Continuità e Differenziabilità di funzione con parametro
Salve a tutti!
Ho (parecchi) dubbi sullo svolgimento del seguente esercizio:
L'esercizio richiede, data la funzione $f_\alpha(x,y) = \{((|x|^\alpha |y|^(1/2))/(x^2+y^2) if (x,y) != (0,0)),(0 if (x,y) = (0,0)):}$ con $\alpha > 0$
di determinare per quali valori di $\alpha $ la funzione è continua e per quali valori di $\alpha $ è differenziabile in $(0,0)$. Ho provato a svolgere così ma qualcosa non quadra:
1) Per verificare la continuità della funzione bisogna dimostrare che $lim_((x,y)->(0,0)) (|x|^\alpha |y|^(1/2))/(x^2+y^2) = f_\alpha(0,0)=0$.
Passando alle coordinate polari si ha: $ (|\rho cos(\theta)|^(\alpha) |\rho sin(\theta)|^(1/2))/\rho^2 = (\rho^(\alpha) |cos(\theta)|^(\alpha) \rho^(1/2) |sin(\theta)|^(1/2))/\rho^2 = \rho^(\alpha-3/2) |cos(\theta)|^(\alpha) |sin(\theta)|^(1/2) <= \rho^(\alpha-3/2)$
che tende a zero per $\rho$ che tende a zero se $\alpha > 3/2$. Quindi se se $\alpha > 3/2$, il limite esiste e vale $0 = f_\alpha(0,0)$ e dunque la funzione è continua in questo caso. È corretto questo procedimento? In questo caso posso affermare che se $0<\alpha <= 3/2$ sicuramente la funzione non è continua?
2) (Avevo scritto una corbelleria sulla differenziabilità e ho modificato questo punto del messaggio). Per verificare la differenziabilità conviene usare il teorema del differenziale totale, andando quindi a calcolare esplicitamente le derivate parziali di questa schifezza e verificarne la continuità in (0,0)? Esistono metodi alternativi più comodi?
Ho (parecchi) dubbi sullo svolgimento del seguente esercizio:
L'esercizio richiede, data la funzione $f_\alpha(x,y) = \{((|x|^\alpha |y|^(1/2))/(x^2+y^2) if (x,y) != (0,0)),(0 if (x,y) = (0,0)):}$ con $\alpha > 0$
di determinare per quali valori di $\alpha $ la funzione è continua e per quali valori di $\alpha $ è differenziabile in $(0,0)$. Ho provato a svolgere così ma qualcosa non quadra:
1) Per verificare la continuità della funzione bisogna dimostrare che $lim_((x,y)->(0,0)) (|x|^\alpha |y|^(1/2))/(x^2+y^2) = f_\alpha(0,0)=0$.
Passando alle coordinate polari si ha: $ (|\rho cos(\theta)|^(\alpha) |\rho sin(\theta)|^(1/2))/\rho^2 = (\rho^(\alpha) |cos(\theta)|^(\alpha) \rho^(1/2) |sin(\theta)|^(1/2))/\rho^2 = \rho^(\alpha-3/2) |cos(\theta)|^(\alpha) |sin(\theta)|^(1/2) <= \rho^(\alpha-3/2)$
che tende a zero per $\rho$ che tende a zero se $\alpha > 3/2$. Quindi se se $\alpha > 3/2$, il limite esiste e vale $0 = f_\alpha(0,0)$ e dunque la funzione è continua in questo caso. È corretto questo procedimento? In questo caso posso affermare che se $0<\alpha <= 3/2$ sicuramente la funzione non è continua?
2) (Avevo scritto una corbelleria sulla differenziabilità e ho modificato questo punto del messaggio). Per verificare la differenziabilità conviene usare il teorema del differenziale totale, andando quindi a calcolare esplicitamente le derivate parziali di questa schifezza e verificarne la continuità in (0,0)? Esistono metodi alternativi più comodi?
Risposte
Ho provato a risolvere il secondo punto nel seguente modo:
Ho trovato che entrambe le derivate parziali della funzione esistono in $(0,0)$:
$(del(f_(\alpha)(0,0)))/(delx) = lim_(x -> 0) 0/x^3 = 0; (del(f_(\alpha)(0,0)))/(dely) = lim_(y -> 0) 0/y^3 = 0$
Quindi $f_(\alpha)(x,y)$ è differenziabile in $(0,0)$ se risulta:
$lim_((x,y)->(0,0)) (f_(\alpha)(x,y)-f_(\alpha)(0,0)-(del(f_(\alpha)(0,0)))/(delx)(x-0) - (del(f_(\alpha)(0,0)))/(dely)(y-0))/(sqrt(x^2+y^2)) = lim_((x,y)->(0,0)) (|x|^(\alpha) |y|^(1/2))/(x^2+y^2)^(3/2) = 0$ Per calcolare il limite passo alle coordinate polari:
$(\rho^(\alpha) |cos(\theta)|^(\alpha) \rho^(1/2) |sin(\theta)|^(1/2))/(\rho^3) = rho^(\alpha-5/2) |cos(\theta)|^(\alpha)|sin(\theta)|^(1/2) <= rho^(\alpha-5/2) $ che tende a $0$ se $\alpha-5/2>0 -> \alpha>5/2$ quindi dovrei concludere che è differenziabile se $\alpha>5/2$. È corretto?
Ho trovato che entrambe le derivate parziali della funzione esistono in $(0,0)$:
$(del(f_(\alpha)(0,0)))/(delx) = lim_(x -> 0) 0/x^3 = 0; (del(f_(\alpha)(0,0)))/(dely) = lim_(y -> 0) 0/y^3 = 0$
Quindi $f_(\alpha)(x,y)$ è differenziabile in $(0,0)$ se risulta:
$lim_((x,y)->(0,0)) (f_(\alpha)(x,y)-f_(\alpha)(0,0)-(del(f_(\alpha)(0,0)))/(delx)(x-0) - (del(f_(\alpha)(0,0)))/(dely)(y-0))/(sqrt(x^2+y^2)) = lim_((x,y)->(0,0)) (|x|^(\alpha) |y|^(1/2))/(x^2+y^2)^(3/2) = 0$ Per calcolare il limite passo alle coordinate polari:
$(\rho^(\alpha) |cos(\theta)|^(\alpha) \rho^(1/2) |sin(\theta)|^(1/2))/(\rho^3) = rho^(\alpha-5/2) |cos(\theta)|^(\alpha)|sin(\theta)|^(1/2) <= rho^(\alpha-5/2) $ che tende a $0$ se $\alpha-5/2>0 -> \alpha>5/2$ quindi dovrei concludere che è differenziabile se $\alpha>5/2$. È corretto?
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