Continuità, derivabilità e differenziabilità
Sia
$f(x,y)={(sin(x/y)(x^2y^3)/(x^4+y^4)" se "y!=0),(0" se "y=0):}
Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità di $f$ in $RR^2$
e calcolare le derivate direzionali in $(0,0)$.
Dunque per le derivate direzionali, no problem...
Quanto alla continuità e alla derivabilità, queste condizioni
risultano verificate nell'insieme $A:=RR^2\\{(x,0):x!=0}
Per quanto riguarda la differenziabilità, invece,
io ho trovato che f risulta differenziabile nell'insieme $B:=A\\{(0,y):y in RR}
Potete confermarmi questi risultati?
$f(x,y)={(sin(x/y)(x^2y^3)/(x^4+y^4)" se "y!=0),(0" se "y=0):}
Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità di $f$ in $RR^2$
e calcolare le derivate direzionali in $(0,0)$.
Dunque per le derivate direzionali, no problem...
Quanto alla continuità e alla derivabilità, queste condizioni
risultano verificate nell'insieme $A:=RR^2\\{(x,0):x!=0}
Per quanto riguarda la differenziabilità, invece,
io ho trovato che f risulta differenziabile nell'insieme $B:=A\\{(0,y):y in RR}
Potete confermarmi questi risultati?
Risposte
ciao fire... scusa se rompo dopo tanto tempo, ma sto affrontando ora questi argomenti e cercavo degli esercizi... c'è qualcosa che non capisco in alcuni dei tuoi passaggi... in particolare ho sempre questo problema:
come mai parti dal voler verificare che:
$lim_( (x,y)->(0,a) ) f(x,y) = 0$
e poi fissi la variabile $y$ e ti riduci al limite:
$lim_(x->0) ( sin(x/a) ) (x^2a^3)/(x^4+a^4)$???
così non stai solo verificando la continuità lungo una sola direzione? In teoria dovresti vedere che i qualunque modo ti avvicini a $(0,a)$, la funzione tende a 0, non solo lungo una retta orizzontale... O no?????
anche luca in uno dei suoi post usa il tuo medesimo metodo...
ditemi al più presto cosa ne pensate... ciao!
"fireball":
Ho visto che era continua in ogni punto dell'asse
y e quindi anche nell'origine. Per definizione
va controllato che $lim_( (x,y)->(0,a) ) f(x,y) = 0$
per vedere se è continua nei punti dell'asse y,
per $a!=0$. Allora, se $a!=0$,
il punto $(0,a)$ "non dà problemi" alla funzione
e il calcolo del limite si riduce a:
$lim_(x->0) ( sin(x/a) ) (x^2a^3)/(x^4+a^4)$
e la funzione $( sin(x/a) ) (x^2a^3)/(x^4+a^4)$
è asintotica a $(x^3a^2)/(x^4+a^4)$ (come si verifica)
il cui limite per $x->0$ è $0$ per ogni $a in RR\\{0}$.
come mai parti dal voler verificare che:
$lim_( (x,y)->(0,a) ) f(x,y) = 0$
e poi fissi la variabile $y$ e ti riduci al limite:
$lim_(x->0) ( sin(x/a) ) (x^2a^3)/(x^4+a^4)$???
così non stai solo verificando la continuità lungo una sola direzione? In teoria dovresti vedere che i qualunque modo ti avvicini a $(0,a)$, la funzione tende a 0, non solo lungo una retta orizzontale... O no?????
anche luca in uno dei suoi post usa il tuo medesimo metodo...
ditemi al più presto cosa ne pensate... ciao!
Non lo so... Forse era sbagliato...
Comunque sia ormai l'esame l'ho fatto...
Comunque sia ormai l'esame l'ho fatto...
eheh... lo immaginavo! però sarebbe utile chiarire la questione... 
.... io lo devo ancora fare 
e poi mica si studia solo per un esame
.... io lo devo ancora fare e poi mica si studia solo per un esame
Però penso sia corretto perché fissando
$a!=0$, un punto di ordinata non nulla
non crea patologie a $f(x,y)$...
$a!=0$, un punto di ordinata non nulla
non crea patologie a $f(x,y)$...
A rigore uno dovrebbe passare alle coordinate polari...
Comunque mi sembra giusto ugualmente.
Comunque mi sembra giusto ugualmente.
Per Thomas: hai ragione, in generale uno deve verificare il limite in due variabili, quindi non è sufficiente andare a controllare le direzioni. Però in questo caso lo svolgimento di fireball è corretto, dal momento che come lui ha detto $y \to a \ne 0$ "non dà problemi". Sarebbe da precisare questa affermazione, però in base a ciò è corretto che il limite in questione si riduca al solo limite per $x \to 0$.
Per fare le cose per bene uno potrebbe usare il confronto asintotico anche in più variabili, tanto $x/y \to 0$ per $(x,y) \to (0,a)$ con $a \ne 0$.
P.S. Dove hai letto che io per verificare la continuità ho solo controllato le direzioni?
Per fare le cose per bene uno potrebbe usare il confronto asintotico anche in più variabili, tanto $x/y \to 0$ per $(x,y) \to (0,a)$ con $a \ne 0$.
P.S. Dove hai letto che io per verificare la continuità ho solo controllato le direzioni?
