Continuità, derivabilità e differenziabilità
Sia
$f(x,y)={(sin(x/y)(x^2y^3)/(x^4+y^4)" se "y!=0),(0" se "y=0):}
Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità di $f$ in $RR^2$
e calcolare le derivate direzionali in $(0,0)$.
Dunque per le derivate direzionali, no problem...
Quanto alla continuità e alla derivabilità, queste condizioni
risultano verificate nell'insieme $A:=RR^2\\{(x,0):x!=0}
Per quanto riguarda la differenziabilità, invece,
io ho trovato che f risulta differenziabile nell'insieme $B:=A\\{(0,y):y in RR}
Potete confermarmi questi risultati?
$f(x,y)={(sin(x/y)(x^2y^3)/(x^4+y^4)" se "y!=0),(0" se "y=0):}
Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità di $f$ in $RR^2$
e calcolare le derivate direzionali in $(0,0)$.
Dunque per le derivate direzionali, no problem...
Quanto alla continuità e alla derivabilità, queste condizioni
risultano verificate nell'insieme $A:=RR^2\\{(x,0):x!=0}
Per quanto riguarda la differenziabilità, invece,
io ho trovato che f risulta differenziabile nell'insieme $B:=A\\{(0,y):y in RR}
Potete confermarmi questi risultati?
Risposte
Sì, ora è corretto
Resta da vedere la differenziabilità...
Le derivate parziali lungo l'asse delle y, delle x
e nell'origine sono tutte nulle...
Al momento non mi pare sia differenziabile però nell'origine.
Le derivate parziali lungo l'asse delle y, delle x
e nell'origine sono tutte nulle...
Al momento non mi pare sia differenziabile però nell'origine.
Infatti, f è differenziabile nell'origine se, per definizione:
$lim_( (x,y)->(0,0) ) (f(x,y))/(sqrt(x^2+y^2)) =0
ma questo non è vero, perché usando
le coordinate polari si trova $g(rho, theta)=(cos^2theta sin^3theta)/(cos^4theta+sin^4theta)
avendo indicato $g(x,y):=(f(x,y))/sqrt(x^2+y^2),
quindi il limite per $rho->0^+$ di questa
funzione dipende dall'angolo, ovvero il
limite iniziale non esiste, ovvero f non è differenziabile nell'origine. Giusto?
$lim_( (x,y)->(0,0) ) (f(x,y))/(sqrt(x^2+y^2)) =0
ma questo non è vero, perché usando
le coordinate polari si trova $g(rho, theta)=(cos^2theta sin^3theta)/(cos^4theta+sin^4theta)
avendo indicato $g(x,y):=(f(x,y))/sqrt(x^2+y^2),
quindi il limite per $rho->0^+$ di questa
funzione dipende dall'angolo, ovvero il
limite iniziale non esiste, ovvero f non è differenziabile nell'origine. Giusto?
Esatto.
Non mi viene differenziabile neanche sull'asse delle y... Confermate?
Asse y? che ragionamento hai fatto?
Ho verificato che non esiste
$lim_( (x,y)->(0,a) ) (f(x,y))/sqrt(x^2+y^2-2ax+a^2)
con $a!=0$ (abbiamo già detto che nell'origine non è diff.)
Ti torna che il limite non esiste?
$lim_( (x,y)->(0,a) ) (f(x,y))/sqrt(x^2+y^2-2ax+a^2)
con $a!=0$ (abbiamo già detto che nell'origine non è diff.)
Ti torna che il limite non esiste?
Al numeratore non ho scritto $-f(0,a)$ e
$-(:gradf(0,a),(x,y-a):)$ in quanto
sono entrambi nulli.
$-(:gradf(0,a),(x,y-a):)$ in quanto
sono entrambi nulli.
ok
Quindi ti torna?
Controllerò più tardi... prova a controllare anche l'altro asse.
No... In effetti ora che ci penso viene
differenziabile su entrambi gli assi,
ma non nell'origine... Avevo fatto
un errore di calcolo...
Quindi ricapitoliamo:
$f$ è continua e derivabile in $RR^2$, differenziabile in $RR^2\\{(0,0)}$.
Ok?
differenziabile su entrambi gli assi,
ma non nell'origine... Avevo fatto
un errore di calcolo...
Quindi ricapitoliamo:
$f$ è continua e derivabile in $RR^2$, differenziabile in $RR^2\\{(0,0)}$.
Ok?
è più verosimile questa versione, controllo più tardi, ora pappa...
D'accordo! 
Grazie comunque per la disponibilità, Luca!
Grazie comunque per la disponibilità, Luca!
Prova a disegnare con derive il grafico, potrebbe essere un'utile verifica dei risultati ottenuti, che comunque mi pare siano giusti.
Mi disegna bene solo il grafico
di f al di fuori dell'asse x...
Comunque sembra anche me che siano giusti questi risultati.
di f al di fuori dell'asse x...
Comunque sembra anche me che siano giusti questi risultati.
Questo esempio di funzione è comunque interessante:
esistono le derivate direzionali in un punto di
non differenziabilità (in questo caso l'origine),
può essere un esempio per mostrare che
se f è derivabile in ogni direzione in un punto,
non è necessariamente differenziabile in quel punto.
esistono le derivate direzionali in un punto di
non differenziabilità (in questo caso l'origine),
può essere un esempio per mostrare che
se f è derivabile in ogni direzione in un punto,
non è necessariamente differenziabile in quel punto.
Ispezioniamo l'asse y; considerando un punto $P(0,ane0)$ utilizziamo la definizione di differenziale:
$lim_((deltax,deltay)->(0,0)) (f(deltax,a+deltay)-f(0,a))/sqrt(deltax^2+deltay^2) = $
$lim_((deltax,deltay)->(0,0)) 1/sqrt(deltax^2+deltay^2) sin((deltax)/(a+deltay))*deltax^2(deltay+a)^3/(deltax^4+(deltay+a)^4) = 0 $
quindi ok, è diff.bile sull'asse y.
Analogamente per l'asse x, dove nel limite va fatta la solita maggiorazione del seno.
$lim_((deltax,deltay)->(0,0)) (f(deltax,a+deltay)-f(0,a))/sqrt(deltax^2+deltay^2) = $
$lim_((deltax,deltay)->(0,0)) 1/sqrt(deltax^2+deltay^2) sin((deltax)/(a+deltay))*deltax^2(deltay+a)^3/(deltax^4+(deltay+a)^4) = 0 $
quindi ok, è diff.bile sull'asse y.
Analogamente per l'asse x, dove nel limite va fatta la solita maggiorazione del seno.
OK! 
Si....dire che una funzione f(x,y) è derivabile lungo ogni direzione in un punto (x0,y0) ma non differenziabile, significa dire che non esiste piano tangente alla superficie in (x0,y0)......equivale al concetto debole di differenziabilità!
Alexp
Alexp
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