Continuità funzione a due variabili
Ho questa funzione:
[tex]\frac{\sqrt{|x|}y}{x^2+y^4}[/tex]
Se (x,y) diverso da 0, altrimenti vale 0.
Devo verificare se la funzione è continua in (0,0) ed eventualmente calcolare le derivate parziali in quel punto.
Non sono molto bravo a risolvere questo genere di problemi, io ho pensato qualcosa, ma credo non funzioni. Considero:
[tex]y=\sqrt{x}[/tex]
E considero:
[tex]0< \frac{x^2}{x^2+x}< x^2[/tex]
E dovrebbe tendere a 0.
Però, suppongo non sia così..............
[tex]\frac{\sqrt{|x|}y}{x^2+y^4}[/tex]
Se (x,y) diverso da 0, altrimenti vale 0.
Devo verificare se la funzione è continua in (0,0) ed eventualmente calcolare le derivate parziali in quel punto.
Non sono molto bravo a risolvere questo genere di problemi, io ho pensato qualcosa, ma credo non funzioni. Considero:
[tex]y=\sqrt{x}[/tex]
E considero:
[tex]0< \frac{x^2}{x^2+x}< x^2[/tex]
E dovrebbe tendere a 0.
Però, suppongo non sia così..............
Risposte
devi studiare $lim_((x,y)->(0,0))f(x,y)$ e devi vedere se fa proprio 0
Non mi sembra molto immefiato calcolare quel limite, se non si fa un confronto e visto che c'è una forma indeterminata, come lo risolviamo?
"Darèios89":
Ho questa funzione:
[tex]\frac{\sqrt{|x|}y}{x^2+y^4}[/tex]
Se (x,y) diverso da 0, altrimenti vale 0.
Devo verificare se la funzione è continua in (0,0) ed eventualmente calcolare le derivate parziali in quel punto.
Non sono molto bravo a risolvere questo genere di problemi, io ho pensato qualcosa, ma credo non funzioni. Considero:
[tex]y=\sqrt{x}[/tex]
E considero:
[tex]0< \frac{x^2}{x^2+x}< x^2[/tex]
E dovrebbe tendere a 0.
Però, suppongo non sia così..............
Ovviamente ha senso solo il caso $x>0$
La funzione è continua in tutto $R^2$, ma non essendo definita in $(0,0)$ controlliamo se è lì continua.
Vediamo se il limite esiste ed è pari a $0$
Se passiamo il tutto in coordinate polari, otteniamo che questo limite è pari ad infinito.
Se proviamo a dimostrarne quindi la non continuità, infatti otteniamo:
considerando la parabola $y=x^(1/2)$, abbiamo:
$(mx)/(x^2+m^2x)= m/(x+m^2)$ il cui limite per $x -> 0$ dipende dalla particolare parabola scelta (dipende da $m$, cioè).
Quindi non è continua nel punto $(0,0)$
Quindi quando capitano questi confronti basta che faccio una restrizione, uso le coordinate polari, o meglio considero il coefficiente angolare e se il risultato dipende dal coefficiente angolare allora non è continua.
"Darèios89":
Quindi quando capitano questi confronti basta che faccio una restrizione, uso le coordinate polari, o meglio considero il coefficiente angolare e se il risultato dipende dal coefficiente angolare allora non è continua.
No, se dipende dal coefficiente angolare, non puoi dire che è continua.
Questo ti spinge a cercare dimostrazioni che ti permettano di dire che non è continua, ma non basta solo quello.
mh.....
"Darèios89":
Ho questa funzione:
[tex]\frac{\sqrt{|x|}y}{x^2+y^4}[/tex]
Se (x,y) diverso da 0, altrimenti vale 0.
Devo verificare se la funzione è continua in (0,0) ed eventualmente calcolare le derivate parziali in quel punto.
volevo solo aggiungere una cosa: lo studio con le coordinate polari è ben diverso da quello con le restrizioni su un fascio di rette (lo metto in evidenza perchè mi sembra che tu abbia fatto un po' di confusione). mentre quest'ultimo ti dice il comportamento lungo tutte le rette passanti per il punto (che per quanto possa sembrare strano è MOLTO "restrittivo"), le coordinate polari, a patto che la funzione ammetta limite, ti assicurano che lungo tutte le restrizioni possibili immaginabili il limite è quello, perchè vai a "controllare" tutti i punti che stanno nella palla di raggio rho e centro x0; se il risultato del limite dipende dall'angolo, allora il limite non esiste.
questo è solo per farti presente che se guardi il comportamento lungo le restrizioni hai comunque una visione limitata di ciò che accade, però se vedi che il risultato del limite dipende dalla particolare restrizione allora ne deduci la non esistenza.
questo esercizio è comunque un caso in cui le coordinate polari non sono comode, perchè non hai norme o quadrati di norme.
la prima cosa che deve farti sospettare è il fatto che al numeratore hai grado 1 + 1/2 = 3/2, mentre al denominatore hai grado minimo 2: questo potrebbe essere un segno che il limite non possa essere 0, ma vada ad infinito. faximusy ha considerato una mezza parabola (veramente non capisco da dove venga il parametro m..), ma con un fascio di rette era lo stesso. addirittura bastava la retta y = x (in tal caso andava ad infinito) per farti concludere che f non poteva essere continua
Bè si in effetti con quella restrizione il numeratore ha grado superiore, era molto intuitivo......
Grazie...
Grazie...
"enr87":
[quote="Darèios89"]Ho questa funzione:
[tex]\frac{\sqrt{|x|}y}{x^2+y^4}[/tex]
Se (x,y) diverso da 0, altrimenti vale 0.
Devo verificare se la funzione è continua in (0,0) ed eventualmente calcolare le derivate parziali in quel punto.
volevo solo aggiungere una cosa: lo studio con le coordinate polari è ben diverso da quello con le restrizioni su un fascio di rette (lo metto in evidenza perchè mi sembra che tu abbia fatto un po' di confusione). mentre quest'ultimo ti dice il comportamento lungo tutte le rette passanti per il punto (che per quanto possa sembrare strano è MOLTO "restrittivo"), le coordinate polari, a patto che la funzione ammetta limite, ti assicurano che lungo tutte le restrizioni possibili immaginabili il limite è quello, perchè vai a "controllare" tutti i punti che stanno nella palla di raggio rho e centro x0; se il risultato del limite dipende dall'angolo, allora il limite non esiste.
questo è solo per farti presente che se guardi il comportamento lungo le restrizioni hai comunque una visione limitata di ciò che accade, però se vedi che il risultato del limite dipende dalla particolare restrizione allora ne deduci la non esistenza.
questo esercizio è comunque un caso in cui le coordinate polari non sono comode, perchè non hai norme o quadrati di norme.
la prima cosa che deve farti sospettare è il fatto che al numeratore hai grado 1 + 1/2 = 3/2, mentre al denominatore hai grado minimo 2: questo potrebbe essere un segno che il limite non possa essere 0, ma vada ad infinito. faximusy ha considerato una mezza parabola (veramente non capisco da dove venga il parametro m..), ma con un fascio di rette era lo stesso. addirittura bastava la retta y = x (in tal caso andava ad infinito) per farti concludere che f non poteva essere continua[/quote]
Usando un fascio di parabole, l'obiettivo era proprio scoprire che dipendesse dal particolare parametro $m$, cioè dalla particolare parabola scelta. (il limite è $0$ per alcune, ma non per tutte)
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