Continuità della funzione inversa, in spazi loc. compatti
Se $X$ è uno spazio localmente compatto (nel senso che per ogni punto c'è un compatto contente un aperto contenente il punto stesso), e $f:X\toY$ è continua e invertibile, l'inversa è continua?
Fino adesso ho sempre pensato di sì, ma mi è venuto in mente un fatto che mi pare dimostri il contrario:
se consideriamo l'applicazione ottenuta restringendo l'esponenziale complessa alla striscia $RRtimes[-pi, pi)$, questa è continua e invertibile ma l'inversa non è continua ovunque, mi pare. E però la striscia è localmente compatta... Dov'è l'inghippo?
Fino adesso ho sempre pensato di sì, ma mi è venuto in mente un fatto che mi pare dimostri il contrario:
se consideriamo l'applicazione ottenuta restringendo l'esponenziale complessa alla striscia $RRtimes[-pi, pi)$, questa è continua e invertibile ma l'inversa non è continua ovunque, mi pare. E però la striscia è localmente compatta... Dov'è l'inghippo?
Risposte
su Y che ipotesi hai??..se X fosse compatto e Y di Hausdorff sarebbe automaticamente vero perchè la mappa è chiusa..con Y generico bò!
Sto pensando invece che qua è tutto falso, mi sa. Certo, quello che dici tu è vero, ma anche prendendo tutti spazi di Hausdorff, non possiamo prescindere dalla compattezza di $X$. Un altro esempio, ancora più ovvio, è questo:
$f:[0, 2pi)\to{"circonferenza unitaria"}, f(t)=e^(it)$. Questa applicazione è continua, invertibile, ma l'inversa non è continua in $(1,0)$. Però $[0, 2pi)$ è localmente compatto e la circonferenza è Hausdorff e tutto. Forse ci vuole qualcosa di più sostanzioso della locale compattezza come l'ho messa io?
$f:[0, 2pi)\to{"circonferenza unitaria"}, f(t)=e^(it)$. Questa applicazione è continua, invertibile, ma l'inversa non è continua in $(1,0)$. Però $[0, 2pi)$ è localmente compatto e la circonferenza è Hausdorff e tutto. Forse ci vuole qualcosa di più sostanzioso della locale compattezza come l'ho messa io?
però localmente è omeomorfismo..quindi al più potrai sperare che sotto le ipotesi date l'inversa è continua localmente
Eh ma non è la stessa cosa. Un conto è un omeomorfismo locale, tutta un'altra storia un omeomorfismo. Quindi la proposizione che ho scritto nel primo post è clamorosamente sballata.
Vediamo se si riesce a recuperare almeno qualcosa: facendo un po' di esempi mi sto accorgendo che tutte le funzioni $f:U\subRR^n\toV\subRR^n$, con $U$ e $V$ aperti, continue e invertibili hanno l'inversa continua. E' vero sempre?
Vediamo se si riesce a recuperare almeno qualcosa: facendo un po' di esempi mi sto accorgendo che tutte le funzioni $f:U\subRR^n\toV\subRR^n$, con $U$ e $V$ aperti, continue e invertibili hanno l'inversa continua. E' vero sempre?
Direi che e' ben noto che l'inversa di una funzione continua non e' necessariamente continua.
L'esempio che avevo io ai tempi di analisi 1 era
$f:[0,1[\cup[2,3]\to\RR$ definita da $f(x)=x$ se $0\leq x<1$ e $f(x)=x-1$ se $2\leq x\leq 3$
( e $[0,1[\cup[2,3]$ e' localmente compatto ).
A quanto mi risulta, le ipotesi che garantiscono la continuita' dell'inversa di $f:A\to B$ sono:
1) $A$ intervallo di $\RR$ (per motivi di monotonia)
2) $A$ compatto)
L'esempio che avevo io ai tempi di analisi 1 era
$f:[0,1[\cup[2,3]\to\RR$ definita da $f(x)=x$ se $0\leq x<1$ e $f(x)=x-1$ se $2\leq x\leq 3$
( e $[0,1[\cup[2,3]$ e' localmente compatto ).
