Continuità ed olomorfia di una funzione polidroma
Nella mia profonda ignoranza di questioni "fini" di Analisi Complessa, avrei azzardato che la funzione definita in $CC$ ponendo $f(z) := \sqrt{z^2 - 4}$ fosse ovunque continua.
Tuttavia, trovo scritto su alcuni fogli di esercizi che l'insieme di continuità coincide col piano complesso privato dell'asse immaginario e del segmento $[-2,2]$ dell'asse reale e che l'insieme di olomorfia coincide con il piano complesso privato dell'asse immaginario e del segmento $]-2,2[$ dell'asse reale.
Che i tagli servissero a studiare l'insieme di olomorfia me lo aspettavo (ed, in tal caso, non bastava tagliare solo il segmento sull'asse reale? Bisogna proprio impedire giri intorno a $oo$?), ma che servissero pure per la continuità no...
Qualche anima pia che sappia delucidarmi in merito?
Basterebbe anche un rimando bibliografico.
Tuttavia, trovo scritto su alcuni fogli di esercizi che l'insieme di continuità coincide col piano complesso privato dell'asse immaginario e del segmento $[-2,2]$ dell'asse reale e che l'insieme di olomorfia coincide con il piano complesso privato dell'asse immaginario e del segmento $]-2,2[$ dell'asse reale.
Che i tagli servissero a studiare l'insieme di olomorfia me lo aspettavo (ed, in tal caso, non bastava tagliare solo il segmento sull'asse reale? Bisogna proprio impedire giri intorno a $oo$?), ma che servissero pure per la continuità no...
Qualche anima pia che sappia delucidarmi in merito?
Basterebbe anche un rimando bibliografico.
Risposte
Buongiorno Gugo, mi dispiace non essere in grado di dare una risposta, però almeno posso dire dove la cercherei. Su "Visual complex analysis" di Needham (sai che sono un fissato con quel libro), a pagina 96, c'è l'esempio di \(g(z)=\sqrt{z^2+1}=\sqrt{z+i}\sqrt{z-i}\) e in effetti leggo che c'è da fare tagli che si estendono fino a infinito.
Non lo so se ti può servire, probabilmente no, ma almeno ho l'occasione di salutarti.
Non lo so se ti può servire, probabilmente no, ma almeno ho l'occasione di salutarti.
Me lo dimentico sempre il Needham... 
Grazie per avermelo ricordato.
Ci ho appena dato un'occhiata (l'esempio che ricordavi è a pag. 96 e seguenti) ed ho trovato quello che mi aspettavo, cioè che per trovare una determinazione univoca di $f(z)=\sqrt{z^2+1}$ basta tagliare il piano o lungo due curve "sensate" che connettano i punti di diramazione $\pm \mathbf{i}$ con $oo$ (e.g. le semirette $]-oo \mathbf{i}, -\mathbf{i}]$ e $[\mathbf{i}, +oo \mathbf{i} [$) oppure lungo una curva "sensata" che connetta i due punti di diramazione $\pm \mathbf{i}$ (e.g., il segmento $[-\mathbf{i} , \mathbf{i}]$).
Ragionando in maniera analoga, per redere monodroma la funzione $f(z) = \sqrt{z^2 - 4}$ basta tagliare il piano sul segmento $[-2,2]$... Quindi comunque non mi spiego il taglio sull'asse immaginario.
***
Per chi fosse interessato alla questione, i fogli di esercizi cui faccio riferimento sono quelli della prof.ssa Lanzara de "La Sapienza" (reperibili qui).
Grazie per avermelo ricordato.
Ci ho appena dato un'occhiata (l'esempio che ricordavi è a pag. 96 e seguenti) ed ho trovato quello che mi aspettavo, cioè che per trovare una determinazione univoca di $f(z)=\sqrt{z^2+1}$ basta tagliare il piano o lungo due curve "sensate" che connettano i punti di diramazione $\pm \mathbf{i}$ con $oo$ (e.g. le semirette $]-oo \mathbf{i}, -\mathbf{i}]$ e $[\mathbf{i}, +oo \mathbf{i} [$) oppure lungo una curva "sensata" che connetta i due punti di diramazione $\pm \mathbf{i}$ (e.g., il segmento $[-\mathbf{i} , \mathbf{i}]$).
Ragionando in maniera analoga, per redere monodroma la funzione $f(z) = \sqrt{z^2 - 4}$ basta tagliare il piano sul segmento $[-2,2]$... Quindi comunque non mi spiego il taglio sull'asse immaginario.
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Per chi fosse interessato alla questione, i fogli di esercizi cui faccio riferimento sono quelli della prof.ssa Lanzara de "La Sapienza" (reperibili qui).
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