Continuità di una funzione

[Daken97]

Salve a tutti, mi stavo imbattendo nella definizione di un punto in cui la funzione continua. Essa prevede che la continuità è verificata in un punto $ x0 $ del dominio in cui $ lim_(x -> x0) f(x)=f(x0) $. Ma per quanto riguarda i punti di frontiera (non isolati, ovviamente), come bisogna comportarsi? Perché ad esempio, io ho letto che la funzione $ y=sqrt(x) $ è continua nel suo dominio, tuttavia nel punto $ x0=0 $ , il limite non esiste, perciò mi chiedevo se in questo caso, fosse sufficiente la sola esistenza del limite destro, il cui valore coincide con $ f(x0) $ .

[Mephlip]

Ma l'hai detto tu stesso all'inizio, $x_0$ deve appartenere al dominio.
Il limite di $\sqrt{x}$ per $x\to 0$ esiste eccome ed è $0$, i limiti si fanno per punti appartenenti al dominio della funzione in esame.

[axpgn]

Forse intendeva dire che il limite non esiste perché in quel punto esiste solo il limite destro …

[Daken97]

"axpgn":Forse intendeva dire che il limite non esiste perché in quel punto esiste solo il limite destro …

Esatto. $ lim_(x -> 0) sqrt(x) $ come fa ad essere uguale a 0? Lo è soltanto in un intorno destro, visto che a sinistra di quel punto la funzione non è mai definita. Ricordatevi che il limite di una funzione esiste se e solo se esistono il limite destro e il limite sinistro, e coincidono. Anche se, effettivamente questo è un caso borderline, perché in effetti tutti i punti del dominio che appartengono ad un intorno di $ x0 $, rispettano i requisiti richiesti, ma allora bisognerebbe dire che la relazione $ lim_(x -> c+)f(x)=lim_(x -> c-)f(x)=lim_(x -> c)f(x) $ , è valida solo nei punti interni al dominio, cosa che non ho letto in nessun testo. Insomma, le definizioni entrano in conflitto fra loro.

[pilloeffe]

Concordo con l'interpretazione di Alex... Cioè secondo me l'OP dice che $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} $ non esiste perché $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 $ e non esiste $ \lim_{x \to 0^-} \sqrt{x} $. Ma non ha proprio senso porsi la domanda se una funzione è continua dove non è definita (Il settore 7 non esiste... E noi non prendiamo ordini da quelli che non esistono. Cit. dal film... )
Nel caso citato si ha $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = f(0) = 0 $ e si parla di continuità della funzione a destra di $0$, che è dove è definita la funzione e quindi il solo campo dove può avere un senso indagare sulla sua continuità.

[axpgn]

"Daken97":… è valida solo nei punti interni al dominio, cosa che non ho letto in nessun testo. Insomma, le definizioni entrano in conflitto fra loro.

Mah, non mi pare … in tutti i libri che ho letto si parla di limite destro e sinistro e poi di limite, idem per la continuità … come è stato detto più e più volte in questo sito (ma anche nei libri) non ha senso parlare di continuità di una funzione dove non è definita … quello che confonde, spesso, è la nozione di "discontinuità" che viene data nelle superiori perché la si definisce anche fuori dal dominio (errando); da ciò nasce la conclusione sbagliata che se una funzione può essere discontinua fuori dal dominio allora potrebbe anche essere continua fuori dal dominio … IMHO

Cordialmente, Alex

[Daken97]

"pilloeffe":Concordo con l'interpretazione di Alex... Cioè secondo me l'OP dice che $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} $ non esiste perché $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 $ e non esiste $ \lim_{x \to 0^-} \sqrt{x} $. Ma non ha proprio senso porsi la domanda se una funzione è continua dove non è definita (Il settore 7 non esiste... E noi non prendiamo ordini da quelli che non esistono. Cit. dal film... )
Nel caso citato si ha $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = f(0) = 0 $ e si parla di continuità della funzione a destra di $0$, che è dove è definita la funzione e quindi il solo campo dove può avere un senso indagare sulla sua continuità.

Il fatto è che, anche $ lim_(x -> 0)sqrt(x) $ è ambiguo... perché da un lato, la funzione a sinistra di $ x0 $ non è definita per valori reali, ma d'altra parte, la definizione di limite richiede di prendere in considerazione solo i punti di un intorno completo di $ x0 $ che appartengono al dominio. Come ho scritto sopra, ci sono alcune definizioni che entrano in conflitto fra loro.

[axpgn]

"Daken97":Come ho scritto sopra, ci sono alcune definizioni che entrano in conflitto fra loro.

Riportale qui, citando anche la fonte e poi ne riparliamo

[Daken97]

"axpgn":[quote="Daken97"]Come ho scritto sopra, ci sono alcune definizioni che entrano in conflitto fra loro.

Riportale qui, citando anche la fonte e poi ne riparliamo [/quote]

1) $ lim_(x -> c) f(x)=l $ se e solo se $ lim_(x -> c-)f(x)=lim_(x ->c+)f(x)=l $

2) D'altra parte, come ho scritto più volte, nella definizione di limite è richiesto di prendere in considerazione solo i punti di un intorno di $ x0 $ che appartengono al dominio, perciò $ lim_(x -> 0)sqrt(x) $ può essere uguale a 0, nonostante non esista il limite sinistro.

[axpgn]

Non ho chiesto questo; riporta le fonti in contrasto anzi cita il riferimento così da poterle confrontare, contesto compreso.

[Daken97]

"axpgn":Non ho chiesto questo; riporta le fonti in contrasto anzi cita il riferimento così da poterle confrontare, contesto compreso.

Aspetta, credo ci sia stato un malinteso. Io non intendevo che una fonte citasse "A" e l'altra "B", ma semplicemente che quelle due affermazioni fra loro entrassero in conflitto, per ovvi motivi. Nella fattispecie, se è possibile dimostrare che $ lim_(x -> 0) sqrt(x)=0 $, come può essere vera l'affermazione al punto 1, se il limite sinistro di tale funzione non esiste?

[axpgn]

In quale contesto è stato scritto che "è possibile dimostrare che esiste $lim_(x->0) sqrt(x) = 0$" ?
Comunque, anche se fosse successo, probabilmente è solo un abuso di notazione, il cui "vero" significato è facilmente desumibile dal contesto … IMHO

È per quello che sarebbe utile confrontarsi sulle fonti "originali" …

[Daken97]

"axpgn":In quale contesto è stato scritto che "è possibile dimostrare che esiste $lim_(x->0) sqrt(x) = 0$" ?
Comunque, anche se fosse successo, probabilmente è solo un abuso di notazione, il cui "vero" significato è facilmente desumibile dal contesto … IMHO

È per quello che sarebbe utile confrontarsi sulle fonti "originali" …

Perché se leggi la definizione di limite (in qualunque testo), ti accorgi che la condizione | $ f(x)-l $ |< $ xi $ , deve essere verificata per i valori che appartengono contemporaneamente ad un intorno di $ x0 $ e al dominio della funzione, perciò tale limite è verificato. $ x0=0 $ in questo caso è un punto di accumulazione particolare, poiché non è né interno e né isolato, bensì di frontiera.

[axpgn]

Non è "esattamente" così … in tutti i testi che ho visto si introducono sempre anche le definizioni di limite destro e sinistro e poi quella di limite … magari talvolta l'ordine di presentazione è inverso ma ci sono sempre le due definizioni, proprio per evitare che nascano dubbi come i tuoi …

[Daken97]

"axpgn":Non è "esattamente" così … in tutti i testi che ho visto si introducono sempre anche le definizioni di limite destro e sinistro e poi quella di limite … magari talvolta l'ordine di presentazione è inverso ma ci sono sempre le due definizioni, proprio per evitare che nascano dubbi come i tuoi …

Nel mio libro di testo no, ma anche in altri siti. Resta sempre il fatto che se tengo fede a quella definizione, quel limite è verificato, perché comunque scelgo un intorno di $ x0 $, qualunque valore che appartiene contemporaneamente all'intorno e al dominio della funzione (quindi sono esclusi i valori a sinistra di 0, almeno nel caso di $ y=sqrt(x) $ ) rispetta la condizione | $ f(x)-l|

Cita

Segnala

[gugo82]

Definizione di limite (uguale da Weierstrass in poi, su qualsiasi testo degno di questo nome):

Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0 + delta[ - \{ x_0\},\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0) f(x) = l$.

Definizione di limite unilaterale:

Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da sinistra[nota]Ciò significa che $x_0$ è di accumulazione per l'insieme $X nn ]-oo, x_0[$.[/nota] ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da sinistra se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0[,\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$.

Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da destra[nota]Ciò significa che $x_0$ è di accumulazione per l'insieme $X nn ]x_0, +oo[$.[/nota] ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da destra se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 , x_0 + delta[,\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$.