A quanto mi risulta, le ipotesi che garantiscono la continuita' dell'inversa di $f:A\to B$ sono:
1) $A$ intervallo di $\RR$ (per motivi di monotonia)
2) $A$ compatto)
su $R^n$ vale come corollario del teorema di escissione che un'applicazione da un aperto di $R^n$ in $R^n$ continua e iniettiva è automaticamente aperta..il problema è che noi stiamo facendo ipotesi molto più generali sia su X che su Y, su Y non stiamo chiedendo nessuna proprietà di separazione e men che meno che X sia T4 come $R^n$, potrebbe anche non essere metrizzabile..secondo me non può valere in generale i due spazi si devono assomigliare topologicamente almeno localmente..per esempio se metti su Y la topologia banale nessuna mappa su Y ha inversa continua a meno che anche X non abbia la topologia banale
@V.G.E.: ciao! era da parecchio che non ci incrociavamo in una discussione.
Forse ho capito cosa mi ha indotto in confusione. Non è questione di compattezza locale che non c'entra assolutamente nulla, come ormai è stato dimostrato già tre volte.
Quando prendiamo una funzione $f:U\toV$ con $U, V$ aperti di uno stesso $RR^n$, se $f$ è differenziabile e $f'!=0$, allora $f$ ha l'inversa differenziabile e in particolare ha l'inversa continua. Giusto?
[edit] @alberto: scrivevo contemporaneamente a te.
[riedit] @alberto: cos'è il "teorema di escissione"? non lo conosco e probabilmente è proprio quello il punto che mi serve. mi daresti qualche informazione, se hai tempo? grazie!
Forse ho capito cosa mi ha indotto in confusione. Non è questione di compattezza locale che non c'entra assolutamente nulla, come ormai è stato dimostrato già tre volte.
Quando prendiamo una funzione $f:U\toV$ con $U, V$ aperti di uno stesso $RR^n$, se $f$ è differenziabile e $f'!=0$, allora $f$ ha l'inversa differenziabile e in particolare ha l'inversa continua. Giusto?
[edit] @alberto: scrivevo contemporaneamente a te.
[riedit] @alberto: cos'è il "teorema di escissione"? non lo conosco e probabilmente è proprio quello il punto che mi serve. mi daresti qualche informazione, se hai tempo? grazie!
si ma la differenziabilità uccide tutto..se vuoi omeomorfismo locale ti basta l'iniettività e la continuità, è un corollario del teorema di invarianza del dominio (non di escissione come avevo scritto)
il teorema di invarianza del dominio ti dice che se hai $X$ sottoinsieme QUALUNQUE di $R^n$ ed esiste un omeomorfismo tra X ed un aperto di $R^n$ allora X è aperto (non è banale e segue da un teorema ancora meno banale il quale afferma che particolari superfici chiuse (tipo la sfera) dividono $R^n$ in esattamente due componenti connesse )
"dissonance":
@V.G.E.: ciao! era da parecchio che non ci incrociavamo in una discussione.
In effetti avevo un po' abbandonato il forum. E poi sono troppo lento a scrivere ... quando ho finito ci sono gia' altre sei risposte oltre alla mia.
Comunque il teorema di invarianza del dominio e' proprio un bel teorema; io per la verita' l'avevo imparato come applicazione del grado topologico,
per cui partire dai diffeomorfismi puo' non essere sbagliato).
Un appunto - quando dici:
"Quando prendiamo una funzione f:U→V con U,V aperti di uno stesso ℝn, se f è differenziabile e f'≠0, allora f ha l'inversa differenziabile e in particolare ha l'inversa continua. Giusto?"
mi pare che tu debba mettere in ipotesi che $f^{-1}$ esiste (globalmente). O no?
Hai ragione: a parte il fatto che volevo dire $det f'(x)!=0$ e non $f'!=0$, sono andato a ripassare il teorema della funzione inversa e in effetti così ottengo una invertibilità solo locale. E quindi un omeomorfismo solo locale.
Però se supponiamo a priori che $f$ sia invertibile penso che funzioni. Alla fine questo è il teorema sulla derivata della funzione inversa, appena appena generalizzato a $RR^n$ credo. No?
Però se supponiamo a priori che $f$ sia invertibile penso che funzioni. Alla fine questo è il teorema sulla derivata della funzione inversa, appena appena generalizzato a $RR^n$ credo. No?
"dissonance":
Hai ragione: a parte il fatto che volevo dire $det f'(x)!=0$ e non $f'!=0$, sono andato a ripassare il teorema della funzione inversa e in effetti così ottengo una invertibilità solo locale. E quindi un omeomorfismo solo locale.
Però se supponiamo a priori che $f$ sia invertibile penso che funzioni. Alla fine questo è il teorema sulla derivata della funzione inversa, appena appena generalizzato a $RR^n$ credo. No?
Direi proprio di si'
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