Continuità di una funzione
Assegnata la funzione : f(x) =
- $e^( (x^2 -x +2) / (x) )$ se x < 0
- $e^( (1-x) / (x^(3)) )$ se x > 0
Studia la sua continuità
Io ho calcolato limite destro e sinistro della funzione quando tende a 0, e ho trovato che per 0- risulta 0 e per 0+ risulta +inf
C'è qualcos'altro da fare?
- $e^( (x^2 -x +2) / (x) )$ se x < 0
- $e^( (1-x) / (x^(3)) )$ se x > 0
Studia la sua continuità
Io ho calcolato limite destro e sinistro della funzione quando tende a 0, e ho trovato che per 0- risulta 0 e per 0+ risulta +inf
C'è qualcos'altro da fare?
Risposte
Poichè \(\displaystyle x=0 \) non è parte del dominio, la funzione è discontinua in \(\displaystyle 0 \) senza bisogno di calcolare i limiti.
La funzione invece è continua sui due intervalli in cui è definita in quanto composizione di funzioni elementari.
Supponiamo di aggiungere un'altra condizione:
\(\displaystyle f(x) = 0 \) se \(\displaystyle x = 0 \)
In tal caso la funzione è definita su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \) e devi svolgere i limiti agli estremi degli intervalli in cui è definità, in questo caso in \(\displaystyle 0^+ \) e \(\displaystyle 0^- \).
Svolti i limiti come hai fatto, noti che il limite destro e e sinistro non coincidono, quindi la funzione è discontinua in \(\displaystyle 0 \)
La funzione invece è continua sui due intervalli in cui è definita in quanto composizione di funzioni elementari.
Supponiamo di aggiungere un'altra condizione:
\(\displaystyle f(x) = 0 \) se \(\displaystyle x = 0 \)
In tal caso la funzione è definita su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \) e devi svolgere i limiti agli estremi degli intervalli in cui è definità, in questo caso in \(\displaystyle 0^+ \) e \(\displaystyle 0^- \).
Svolti i limiti come hai fatto, noti che il limite destro e e sinistro non coincidono, quindi la funzione è discontinua in \(\displaystyle 0 \)
"stefano.balzarotti":
Poichè \(\displaystyle x=0 \) non è parte del dominio, la funzione è discontinua in \(\displaystyle 0 \) senza bisogno di calcolare i limiti.
La funzione invece è continua sui due intervalli in cui è definita in quanto composizione di funzioni elementari.
Supponiamo di aggiungere un'altra condizione:
\(\displaystyle f(x) = 0 \) se \(\displaystyle x = 0 \)
In tal caso la funzione è definita su tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \) e devi svolgere i limiti agli estremi degli intervalli in cui è definità, in questo caso in \(\displaystyle 0^+ \) e \(\displaystyle 0^- \).
Svolti i limiti come hai fatto, noti che il limite destro e e sinistro non coincidono, quindi la funzione è discontinua in \(\displaystyle 0 \)
0 è un punto di discontinuità di 2° specie quindi?
Si se devi classificare la discontinutà, poichè uno dei due limiti tende a infinito è di seconda specie.
Perfetto grazie mille!
"stefano.balzarotti":
Poichè \( \displaystyle x=0 \) non è parte del dominio, la funzione è discontinua in \( \displaystyle 0 \) senza bisogno di calcolare i limiti.
Ciao, a mio avviso su questo ci sarebbe da discutere. La continuità di una funzione ha senso solo sui punti del suo insieme di definizione. Affermare che la funzione è discontinua in $x=0$ perché non è ivi definita è un errore. La funzione proposta è continua e basta.
"stefano.balzarotti":
Supponiamo di aggiungere un'altra condizione:
\( \displaystyle f(x) = 0 \) se \( \displaystyle x = 0 \)
In tal caso la funzione è definita su tutto \( \displaystyle \mathbb{R} \) e devi svolgere i limiti agli estremi degli intervalli in cui è definità, in questo caso in \( \displaystyle 0^+ \) e \( \displaystyle 0^- \).
Svolti i limiti come hai fatto, noti che il limite destro e e sinistro non coincidono, quindi la funzione è discontinua in \( \displaystyle 0 \)
In questo caso ha invece senso chiedersi se la funzione è continua in $x=0$ perché ora è ivi definita. Capisco che la questione può essere spinosa e se qualcuno più esperto di me (un matematico vero) volesse approfondire e eventualmente smentirmi è ovviamente ben gradito.
Credo che sia un problema di convenzioni, ho trovato diversi pareri in merito, secondo alcuni matematici non ha senso studiare la continuità agli estremi del dominio per altri altri invece si tratta di punti di discontinuità
Ad esempio **** cataloga i punti fuori dal dominio come discontinuità di seconda specie...