Non si riferiva a te ma a Luca Barletta...
"Thomas":
e poi mica si studia solo per un esame
Lo so, ovvio... Soprattutto se parliamo
di Analisi poi, che è vitale per un ingegnere...
Direi che possiamo riformulare il fatto che
un punto di ordinata non nulla non dà problemi
alla funzione in questo modo: la funzione di
UNA variabile $f:RR\\{0}->RR$ definita
da $f(y)=(sin(x/y)) (x^2y^3)/(x^4+y^4)
fissato $x in RR$, è continua nel suo dominio
(perché composta da funzioni ivi continue).
un punto di ordinata non nulla non dà problemi
alla funzione in questo modo: la funzione di
UNA variabile $f:RR\\{0}->RR$ definita
da $f(y)=(sin(x/y)) (x^2y^3)/(x^4+y^4)
fissato $x in RR$, è continua nel suo dominio
(perché composta da funzioni ivi continue).
@Luca: quando è che una funzione "non dà problemi"? non è che mi sia tanto chiaro...
il confronto asintotico dovrebbe servirmi a capire che non ha problemi oppure lo dici solo come suggerimento per sbarazzarsi del seno???
@fireball: in pratica tu dici che:
presa $f:R^2->R,f=f(x,y)$, se per ogni $x_0$, $g:R->R, g(y)=f(x_0,y)$ è continua e se $h:R->R, g(x)=f(x,a)$ è continua, allora la $f$ è continua in $(0,a)$. Giusto?
questo è falso e ci sono contro-esempi, che credo si trovino in qualsiasi testo di analisi (chiedi se non lo trovi)... devi aggiungere delle ipotesi sulla limitatezza delle derivate parziali o qualcosa di analogo...
il confronto asintotico dovrebbe servirmi a capire che non ha problemi oppure lo dici solo come suggerimento per sbarazzarsi del seno???
@fireball: in pratica tu dici che:
presa $f:R^2->R,f=f(x,y)$, se per ogni $x_0$, $g:R->R, g(y)=f(x_0,y)$ è continua e se $h:R->R, g(x)=f(x,a)$ è continua, allora la $f$ è continua in $(0,a)$. Giusto?
questo è falso e ci sono contro-esempi, che credo si trovino in qualsiasi testo di analisi (chiedi se non lo trovi)... devi aggiungere delle ipotesi sulla limitatezza delle derivate parziali o qualcosa di analogo...
Non lo so... Ripeto che a rigore
uno avrebbe dovuto usare le coordinate
polari, come ho poi fatto in seguito per
vedere la differenziabilità.
Vi chiedo perdono per il mio linguaggio
altamente da ingegnere, del tipo "non dà problemi"
ma il rigore matematico, ipotesi, tesi etc.
non sono evidentemente il mio forte,
non me la sono cavata gran ché infatti all'esame,
e direi che mi sono più che meritato i voti che mi hanno dato...
uno avrebbe dovuto usare le coordinate
polari, come ho poi fatto in seguito per
vedere la differenziabilità.
Vi chiedo perdono per il mio linguaggio
altamente da ingegnere, del tipo "non dà problemi"
ma il rigore matematico, ipotesi, tesi etc.
non sono evidentemente il mio forte,
non me la sono cavata gran ché infatti all'esame,
e direi che mi sono più che meritato i voti che mi hanno dato...
Fai comunque conto che ho dovuto preparare
tutta Analisi da solo, usando solo il libro
e qualche esercizio qua e là che mi capitava
a tiro, su Internet o su fogli sparsi,
dal momento che non ho potuto frequentare
per il trasferimento da Matematica etc.
tutta Analisi da solo, usando solo il libro
e qualche esercizio qua e là che mi capitava
a tiro, su Internet o su fogli sparsi,
dal momento che non ho potuto frequentare
per il trasferimento da Matematica etc.
Hai ragione Thomas, i controesempi esistono, però l'idea in questo esercizio è che se $y \to a \ne 0$ allora la variabile $y$ non contribuisce nel calcolo del limite, per cui conta solo il limite per $x \to 0$.
Per rendere le cose precise uno può fare così:
$sen(x/y)=(sen(x/y))/(x/y)x/y \to 0$ per composizione con il limite notevole del seno, se $(x,y) \to (0,a)$; la funzione $(x^2y^3)/(x^4+y^4)$ è invece continua in $(0,a)$, se $a \ne 0$, per cui tende a $0$. Passando al prodotto il tutto tende a $0$.
Per rendere le cose precise uno può fare così:
$sen(x/y)=(sen(x/y))/(x/y)x/y \to 0$ per composizione con il limite notevole del seno, se $(x,y) \to (0,a)$; la funzione $(x^2y^3)/(x^4+y^4)$ è invece continua in $(0,a)$, se $a \ne 0$, per cui tende a $0$. Passando al prodotto il tutto tende a $0$.
Appunto... Questo intendevo fare io...
Anche se in maniera un po' "nascosta".
Anche se in maniera un po' "nascosta".
Bisogna imparare ad essere chiari e a sviscerare ogni passaggio nascosto.
Infatti, se no probabilmente, se c'era quest'esercizio
all'esame, non sarei neanche passato...
all'esame, non sarei neanche passato...
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