Continuità
raga è giusto dire che una funzione è continua nel punto C solo se è questo è un punto isolato?
grazie in anticipo
grazie in anticipo
Risposte
Se C è un punto isolato per l'insieme di definizione
della funzione f, allora PER DEFINIZIONE
si dice che f è continua in C.
della funzione f, allora PER DEFINIZIONE
si dice che f è continua in C.
Ma se un punto è isolato per l'insieme di definzione della funzone, non dovrebbe essere impossible trovare il limite in quel punto?
Per favore, mi dte cos'è che mi sfugge?
Per favore, mi dte cos'è che mi sfugge?
Dipende dalla definizione di limite che dai. La definizione più usuale richiede il punto di accumulazione, mentre esiste una definizione più generale che richiede solo il punto aderente, per cui potrebbe anche essere isolato. Per altro in ogni punto isolato $x_0$ il limite esiste e vale proprio $f(x_0)$.
Vorrei poi dire a ditek una cosa: non hai pensato che se fosse vero quello che dici saremmo veramente nei guai? le sole funzioni continue sarebbero quelle che hanno per dominio un insieme fatto da punti isolati???
Vorrei poi dire a ditek una cosa: non hai pensato che se fosse vero quello che dici saremmo veramente nei guai? le sole funzioni continue sarebbero quelle che hanno per dominio un insieme fatto da punti isolati???
Però mi viene in mente un esempio che non riesco a spiegarmi...
Prendiamo $f:{0} to RR$ con $f(0) = 1$ dove si suppone che la topologia sia quella euclidea. Prendiamo un aperto del codominio tipo $(1/2,3/2)$; la sua controimmagine nel dominio è ${0}$, che però è un chiuso nella topologia euclidea, non è certo un aperto. E invece per avere continuità dovrebbe essere un aperto. Come si spiega?
Prendiamo $f:{0} to RR$ con $f(0) = 1$ dove si suppone che la topologia sia quella euclidea. Prendiamo un aperto del codominio tipo $(1/2,3/2)$; la sua controimmagine nel dominio è ${0}$, che però è un chiuso nella topologia euclidea, non è certo un aperto. E invece per avere continuità dovrebbe essere un aperto. Come si spiega?
Per Luca.Lussardi
Questo solo nella definzione che usa il punto aderente?
"Luca.Lussardi":
Per altro in ogni punto isolato $x_0$ il limite esiste e vale proprio $f(x_0)$.
Questo solo nella definzione che usa il punto aderente?
La definizione di continuità che fa uso del limite
è quella di continuità in un punto di accumulazione,
non in un punto isolato; infatti, non avrebbe senso
parlare di limite in un punto isolato.
La continuità si definisce in due casi distinti:
se il punto è isolato per il dominio, allora f si dice continua in quel punto;
se il punto è di accumulazione per il dominio, allora
f si dice continua se il limite etc...
è quella di continuità in un punto di accumulazione,
non in un punto isolato; infatti, non avrebbe senso
parlare di limite in un punto isolato.
La continuità si definisce in due casi distinti:
se il punto è isolato per il dominio, allora f si dice continua in quel punto;
se il punto è di accumulazione per il dominio, allora
f si dice continua se il limite etc...
Ok...grazie
un ultima curiosità: f deve essere definita in quel punto (intendo il punto isolato)?
un ultima curiosità: f deve essere definita in quel punto (intendo il punto isolato)?
Non ho capito la domanda... Come fai a
parlare di continuità (o discontinuità) in un
punto dove la funzione NON è definita?!
parlare di continuità (o discontinuità) in un
punto dove la funzione NON è definita?!
Giusto...domanda stupida...scusa 
Tranquillo... Ma più che altro sembrava che non avessi letto con attenzione questo:
"francesco_rm":
La definizione di continuità che fa uso del limite
è quella di continuità in un punto di accumulazione,
non in un punto isolato; infatti, non avrebbe senso
parlare di limite in un punto isolato.
La continuità si definisce in due casi distinti:
se il punto è isolato per il dominio, allora f si dice continua in quel punto;
se il punto è di accumulazione per il dominio, allora
f si dice continua se il limite etc...
Ragazzi ora mi sono venuti dei dubbi anche a me!!!!! 
io come la maggior parte delle persone conoscevo la definizione di continuità più intuitiva (ovvero quella che ti spiegavano nel primo corso di analisi):
f(x) è continua in x0 se
per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |x-x0|<δ implica |f(x)-f(x0)|<ε
ma con questa definizione una funzione in un punto isolato non può essere continua!!!
dove sta l'inghippo???
io come la maggior parte delle persone conoscevo la definizione di continuità più intuitiva (ovvero quella che ti spiegavano nel primo corso di analisi):
f(x) è continua in x0 se
per ogni ε>0 esiste un δ>0 tale che |x-x0|<δ implica |f(x)-f(x0)|<ε
ma con questa definizione una funzione in un punto isolato non può essere continua!!!
dove sta l'inghippo???