Poi se un vero matematico volesse approfondire la questione, sarei curioso di conoscere il suo parere...
Ad esempio **** cataloga i punti fuori dal dominio come discontinuità di seconda specie...
Poi se un vero matematico volesse approfondire la questione, sarei curioso di conoscere il suo parere...
Non ha senso parlare di continuità di una funzione dove questa non esiste ... di post in merito ne trovi a iosa nel forum ...
"axpgn":
Non ha senso parlare di continuità di una funzione dove questa non esiste ... di post in merito ne trovi a iosa nel forum ...
Quindi vorresti dire che 1, 2, 3 , 4, 5,... dicono il falso?
"stefano.balzarotti":
[quote="axpgn"]Non ha senso parlare di continuità di una funzione dove questa non esiste ... di post in merito ne trovi a iosa nel forum ...
Quindi vorresti dire che 1, 2, 3 , 4, 5,... dicono il falso?[/quote]
Dipende dalle convenzioni che si assumono, anche i professore di Analisi I e II (due professori distinti) considerano $1/x, 1/x^2$, dato che il loro dominio è $D_f=RR-{0}$, continue in tutto il loro dominio.
"stefano.balzarotti":
...
Quindi vorresti dire che 1, 2, 3 , 4, 5,... dicono il falso?
Purtroppo sì ...
Dipende dalle convenzioni che si assumono, anche i professore di Analisi I e II (due professori distinti) considerano 1x,1x2, dato che il loro dominio è Df=R−{0}, continue in tutto il loro dominio
Ma credo che qualsiasi professore di analisi la pensi in questo modo, e in qualsiasi testo serio di analisi viene detto in questo modo.
Quindi vorresti dire che 1, 2, 3 , 4, 5,... dicono il falso?Direi di si, in tutti quei siti l'approccio all'analisi è "liceale" (anche la pagina del MIT, bisogna ricordare che in america non fanno analisi, fanno "calculus")
"Vulplasir":Dipende dalle convenzioni che si assumono, anche i professore di Analisi I e II (due professori distinti) considerano 1x,1x2, dato che il loro dominio è Df=R−{0}, continue in tutto il loro dominio
Ma credo che qualsiasi professore di analisi la pensi in questo modo, e in qualsiasi testo serio di analisi viene detto in questo modo.
Sì, esattamente; però ha anche detto che esistono professori che considerano discontinue funzioni in punti in cui non sono definite.
Io faccio ingegneria e questi son battibecchi loro, però mi incuriosiscono
@Magma
[ot]I naturali cominciano da $1$ ...[/ot]
Comunque, non è proprio una sottigliezza, dato che la continuità è una proprietà "tirata in ballo" parecchio ...
@stefano
Come "classificheresti" $f(x)=1/x$ e $f(x)=log(x)$ e perché ...?
[ot]I naturali cominciano da $1$ ...
[/ot]Comunque, non è proprio una sottigliezza, dato che la continuità è una proprietà "tirata in ballo" parecchio ...
@stefano
Come "classificheresti" $f(x)=1/x$ e $f(x)=log(x)$ e perché ...?
@stefano
Come "classificheresti" $f(x)=1/x$ e $f(x)=log(x)$ e perché ...?
Io direi che \(\displaystyle \frac{1}{x} \) è definita su\(\displaystyle (-\infty,0) \cup (0,+\infty) \) ed è continua su tutti gli intervalli in cui è definita in quanto composta da funzioni elementari.
Mentre per $ f(x)=log(x) $ direi che è definita in \((0,+\infty) \) e in quanto funzione elementare è continua su tutto il dominio.
Normalmente mi limito a rispondere così, perchè il mio professore di Analisi I (corso di ingengeria informatica) ha spiegato in questo modo.
Notare che comunque specifico sempre "su tutti gli intervalli in cui è definita".
Tuttavia se mi venisse chiesto di classificare eventuali discontinutà, cosa che al corso di analisi non hanno nemmeno spiegato, devo tornare a quello che ho studiato alle superiori, e se ricordo bene il caso \(\displaystyle \frac{1}{x} \) ha una discontinuità di secondo tipo in \(\displaystyle 0 \) e così concordano le varie fonti che ho trovato.
Mentre il caso \(\displaystyle log(x) \) in quanto continua e definita su un solo intervallo non ha senso studiarne la discontinuità, è continua e basta.
Comunque, bho io ho sempre pensato fosse solo un problema di convenzioni, un po' come il fatto che per alcuni la funzione \(\displaystyle f(x)=x^{\frac{a}{b}} \) è definita anche per \(\displaystyle x \) negativo se \(\displaystyle b \) è dispari, mentre per altri non ha senso definirla per \(\displaystyle x \) negativo.
