Continuità e derivabilità di una funzione in un intervallo

[maths91]

Se ho da verificare se una funzione è sia continua che derivabile in un intervallo limitato, va bene se applico direttamente il teorama di Lagrange? Tanto avendo esso come condizione che una funzione sia continua e derivabile in un intervallo limitato, se verificato, lo sono.
Altra soluzione, visto che se è derivabile, di conseguenza è anche continua, posso verificare direttamente se è derivabile e per farlo va bene se faccio la derivata della funzione e poi su essa calcolo il limite sinistro e destro, se coincidono lo è?

Se invece è solo continua, per verificarlo, va bene se faccio il limite sinistro e destro delle funzione e se coincidono allora lo è?

[maths91]

Lo so che non sono errori da niente, ma non si tratta di "ripasso di logica", quanto di prestare più attenzione ai vari teoremi, interpretarli con attenzione. Anche perchè faccio un più che buon uso della logica in genere ed in altri campi. È solo che tra un po' di distrazione per via della preparazione di altri esami in questo stesso periodo e l'aver seguito poco il corso di analisi matematica 1...mi ritrovo a farla più da me che altro, incappando così in ragionamenti che lasciano a desiderare. Grazie ai vostri interventi, più che altro di Seneca, ho inquadrato decisamente meglio queste cose. Mi rimane quell'ultimo quesito.