Continuità e derivabilità di una funzione in un intervallo
Se ho da verificare se una funzione è sia continua che derivabile in un intervallo limitato, va bene se applico direttamente il teorama di Lagrange? Tanto avendo esso come condizione che una funzione sia continua e derivabile in un intervallo limitato, se verificato, lo sono.
Altra soluzione, visto che se è derivabile, di conseguenza è anche continua, posso verificare direttamente se è derivabile e per farlo va bene se faccio la derivata della funzione e poi su essa calcolo il limite sinistro e destro, se coincidono lo è?
Se invece è solo continua, per verificarlo, va bene se faccio il limite sinistro e destro delle funzione e se coincidono allora lo è?
Altra soluzione, visto che se è derivabile, di conseguenza è anche continua, posso verificare direttamente se è derivabile e per farlo va bene se faccio la derivata della funzione e poi su essa calcolo il limite sinistro e destro, se coincidono lo è?
Se invece è solo continua, per verificarlo, va bene se faccio il limite sinistro e destro delle funzione e se coincidono allora lo è?
Risposte
Hai un po' di confusione in testa. Come vorresti usare il teo. di Lagrange per verificare derivabilità e continuità?
Credo che se c'e' uno che ha molta confusione è maths91... che confonde $A=>B$ con $B=>A$.
Se non avessi avuto nessun dubbio, non avrei aperto un topic qui vi pare? 
@seneca: visto che il teorma di Lagrange parte dal presupposto che una funzione sia continua e deribabile in un intervallo limitato (rispettivamente [a,b] e (a,b)), se esso è verificato, indirettamente mi è confermato quindi che quella funzione è continua e derivabile nel mio intervallo (che è quello che interessa a me).
Non sarà un metodo tanto ortodosso se vogliamo, per verificare se una funzione è sia continua che derivabile in un intervallo limitato, ma mi sembra il più immediato e se valido, non vedo perchè non utilizzarlo.
Se sbaglio nel fare questo ragionamento, spiegami perchè.
@luca.lussardi: cioè?
Comunque chiaritemi le idee su come procedere allora. Grazie
@seneca: visto che il teorma di Lagrange parte dal presupposto che una funzione sia continua e deribabile in un intervallo limitato (rispettivamente [a,b] e (a,b)), se esso è verificato, indirettamente mi è confermato quindi che quella funzione è continua e derivabile nel mio intervallo (che è quello che interessa a me).
Non sarà un metodo tanto ortodosso se vogliamo, per verificare se una funzione è sia continua che derivabile in un intervallo limitato, ma mi sembra il più immediato e se valido, non vedo perchè non utilizzarlo.
Se sbaglio nel fare questo ragionamento, spiegami perchè.
@luca.lussardi: cioè?
Comunque chiaritemi le idee su come procedere allora. Grazie
Dovresti ripassare la logica delle proposizioni.
"maths91":
@seneca: visto che il teorma di Lagrange parte dal presupposto che una funzione sia continua e deribabile in un intervallo limitato (rispettivamente [a,b] e (a,b)), se esso è verificato, indirettamente mi è confermato quindi che quella funzione è continua e derivabile nel mio intervallo (che è quello che interessa a me).
Non sarà un metodo tanto ortodosso se vogliamo, per verificare se una funzione è sia continua che derivabile in un intervallo limitato, ma mi sembra il più immediato e se valido, non vedo perchè non utilizzarlo.
Se sbaglio nel fare questo ragionamento, spiegami perchè.
GUAAAAAI sragionare così.
Pensaci bene... Tu hai un teoremino che recita: se una funzione è derivabile in un punto, essa è ivi continua. (*)
"Ragionando" come hai fatto tu con il teo. di Lagrange, se hai una funzione $f$ continua in $x_0$, allora questa, per il fatto di essere continua, soddisfa il risultato (*) e quindi deve essere vero che $f$ è anche derivabile in $x_0$, poiché questa condizione è tra le ipotesi del teorema.
Ma vedi bene che questa tua mancanza di logica ti porta a dire che se vale $a Rightarrow b$ deve valere anche $b Rightarrow a$. Nel caso che ti ho citato non è assolutamente vero questo: la continuità è implicata dalla derivabilità, ma non la implica.
Ora ti invito a trovare un esempio di una funzione in cui vale la tesi del teorema di Lagrange ma mancano le ipotesi di derivabilità e di continuità richieste dal teorema (perché ora saprai finalmente che il teorema di Lagrange ti fornisce solamente una condizione sufficiente).
Ah vero!!! Lo so che la derivabilità implica la continuità (per il teoremino di cui parli che è il teorema di continuità), ma non viceversa e col teorma di Lagrange in effetti si incappa in quella contraddizione che mi avete fatto notare e che te mi hai appena spiegato. Quindi bocciato quel mio ragionamento.
Le altre strade che avevo indicato per il mio scopo? O come devo procedere?
Le altre strade che avevo indicato per il mio scopo? O come devo procedere?
Beh, insomma, ci sono determinate funzioni che si dimostrano essere continue nel loro insieme di definizione... $e^x$ , $log(x)$ , $sin(x)$ , $cos(x)$ , le funzioni polinomiali, le razionali fratte , ecc... Poi dai anche dei teoremi che ti permettono di dire che se $f$ è continua lo è anche $k * f $ , $k in RR$. Se $f$ e $g$ sono due funzioni continue $f + g$ , $f * g$ , ecc... sono funzioni continue...
Non ti serve molto altro. Quelle che danno problemi solitamente sono le funzioni definite a tratti. Esempio:
$f(x) = cos(x)$ per $x >= 0$
$f(x) = sin(x)$ per $x < 0$
Allora puoi dire che per $x >= 0$ la funzione è continua perché il $cos(x)$ è tale.
Per $x < 0$ la $f$ è un normale $sin(x)$, anch'essa continua in ogni punto della retta reale.
Il problema è in $0$. Devi scoprire se i grafici delle due funzioni si raccordano o meno, quindi vai a calcolare i limiti...
Non ti serve molto altro. Quelle che danno problemi solitamente sono le funzioni definite a tratti. Esempio:
$f(x) = cos(x)$ per $x >= 0$
$f(x) = sin(x)$ per $x < 0$
Allora puoi dire che per $x >= 0$ la funzione è continua perché il $cos(x)$ è tale.
Per $x < 0$ la $f$ è un normale $sin(x)$, anch'essa continua in ogni punto della retta reale.
Il problema è in $0$. Devi scoprire se i grafici delle due funzioni si raccordano o meno, quindi vai a calcolare i limiti...
Stai attento anche alle funzioni irrazionali e alle funzioni contenenti valori assoluti.
"speculor":
Stai attento anche alle funzioni irrazionali e alle funzioni contenenti valori assoluti.
Ti riferisci a me?
Allora, in generale come verifico la continuità e derivabilità di una funzione in un intervallo? Ovviamente escluso il caso in cui l'intervallo in questione è fuori dal dominio, in cui è ovvio che non sarà nè continua, nè derivabile.
Scusa, ho dimenticato di specificare il destinatario del messaggio. Pensavo fosse evidente.
"maths91":
Allora, in generale come verifico la continuità e derivabilità di una funzione in un intervallo? Ovviamente escluso il caso in cui l'intervallo in questione è fuori dal dominio, in cui è ovvio che non sarà nè continua, nè derivabile.
Dalla definizione di continuità.
Però non esiste un procedimento "standard" per questo tipo di esercizi. Per esempio come dimostri che la funzione di Dirichlet - quella che vale $0$ sui razionali e $1$ sugli irrazionali, oppure viceversa - è discontinua in ogni punto dell'intervallo $[0, 1]$ ? Mica andrai a vedere i limiti in ogni punto, mi auguro!
Vado su un esempio specifico così la cosa mi è più chiara nella pratica.
Ho la funzione: $f(x)=2x+|x-1|$, stabilire se è continua e derivabile in (0,2). Mi illustrereste tutti i passaggi gentilmente (sia per la continuità che la derivabilità)?
Ho la funzione: $f(x)=2x+|x-1|$, stabilire se è continua e derivabile in (0,2). Mi illustrereste tutti i passaggi gentilmente (sia per la continuità che la derivabilità)?
Io direi che potresti esporre tu il modo in cui risolveresti il problema...
Pensaci su.
Pensaci su.
Il punto è che come lo risolverei io, l'avevo esposto inizialmente (al di la del discorso di Lagrange), ma visto che è stato tutto resettato, non saprei precisamente.
Vediamo, se fosse da verificare la continuità di na funzione in un punto, non ci sarebbero problemi in quanto c'è la definizione di continuità stessa in un punto ( $ lim_(x -> x_0)f(x)=f(x_0) $ ) ed applicherei quella.
Parlando Invece di un intervallo, per vedere se è continua in ogni suo punto...mi verrebbe in mente qualcosa relativa al teorema degli zeri, vediamo se la sparo bella grossa
allora, se trovo un punto (appartenente al mio intervallo limitato) in cui la funzione si annulla (per il teorema degli zeri), questo per caso implica per qualche motivo che la funzione è continua in tutto l'intervallo?
Sulla derivabilità, sappiamo per definizione che una funzione definita in un intorno di un punto $x_0$ si dice derivabile in quel punt0, se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale ( $ lim_(h -> 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=l $ ). Questo basta per estendere la cosa all'intero intervallo limitato? Mi sa di no, ma non mi viene in mente cos'altro potrebbe servirmi (la proprietà di Darboux? o il teorema di Rolle potrebbe tornarmi utile?).
Vediamo, se fosse da verificare la continuità di na funzione in un punto, non ci sarebbero problemi in quanto c'è la definizione di continuità stessa in un punto ( $ lim_(x -> x_0)f(x)=f(x_0) $ ) ed applicherei quella.
Parlando Invece di un intervallo, per vedere se è continua in ogni suo punto...mi verrebbe in mente qualcosa relativa al teorema degli zeri, vediamo se la sparo bella grossa
allora, se trovo un punto (appartenente al mio intervallo limitato) in cui la funzione si annulla (per il teorema degli zeri), questo per caso implica per qualche motivo che la funzione è continua in tutto l'intervallo?Sulla derivabilità, sappiamo per definizione che una funzione definita in un intorno di un punto $x_0$ si dice derivabile in quel punt0, se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale ( $ lim_(h -> 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=l $ ). Questo basta per estendere la cosa all'intero intervallo limitato? Mi sa di no, ma non mi viene in mente cos'altro potrebbe servirmi (la proprietà di Darboux? o il teorema di Rolle potrebbe tornarmi utile?).
"maths91":
Parlando Invece di un intervallo, per vedere se è continua in ogni suo punto...mi verrebbe in mente qualcosa relativa al teorema degli zeri, vediamo se la sparo bella grossa
Stesso identico errore di prima. Il teorema degli zeri ti garantisce l'esistenza di almeno uno zero sotto certe ipotesi. Non ti dà informazioni sulla continuità.
Potrebbe darti informazioni sulla NON continuità, però; ragiona per assurdo: se hai una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato $I$ e questa assume agli estremi dell'int. valori di segno opposto, allora, se la funzione non si annulla in nessun punto dell'intervallo $I$, puoi dire certamente che esiste almeno un punto in $I$ in cui la funzione non è continua... Infatti se fosse continua e considerando le ulteriori ipotesi, il teo. degli zeri ti garantirebbe l'esistenza di uno zero.
"maths91":
Sulla derivabilità, sappiamo per definizione che una funzione definita in un intorno di un punto $x_0$ si dice derivabile in quel punt0, se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale ( $ lim_(h -> 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=l $ ). Questo basta per estendere la cosa all'intero intervallo limitato? Mi sa di no, ma non mi viene in mente cos'altro potrebbe servirmi (la proprietà di Darboux? o il teorema di Rolle potrebbe tornarmi utile?).
Solitamente basta derivare e confrontare il dominio della derivata prima con il dominio della funzione...
Sulla derivabilità: si, e se i due domini sono uguali, allora è derivabile, giusto? Ci avevo anche pensato, ma non pensavo fosse così banale la cosa. Che tra l'altro mi basterebbe già ciò per dedurre anche la continuità (conseguenza del teorema di continuità) no?
Sulla continuità: allora anche se l'ho interpretata all'inverlo la cosa, la mia intuizione andrebbe bene no? Se non fosse però che se l'intervallo su cui devo verificarla è limitato, ma aperto?
Sulla continuità: allora anche se l'ho interpretata all'inverlo la cosa, la mia intuizione andrebbe bene no? Se non fosse però che se l'intervallo su cui devo verificarla è limitato, ma aperto?
"maths91":
Sulla derivabilità: si, e se i due domini sono uguali, allora è derivabile, giusto? Ci avevp anche pensato, ma non pensavo fosse chosì banale la cosa. Che tra l'altro mi basterebbe già ciò per dedurre anche la continuità (conseguenza del teorema di continuità) no?
La cosa non è così banale. Prendi una funzione definita a tratti, per esempio...
Se vuoi un algoritmo per studiare la continuità e la derivabilità per filo e per segno non ce l'ho.
Niente algoritmo dicevo banale solo come applicazione e che bastasse solo quella. Mi manca solo il tassello a questo punto per verificare la continuità nel caso di intervallo limitato aperto visto che non posso applicare il discorso del teorema degli zeri. Come procedo?
Ti ringrazio per tutto l'aiuto e chiarimenti che mi hai dato
dicevo banale solo come applicazione e che bastasse solo quella. Mi manca solo il tassello a questo punto per verificare la continuità nel caso di intervallo limitato aperto visto che non posso applicare il discorso del teorema degli zeri. Come procedo?Ti ringrazio per tutto l'aiuto e chiarimenti che mi hai dato
Io comunque ti consiglio un bel ripasso di logica; fai degli errori che sono "gravissimi" dal punto di vista del ragionamento e potrebbero penalizzarti molto fortemente in sede d'esame.
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