Facile esercizio:

Dimostrare i seguenti fatti:

[list=a][*:x5k4k4oj] se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da sinistra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$;

[/*:m:x5k4k4oj]
[*:x5k4k4oj] se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da destra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$;

[/*:m:x5k4k4oj]
[*:x5k4k4oj] se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ da entrambi i lati, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l = lim_(x -> x_0^+) f(x)$.[/*:m:x5k4k4oj][/list:o:x5k4k4oj]

Morale della favola: se non si conoscono le definizioni, accade sovente di vedere contraddizioni lì dove non ce ne sono da secoli.

[Daken97]

"gugo82":Definizione di limite (uguale da Weierstrass in poi, su qualsiasi testo degno di questo nome):

Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0 + delta[ - \{ x_0\},\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0) f(x) = l$.

Definizione di limite unilaterale:

Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da sinistra[nota]Ciò significa che $x_0$ è di accumulazione per l'insieme $X nn ]-oo, x_0[$.[/nota] ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da sinistra se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 - delta, x_0[,\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$.

Siano $X sube RR$ non vuoto, $f:X -> RR$, $x_0 in RR$ un punto di accumulazione per $X$ da destra[nota]Ciò significa che $x_0$ è di accumulazione per l'insieme $X nn ]x_0, +oo[$.[/nota] ed $l in RR$.

Si dice che $f$ ha limite $l$, ovvero che $f$ converge ad $l$, per $x$ che tende ad $x_0$ da destra se e solo se:

$AA epsilon >0,\ EE delta >0:\ AA x in X nn ]x_0 , x_0 + delta[,\ |f(x) - l| < epsilon$;

in tal caso si scrive $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$.

Facile esercizio:

Dimostrare i seguenti fatti:

[list=a][*:3gh9rdq4] se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da sinistra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l$;

[/*:m:3gh9rdq4]
[*:3gh9rdq4] se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ solo da destra, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^+) f(x) = l$;

[/*:m:3gh9rdq4]
[*:3gh9rdq4] se $x_0$ è un p.d.a. per $X$ da entrambi i lati, allora $lim_(x-> x_0) f(x) = l$ se e solo se $lim_(x -> x_0^(-)) f(x) = l = lim_(x -> x_0^+) f(x)$.[/*:m:3gh9rdq4][/list:o:3gh9rdq4]

Morale della favola: se non si conoscono le definizioni, accade sovente di vedere contraddizioni lì dove non ce ne sono da secoli.

Il problema sono alcuni libri di testo e alcune fonti, appunto. Sul mio (ho acquistato quello che mi è stato indicato), viene asserito che le nozioni di limite destro e limite sinistro, valgono per qualunque punto di accumulazione, idem la relazione dell'uguaglianza fra il limite destro e il limite sinistro. Alla luce di queste considerazioni, possiamo concludere che sul libro evidentemente ci sono degli errori, e che $ lim_(x -> 0)sqrt(x)=0 $.




P.s. Viceversa, quest'altra fonte conferma le definizioni di Gugo82, che evidentemente sono quelle corrette.

http://calvino.polito.it/~rolando/1314A ... miti_1.pdf

[axpgn]

Continui a ripetere che sul tuo libro ci sono degli errori; va bene, ti crediamo, ma perché non ci dici qual è?

[gugo82]

In realtà, se un punto di accumulazione è di accumulazione solo da un lato (e.g. da destra) la definizione di limite dall'altro lato (e.g. da sinistra) funziona lo stesso, ma è "vuota" (perché non c'è nessun $x in X nn ]x_0- delta, x_0[$).

Quindi non c'è una definizione "giusta" ed una sbagliata; c'è solo la volontà di scrivere le cose in maniera più o meno compatta, più o meno immediata.

[Daken97]

"axpgn":Continui a ripetere che sul tuo libro ci sono degli errori; va bene, ti crediamo, ma perché non ci dici qual è?

Diciamo che c'è una imprecisione, dovuta al fatto che la relazione $ lim_(x -> c)f(x)=l hArr lim_(x -> c-)f(x)=lim_(x -> c+)f(x)=l $ è valida quando la funzione è definita in un intorno completo di $ x0 $... mentre sul libro viene citato un punto di accumulazione qualsiasi. Poi, come ha detto Gugo, potremmo anche accettarla, però secondo me ha poco senso parlare di limite sinistro in un punto in cui la funzione è definita soltanto in un intorno destro, perciò mi sembrano molto più precise le definizioni che ha proposto lui.

E comunque, tornando alla domanda originaria, se $ lim_(x -> 0)sqrt(x)=0 $, non c'e proprio ombra di dubbio, la funzione $ y=sqrt(x $ è continua.

[axpgn]

Non ce lo vuoi proprio dire …