato