Continuità di una funzione def. in un intervallo
Sia f definita in ]-2,2[ che gode della seguente proprietà:
[tex]|f(x) - 2| \leq sin^{2} \pi x \quad \forall x \in ]-2,2[[/tex]
Dimostrare che è limitata e continua in almeno tre punti dell'intervallo ]-2, 2[
Per la limitatezza non ho avuto problemi ma per dimstrarne la continuità sono entrata nel pallone... Ho iniziato a ragionare partendo dalla definizione di funzione continua...consigli?
Grazie.
[tex]|f(x) - 2| \leq sin^{2} \pi x \quad \forall x \in ]-2,2[[/tex]
Dimostrare che è limitata e continua in almeno tre punti dell'intervallo ]-2, 2[
Per la limitatezza non ho avuto problemi ma per dimstrarne la continuità sono entrata nel pallone... Ho iniziato a ragionare partendo dalla definizione di funzione continua...consigli?
Grazie.
Risposte
Carini questi esercizi che posti.
Provo a partire... La funzione $f$ assume il valore $2$ nel punto $x = 0$ (e può essere prolungata per continuità negli estremi dell'intervallo ponendo $f(-2) = f(2) = 2$). La funzione $sin^2(\pi x)$ è continua nei punti $-2 , 0 , 2$. Considero $x_0 = 0$ e scrivo la definizione di continuità:
$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tale che $\forall x \in (-2 , 2)$ con $|x - 0| < \delta$ si ha $|sin^2(\pi x)| < \epsilon$
Allora $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tale che $\forall x \in (-2 , 2)$ con $|x - 0| < \delta$ si ha anche $|f(x) - 2| < \epsilon$, che è esattamente la continuità di $f$ nel punto $0$.
Provo a partire... La funzione $f$ assume il valore $2$ nel punto $x = 0$ (e può essere prolungata per continuità negli estremi dell'intervallo ponendo $f(-2) = f(2) = 2$). La funzione $sin^2(\pi x)$ è continua nei punti $-2 , 0 , 2$. Considero $x_0 = 0$ e scrivo la definizione di continuità:
$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tale che $\forall x \in (-2 , 2)$ con $|x - 0| < \delta$ si ha $|sin^2(\pi x)| < \epsilon$
Allora $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tale che $\forall x \in (-2 , 2)$ con $|x - 0| < \delta$ si ha anche $|f(x) - 2| < \epsilon$, che è esattamente la continuità di $f$ nel punto $0$.
Si non sai quanto mi sto divertendo a risolverli XD Comunque grazie mi ero bloccata a metà di questo stesso ragionamento ma ora ci sono! Mi hai convito 
Ti ho convinta! Bene...
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