Continuità, derivabilità e differenziabilità
Sia
$f(x,y)={(sin(x/y)(x^2y^3)/(x^4+y^4)" se "y!=0),(0" se "y=0):}
Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità di $f$ in $RR^2$
e calcolare le derivate direzionali in $(0,0)$.
Dunque per le derivate direzionali, no problem...
Quanto alla continuità e alla derivabilità, queste condizioni
risultano verificate nell'insieme $A:=RR^2\\{(x,0):x!=0}
Per quanto riguarda la differenziabilità, invece,
io ho trovato che f risulta differenziabile nell'insieme $B:=A\\{(0,y):y in RR}
Potete confermarmi questi risultati?
$f(x,y)={(sin(x/y)(x^2y^3)/(x^4+y^4)" se "y!=0),(0" se "y=0):}
Studiare continuità, derivabilità e differenziabilità di $f$ in $RR^2$
e calcolare le derivate direzionali in $(0,0)$.
Dunque per le derivate direzionali, no problem...
Quanto alla continuità e alla derivabilità, queste condizioni
risultano verificate nell'insieme $A:=RR^2\\{(x,0):x!=0}
Per quanto riguarda la differenziabilità, invece,
io ho trovato che f risulta differenziabile nell'insieme $B:=A\\{(0,y):y in RR}
Potete confermarmi questi risultati?
Risposte
Nessuno?
Come hai fatto per valutare la continuità in $(0,0)$?
Ho visto che era continua in ogni punto dell'asse
y e quindi anche nell'origine. Per definizione
va controllato che $lim_( (x,y)->(0,a) ) f(x,y) = 0
per vedere se è continua nei punti dell'asse y,
per $a!=0$. Allora, se $a!=0$,
il punto $(0,a)$ "non dà problemi" alla funzione
e il calcolo del limite si riduce a:
$lim_(x->0) ( sin(x/a) ) (x^2a^3)/(x^4+a^4)
e la funzione $( sin(x/a) ) (x^2a^3)/(x^4+a^4)$
è asintotica a $(x^3a^2)/(x^4+a^4)$ (come si verifica)
il cui limite per $x->0$ è $0$ per ogni $a in RR\\{0}$.
y e quindi anche nell'origine. Per definizione
va controllato che $lim_( (x,y)->(0,a) ) f(x,y) = 0
per vedere se è continua nei punti dell'asse y,
per $a!=0$. Allora, se $a!=0$,
il punto $(0,a)$ "non dà problemi" alla funzione
e il calcolo del limite si riduce a:
$lim_(x->0) ( sin(x/a) ) (x^2a^3)/(x^4+a^4)
e la funzione $( sin(x/a) ) (x^2a^3)/(x^4+a^4)$
è asintotica a $(x^3a^2)/(x^4+a^4)$ (come si verifica)
il cui limite per $x->0$ è $0$ per ogni $a in RR\\{0}$.
...inoltre sai che $lim_(x->0) f(x,0) = 0$
Sì, ma è giusto quello che ho fatto?
Non mi tornava il fatto che per la continuità togliessi una parte di $RR^2$
In effetti può essere che abbia fatto qualche errore...
Comunque, il ragionamento che ho fatto prima
nel calcolo di quel limite per i punti sull'asse y, è giusto?
Comunque, il ragionamento che ho fatto prima
nel calcolo di quel limite per i punti sull'asse y, è giusto?
Poi per vedere la continuità nell'origine bisognerebbe
dimostrare che $lim_( (x,y) -> (0,0) ) f(x,y) = 0
e questo si può fare maggiorando e minorando la funzione così:
$-(x^2y^3)/(x^4+y^4) <= (sin(x/y))(x^2y^3)/(x^4+y^4) <= (x^2y^3)/(x^4+y^4)
e si dimostra usando le coordinate polari
che la funzione maggiorante (e quella minorante)
tende a 0 per $(x,y)->(0,0)$, da cui f è continua nell'origine.
dimostrare che $lim_( (x,y) -> (0,0) ) f(x,y) = 0
e questo si può fare maggiorando e minorando la funzione così:
$-(x^2y^3)/(x^4+y^4) <= (sin(x/y))(x^2y^3)/(x^4+y^4) <= (x^2y^3)/(x^4+y^4)
e si dimostra usando le coordinate polari
che la funzione maggiorante (e quella minorante)
tende a 0 per $(x,y)->(0,0)$, da cui f è continua nell'origine.
Per determinare la continuità avrei verificato la seguente:
$lim_(y->0) f(x,y) = 0$, eventualmente considerando i due casi $xne0$ e $x=0$
$lim_(y->0) f(x,y) = 0$, eventualmente considerando i due casi $xne0$ e $x=0$
Vedi il mio precedente post...
Sì, mentre scrivevo il post hai postato te
Quindi abbiamo stabilito che f è continua
su tutto l'asse delle y, inclusa l'origine.
Su questo siamo d'accordo?
su tutto l'asse delle y, inclusa l'origine.
Su questo siamo d'accordo?
Certo
Bene, ora rimane da esaminare la continuità sull'asse x
in un punto diverso dall'origine... Vediamo dunque se:
$lim_( (x,y) -> (a,0) ) f(x,y) = 0 = f(a,0)$ se $a!=0$.
Questo limite è un po' più complicato... Come si può fare?
in un punto diverso dall'origine... Vediamo dunque se:
$lim_( (x,y) -> (a,0) ) f(x,y) = 0 = f(a,0)$ se $a!=0$.
Questo limite è un po' più complicato... Come si può fare?
Cioè... A me sembra che quel limite non esista.
Verrebbe: $lim_(y->0) ( sin(a/y)) (a^2y^3)/(a^4+y^4)
che però, in effetti, vale 0 per ogni $a in RR\\{0}$ !
Dunque f è anche continua sull'asse delle x?
che però, in effetti, vale 0 per ogni $a in RR\\{0}$ !
Dunque f è anche continua sull'asse delle x?
Vediamo se può andare bene:
$lim_(y->0) f(a,y) <= lim_(y->0) a^2y^3/(a^4+y^4) = 0$
$lim_(y->0) f(a,y) <= lim_(y->0) a^2y^3/(a^4+y^4) = 0$
Infatti, guarda il mio precedente post... 
In definitiva, avrei detto che $f in C^0(RR^2)$
Allora siamo d'accordo che f è continua in tutto $RR^2$...
Pare anche che sia derivabile in tutto $RR^2$...
L'importante però è che sia continua in tutto $RR^2$
e a questo ci siamo arrivati mi pare...
Pare anche che sia derivabile in tutto $RR^2$...
L'importante però è che sia continua in tutto $RR^2$
e a questo ci siamo arrivati mi pare...
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