Continuità di un operatore lineare
Sono alle prese con il seguente esercizio:
Faccio un po' di chiacchiere, e se dico ca***te tiratemi le orecchie.
Intanto assumo che $L^p (X)$ sia munito della norma \(\| \cdot \|_p\), che lo rende uno spazio di Banach; inoltre anche $L^p (X) \times L^p (X)$ munito della norma (detta del grafico nel caso in cui \(g\) è l'immagine di \(f\) tramite un certo funzionale lineare) \( \| (f,g) \| = \| f \|_p + \|g \|_p \) è uno spazio di Banach. Sono quindi nelle ipotesi del teorema del grafico chiuso; l'idea sarebbe appunto quella di mostrare che il grafico \[G(T) = \{ (f, Tf ) \in L^p (X) \times L^p (X) \}\] è un chiuso in \(L^p (X) \times L^p (X)\). In questo caso come procedo? Prendo una successione $(f_n , T f_n) \in G(T)$ convergente ad \((f,Tf) \in L^p (X) \times L^p (X)\) nella norma del grafico, i.e. t.c. \[\lim_{n \to \infty} \| (f_n , T f_n) - (f, Tf) \| = \lim_{n \to \infty} \| (f_n -f , T f_n - T f) \| = 0\] e mostro che \((f, Tf) \in G(T)\)?
Ringrazio.
Siano $(X, \mathcal{M}, \mu)$ uno spazio con misura e $p \ge 1$. Sia poi $T: L^p (X) \to L^p (X)$ un operatore lineare tale che, se $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq L^p (X)$ converge quasi ovunque ad $f \in L^p (X)$, allora $(T f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge quasi ovunque a $T f$. Si provi che $T$ è continuo.
Faccio un po' di chiacchiere, e se dico ca***te tiratemi le orecchie.
Intanto assumo che $L^p (X)$ sia munito della norma \(\| \cdot \|_p\), che lo rende uno spazio di Banach; inoltre anche $L^p (X) \times L^p (X)$ munito della norma (detta del grafico nel caso in cui \(g\) è l'immagine di \(f\) tramite un certo funzionale lineare) \( \| (f,g) \| = \| f \|_p + \|g \|_p \) è uno spazio di Banach. Sono quindi nelle ipotesi del teorema del grafico chiuso; l'idea sarebbe appunto quella di mostrare che il grafico \[G(T) = \{ (f, Tf ) \in L^p (X) \times L^p (X) \}\] è un chiuso in \(L^p (X) \times L^p (X)\). In questo caso come procedo? Prendo una successione $(f_n , T f_n) \in G(T)$ convergente ad \((f,Tf) \in L^p (X) \times L^p (X)\) nella norma del grafico, i.e. t.c. \[\lim_{n \to \infty} \| (f_n , T f_n) - (f, Tf) \| = \lim_{n \to \infty} \| (f_n -f , T f_n - T f) \| = 0\] e mostro che \((f, Tf) \in G(T)\)?
Ringrazio.
Risposte
E si, ma lo devi fare. Fino adesso non hai fatto niente. 
"dissonance":
E si, ma lo devi fare. Fino adesso non hai fatto niente.
Ma va
? Adesso mi metto, volevo solo conferma.
Provo a scrivere la mia soluzione: considero una successione \( \{(f_n, T f_n ) \}_{n \ge 1} \subseteq G(T) \subseteq L^p (X) \times L^p (X) \) che converge nella norma del grafico a \((f,Tf)\). Questo significa che \[\lim_{n \to \infty} \| f - f_n \|_p + \|T f_n - T f \|_p = 0\] e siccome \( \| f - f_n \|_p \ge 0\) e \(\|T f_n - T f \|_p \ge 0 \ \forall \, n\) sarà \[\lim_{n \to \infty} \|f - f_n \|_p = \lim_{n \to \infty} \| T f - T f_n \| _p = 0\]Da questo segue immediatamente che (disuguaglianza di Minkowski) \[\| f \|_p \le \|f- f_n \|_p + \|f_n \|_p < +\infty \]e cioè \(f \in L^p (X)\); lo stesso vale per \(T f_n \) e \(T f \).
A questo punto mi pare che il trucco "standard" fosse quello di osservare che siccome \( \lim_{n \to \infty} \|f - f_n \|_p=0\) allora esiste una sottosuccessione \( (f_{n_k})_{n_k \in \mathbb{N}} \) di \( (f_n)_{n \ge 1}\) che converge puntualmente quasi ovunque a $f$. Credo che (da verificare!) senza ledere le generalità sia addirittura possibile assumere che \( f_n \to f \) puntualmente quasi ovunque (considerandola come una sottosuccessione di un'opportuna successione? Cfr. qui, pag. 3, ex. 4, punto (iii)). A questo punto uso l'ipotesi: \[\lim_{n \to \infty} f_n = f \ \Longrightarrow \ \lim_{n \to \infty} T f_n = Tf \]ovvero \((f, Tf) \in G(T)\).
Torna?
Ringrazio.
A questo punto mi pare che il trucco "standard" fosse quello di osservare che siccome \( \lim_{n \to \infty} \|f - f_n \|_p=0\) allora esiste una sottosuccessione \( (f_{n_k})_{n_k \in \mathbb{N}} \) di \( (f_n)_{n \ge 1}\) che converge puntualmente quasi ovunque a $f$. Credo che (da verificare!) senza ledere le generalità sia addirittura possibile assumere che \( f_n \to f \) puntualmente quasi ovunque (considerandola come una sottosuccessione di un'opportuna successione? Cfr. qui, pag. 3, ex. 4, punto (iii)). A questo punto uso l'ipotesi: \[\lim_{n \to \infty} f_n = f \ \Longrightarrow \ \lim_{n \to \infty} T f_n = Tf \]ovvero \((f, Tf) \in G(T)\).
Torna?
Ringrazio.
Infatti mi pare che sia abbastanza immediato una volta che uno si è ricordato il teorema del grafico chiuso
Ok, grazie per il check!
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