Bella la domanda, che tra l'altro fa vedere che non è vero in generale che una funzione è continua in $x_0$ se $lim_(x to x_0)f(x)=f(x_0)$.
Nei punti isolati dalla definizione si evince immediatamente che ogni funzione è continua, sebbene ivi non abbia senso parlare di limite.
Discussi anche una volta sul motivo di questa assunzione. Intuitivamente, una funzione continua è una funzione che non ammette salti. Ma per avere un salto occorrono almeno due punti distinti "vicini", e non ve ne sono. Per il terzo escluso non si può che concludere che la funzione è continua.
Ditemi che ne pensate.
Nei punti isolati dalla definizione si evince immediatamente che ogni funzione è continua, sebbene ivi non abbia senso parlare di limite.
Discussi anche una volta sul motivo di questa assunzione. Intuitivamente, una funzione continua è una funzione che non ammette salti. Ma per avere un salto occorrono almeno due punti distinti "vicini", e non ve ne sono. Per il terzo escluso non si può che concludere che la funzione è continua.
Ditemi che ne pensate.
X Cantaro 86: la tua definizione è sbagliata perché manca che $x in D$ dominio della funzione. Se aggiungi questa condizione, per $delta$ abbastanza piccolo avrai soltanto $x_0 in D$ e sarà $|f(x_0)-f(x_0)|=0
Sono stato un po' frettoloso ma spero chiaro.
Sono stato un po' frettoloso ma spero chiaro.
Nella tua def. devi richiedere alla x, oltre che di avere distanza da x_0 inferiore a delta, di appartenere all'insieme di definizione; questo va fatto a prescindere da se x_0 è isolato o di accumulazione per l'insieme di definizione. Con quest'aggiunta la tua def. funziona anche nei punti isolati; infatti preso delta sufficientemente piccolo, l'unica x dell'insieme di definizione che dista meno di delta da x_0 è x_0 stesso e, quindi, è banalmente verificata.
a ok!!! grazie per la spegazione 
scusa zorn ma quando ho iniziato a scrivere il mio messaggio il tuo non era ancora arrivato. Ho scritto la stessa cosa che avevi già detto tu.
non so che dirti quando ho scritto non c'era il tuo post...
"Kroldar":
Però mi viene in mente un esempio che non riesco a spiegarmi...
Prendiamo $f:{0} to RR$ con $f(0) = 1$ dove si suppone che la topologia sia quella euclidea. Prendiamo un aperto del codominio tipo $(1/2,3/2)$; la sua controimmagine nel dominio è ${0}$, che però è un chiuso nella topologia euclidea, non è certo un aperto. E invece per avere continuità dovrebbe essere un aperto. Come si spiega?
facile! lo studio dei ratti serve proprio a questo
Il fatto è che il dominio di $f$ è ${0}$, su cui ci mettiamo (di corsa) la topologia relativa.
Ovvero gli aperti di ${0}$ sono dati da intersezioni di aperti di $\RR$ con ${0}$.
Quindi, ad esempio: ${0} = ]-1,1[ \cap {0}$ e quindi ${0}$ è un aperto dello spazio topologico ${0}$ con la topologia relativa (o di sottospazio che dir si voglia).
"Fioravante Patrone":
facile! lo studio dei ratti serve proprio a questo
Bella questa
"Fioravante Patrone":
Il fatto è che il dominio di $f$ è ${0}$, su cui ci mettiamo (di corsa) la topologia relativa.
Ovvero gli aperti di ${0}$ sono dati da intersezioni di aperti di $\RR$ con ${0}$.
Quindi, ad esempio: ${0} = ]-1,1[ \cap {0}$ e quindi ${0}$ è un aperto dello spazio topologico ${0}$ con la topologia relativa (o di sottospazio che dir si voglia).
Bene, grazie. Erroneamente consideravo ${0}$ come chiuso, essendo esso tale in $RR$ euclideo.
Per francesco_rm: il limite ha senso anche per punti isolati, basta che uno usi la definizione cui facevo riferimento io di sopra. Si ha che il limite esiste sempre in un punto isolato $x_0$ e vale proprio $f(x_0)$. Per altro usando la stessa definizione si dimostra che se una funzione ammette limite in un punto $x_0$ del dominio, allora tale limite deve essere $f(x_0)$.
Combinando tali osservazione si ha che la continuita' e' del tutto equivalente al limite.
Combinando tali osservazione si ha che la continuita' e' del tutto equivalente al limite.
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