Quindi, a sentimento tuo, una è continua mentre l'altra è discontinua in un punto nonostante siano tutte e due continue in tutto il dominio ... quale sarebbe il criterio per distinguerle? Un punto, più punti, più punti sparsi?
Per esempio come classificheresti $1/sqrt(x^2-2x+1)$ e $1/sqrt(x^2-2x)$? Una è discontinua in un punto mentre per l'altra non ha senso discuterne la discontinuità? Eppure sono definite in due intervalli ...
Mi ripeto ma prova a cercare nel forum ci sono discussioni interessanti in merito, anche recenti ...
Per esempio come classificheresti $1/sqrt(x^2-2x+1)$ e $1/sqrt(x^2-2x)$? Una è discontinua in un punto mentre per l'altra non ha senso discuterne la discontinuità? Eppure sono definite in due intervalli ...
Mi ripeto ma prova a cercare nel forum ci sono discussioni interessanti in merito, anche recenti ...
Se tu avessi risposto così a una domanda all'orale penso che una sgridata dal prof. non te l'avrebbe tolta nessuno, soprattutto per
su tutti gli intervalli in cui è definita
"axpgn":
Quindi, a sentimento tuo, una è continua mentre l'altra è discontinua in un punto
Sinceramente non mi sono mai posto il problema, come ho detto per me sono entrambe continue sul dominio.
Sia negli esercizi che nelle prove d'esame non mi sono mai preoccupato di studiare la discontinutà fuori dal dominio, anche perchè come ho detto non abbiamo mai studiato le tipologie di discontinuità.
Comunque a logica, fuori dal dominio la funzione non è definità e quindi a intuito non è continua, che il fatto di non essere continua perchè non definita implica che sia discontinua agli estremi penso sia una questione di convenzioni.
Il link 4 al punto 1) dice una funzione è discontinua in un punto se non è definita in quel punto.
È corretto ciò che dice?, sinceramente non lo so, non sono io che decido le convenzioni, penso che spetti ai matematici decidere quale convenzione adottare,e penso che qui ci sia una diatriba in merito, oppure le fonti che si trovano online non sono scritte da matematici.
Se invece esiste un valido motivo matematico per accettare una convenzione piuttosto che un'altra, bhè sarei curioso di saperlo...
Se tu avessi risposto così a una domanda all'orale penso che una sgridata dal prof. non te l'avrebbe tolta nessuno, soprattutto per
Perchè? la funzione è definita su due intervalli aperti, o sbaglio?
Nella prova in itinere ho scritto così e non me l'ha segnato errore, tra l'altro il prof nelle spiegazioni riguardanti lo studio della continuità dice sempre "è continua su tutto il dominio in quanto composta da funzioni elementari" e dice sempre che nello studio della continuità vuole quella risposta data in modo completo.
Per esempio come classificheresti $ 1/sqrt(x^2-2x+1) $ $ 1/sqrt(x^2-2x) $? Una è discontinua in un punto mentre per l'altra non ha senso discuterne la discontinuità?
Se devo studiarne la continuità, prima scriverei il dominio delle die funzioni e poi risponderei sempre "La funzione è continua su tutto il dominio in cui è definita" perchè così ha spiegato il prof.
Se mi chiedi però di classificarne la discontinuità, cosa che nel corso di analisi non abbiamo trattato, mi rifarei alle poche informazioni che ho ricevuto alle superiori e alle fonti che ho trovato online, che siano corrette o meno non lo so e a intuito direi:
$ 1/sqrt(x^2-2x+1) $ ha una discontinuità di secondo tipo in \(\displaystyle x=1 \)
$ 1/sqrt(x^2-2x) $ su questa avrei qualche dubbio, ma direi ha una discontinuità di secondo tipo agli estremi \(\displaystyle x=0 \) e in \(\displaystyle x=2 \)
A questo punto mi chiederesti perchè ho trattato in modo diverso \(\displaystyle Ln(x) \), ma in realtà non c'è un vero motivo, semplicemente ho assunto per convenzione che una funzione può essere discontinua solo tra due intervalli.
Probabilmente ho detto qualche idiozia matematica, ma ripeto non sono un matematico, mi fido di quello che studio, per quello che non so vado a intuito.
Se credi che le tue ragioni siano universalmente valide, posta una fonte o presenta una tesi, io sarò ben felice di accettarlo.
Altrimenti per me per quanto è assolutamente valido ciò che dici,però ha lo stesso valore di qualsiasi altra convenzione che leggo su internet.
La cosa acquista un senso in analisi complessa, dove si fa la "vera" classificazione delle singolarità; nella categoria delle funzioni continue, tutto il discorso è completamente inutile.
(In ogni caso, se uno assume la definizione di continuità universalmente accettata, non ha senso considerare i punti fuori dal dominio *di una funzione continua* come "singolarità". Dove una funzione non è definita, semplicemente non esiste. Diverso è il discorso se uno parla di funzioni analitiche, che uno può sviluppare in serie di Laurent attorno ai punti isolati in cui essa non è definita. Il problema, secondo me, nasce quando si cerca di fare una versione non analitica della classificazione delle singolarità, per motivi didattici).
(In ogni caso, se uno assume la definizione di continuità universalmente accettata, non ha senso considerare i punti fuori dal dominio *di una funzione continua* come "singolarità". Dove una funzione non è definita, semplicemente non esiste. Diverso è il discorso se uno parla di funzioni analitiche, che uno può sviluppare in serie di Laurent attorno ai punti isolati in cui essa non è definita. Il problema, secondo me, nasce quando si cerca di fare una versione non analitica della classificazione delle singolarità, per motivi didattici).
"stefano.balzarotti":
... dice sempre "è continua su tutto il dominio in quanto composta da funzioni elementari" e dice sempre che nello studio della continuità vuole quella risposta data in modo completo.
... che non è quello che hai scritto (hai parlato di intervalli ma non tutte le funzioni hanno come dominio uno o più intervalli)
"stefano.balzarotti":
... Comunque a logica, fuori dal dominio la funzione non è definita e quindi a intuito non è continua, ...
Ma allora perché affermi che nella seconda funzione che ho proposto sono solo due i punti di discontinuità e non tutto l'intervallo dove non è definita?
Ciò che voglio dire è che la tua "logica" non è ben definita, cerchi di interpretare quello che hai imparato alle superiori che però sembra avere delle falle dato che non contempla tutta la casistica ... o mi sbaglio?
"stefano.balzarotti":
... semplicemente ho assunto per convenzione che una funzione può essere discontinua solo tra due intervalli.
Quale convenzione? Premesso che tutte le definizioni sono convenzioni, non mi pare che nei passi da te citati ci sia questa precisazione ...
"stefano.balzarotti":
... Se credi che le tue ragioni siano universalmente valide, posta una fonte o presenta una tesi, io sarò ben felice di accettarlo.
Non miro a tanto ...
... però tra i "matematici" (non io ...) la convenzione più accettata è questa (vedi anche intervento di dissonance) e per quanto riguarda le fonti, mi ripeto di nuovo, nel forum ci sono molti interventi in merito ...
... che non è quello che hai scritto (hai parlato di intervalli ma non tutte le funzioni hanno come dominio uno o più intervalli)
Bhè nel caso \(\displaystyle \frac{1}{x} \) il dominio è effettivamente composto da due intervalli.
Ma allora perché affermi che nella seconda funzione che ho proposto sono solo due i punti di discontinuità e non tutto l'intervallo dove non è definita?
Ciò che voglio dire è che la tua "logica" non è ben definita, cerchi di interpretare quello che hai imparato alle superiori che però sembra avere delle falle dato che non contempla tutta la casistica ... o mi sbaglio?
Senza alcun dubbio ciò che ho studiato alle superiori ha delle falle, o meglio si trattava di spiegazioni poco rigorose date in modo didattico e generalistico.
E inoltre non ricordo nemmeno in modo esatto ciò che è stato spiegato, per questo mi sono documentato e trovato quelle fonti che ho postato.
In base a ciò la discontinuità è solo una nell'intervallo in cui non è definita, ma se devo classificarla, posso farlo a solo agli estremi.
Si tratta di un ragionamento che ho fatto a intuito, dopo aver letto la spiegazione di dissonance mi sono reso conto che non ha senso, e che una classificazione corretta è possibile farla solo in analisi complessa.
Quale convenzione? Premesso che tutte le definizioni sono convenzioni, non mi pare che nei passi da te citati ci sia questa precisazione ...
Si è vero, probabilmente ho sbagliato.
Tuttavia lo stesso problema si presenta se vuoi studiare la funzione \(\displaystyle x^{\frac{a}{b}} \), per alcuni ha senso studiarla pe \(\displaystyle x \) negativo se \(\displaystyle b \) è dispari per altri no.
Tutto dipende dalla convenzione che si adotta, ma nessuno quando tratta l'argomento cita la convenzione usata.
Tempo fa avevo proprio aperto un post in merito per chiedere chiamenti, e alla fine mi è stato detto di prendere la matematica in modo rilassato
Non miro a tanto ...
Ok, mi fido, poi dopo aver letto quello che ha scritto dissonance penso di aver capito perchè per motivi didattici alcuni studiano la discontinutà anche dove la funzione non è definita.
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