Continuità
raga è giusto dire che una funzione è continua nel punto C solo se è questo è un punto isolato?
grazie in anticipo
grazie in anticipo
Risposte
Per Luca.Lussardi: siccome sono allo stesso tempo ignorante e curoso, mi puoi charire un dubbio.
Hai detto che se si usa la definizione di limite che poggia sul punto aderente allora anche il limite nel punto isolato ha senso e vale proprio $f(x_0)$: puoi spiegarmi perchè ai liceali si insegna che in un punto isolato il limte non c'è? cioè, che cosa comporta a livello teorico rifare la definzione d limite sui punti di accumulazione o sui punti aderenti (a proposito: che è un punto aderente?)? è per caso una questione d topologe o roba simle?
Grazie per la pazienza.
Hai detto che se si usa la definizione di limite che poggia sul punto aderente allora anche il limite nel punto isolato ha senso e vale proprio $f(x_0)$: puoi spiegarmi perchè ai liceali si insegna che in un punto isolato il limte non c'è? cioè, che cosa comporta a livello teorico rifare la definzione d limite sui punti di accumulazione o sui punti aderenti (a proposito: che è un punto aderente?)? è per caso una questione d topologe o roba simle?
Grazie per la pazienza.
In realta' va detto che io non ho mai conosciuto qualcuno (a parte i miei compagni di studi) che in Analisi 1 ha studiato la definizione di limite come l'ho studiata io; credo che fosse un vezzo di Ennio DeGiorgi che apprese da L.Schwartz, e che passo' al suo studente Degiovanni che poi fu il mio professore di Analisi all'Universita'.
Anzitutto dato un insieme $E$ in $\RR$ un punto $x$ e' aderente ad $E$ se ogni intorno di $x$ interseca $E$. Detto cio' diamo la definizione di limite per una funzione $f : E \to \RR$ in un punto $x_0$ aderente ad $E$. $l$ e' il limite di $f$ per $x$ che tende ad $x_0$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui per ogni $x \in E \cap (x_0-\delta,x_0+\delta)$ si ha $|f(x)-l|<\varepsilon$.
La sola cosa che differenzia questa definizione da quella usuale e' che qui permettiamo ad $x$ di essere eventualmente uguale ad $x_0$, cosa che invece non si permette nella definizione piu' classica. Chiaramente le cose cambiano: ad esempio secondo tale definizione la funzione $f(x)=0$ per $x \ne 0$ e $f(0)=1$ non ammette limite per $x \to 0$.
Si osserva subito che se $x_0$ e' un punto isolato per $E$ allora $f$ ammette limite per $x \to x_0$ e si ha $l=f(x_0)$. Inoltre se $f$ ammette limite $l$ per $x \to x_0$ e $x_0 \in E$ allora si ha ancora $l=f(x_0)$.
Ci sono vari motivi che mi spingono a preferire tale definizione invece di quella "classica": anzitutto vale per tutti i punti aderenti, poi rende piu' semplici parecchie dimostrazioni sul calcolo dei limiti, e' del tutto equivalente alla continuita', cosa che invece non e' la definizione classica, visto che in tal caso bisogna assumere $x_0$ punto di accumulazione. Infine la definizione data di limite e' del tutto equivalente al limite di successioni: $f$ ammette limite $l$ per $x \to x_0$ se e solo se per ogni $x_n \to x_0$ si ha $f(x_n) \to l$. Quest'ultima proprieta' e' molto comoda, poiche' permette di dare una definizione alternativa al limite di funzioni appoggiandosi alla definizione piu' semplice di limite di successione.
Anzitutto dato un insieme $E$ in $\RR$ un punto $x$ e' aderente ad $E$ se ogni intorno di $x$ interseca $E$. Detto cio' diamo la definizione di limite per una funzione $f : E \to \RR$ in un punto $x_0$ aderente ad $E$. $l$ e' il limite di $f$ per $x$ che tende ad $x_0$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui per ogni $x \in E \cap (x_0-\delta,x_0+\delta)$ si ha $|f(x)-l|<\varepsilon$.
La sola cosa che differenzia questa definizione da quella usuale e' che qui permettiamo ad $x$ di essere eventualmente uguale ad $x_0$, cosa che invece non si permette nella definizione piu' classica. Chiaramente le cose cambiano: ad esempio secondo tale definizione la funzione $f(x)=0$ per $x \ne 0$ e $f(0)=1$ non ammette limite per $x \to 0$.
Si osserva subito che se $x_0$ e' un punto isolato per $E$ allora $f$ ammette limite per $x \to x_0$ e si ha $l=f(x_0)$. Inoltre se $f$ ammette limite $l$ per $x \to x_0$ e $x_0 \in E$ allora si ha ancora $l=f(x_0)$.
Ci sono vari motivi che mi spingono a preferire tale definizione invece di quella "classica": anzitutto vale per tutti i punti aderenti, poi rende piu' semplici parecchie dimostrazioni sul calcolo dei limiti, e' del tutto equivalente alla continuita', cosa che invece non e' la definizione classica, visto che in tal caso bisogna assumere $x_0$ punto di accumulazione. Infine la definizione data di limite e' del tutto equivalente al limite di successioni: $f$ ammette limite $l$ per $x \to x_0$ se e solo se per ogni $x_n \to x_0$ si ha $f(x_n) \to l$. Quest'ultima proprieta' e' molto comoda, poiche' permette di dare una definizione alternativa al limite di funzioni appoggiandosi alla definizione piu' semplice di limite di successione.
E un normale studente che inizia adesso università (come me, tanto per fare un esempio) quanti anni avrebbe dovuto aspettare prima di incontrare questa definizione, se non gliela avresti gentilmente fornita tu?
Forse non la vedrai mai, che io sappia nessuno la fa cosi', a meno che tu non venga a studiare Matematica a Brescia.
X Luca Lussardi:
Mi inchino di fronte all'autorità dei nomi che hai citato, e senza dubbio questa definizione (prima volta che la sento per i punti aderenti, non solo di accumulazione) ha i suoi vantaggi, tuttavia per questa funzione:
$f(x)=0$ se $x!=0$
$f(x)=1$ se $x=0$
esiste il limite in senso classico per $x to 0$ e vale 0, mentre non esiste nel senso che hai detto tu.
Ovviamente non so quanto la cosa può disturbare...
Mi inchino di fronte all'autorità dei nomi che hai citato, e senza dubbio questa definizione (prima volta che la sento per i punti aderenti, non solo di accumulazione) ha i suoi vantaggi, tuttavia per questa funzione:
$f(x)=0$ se $x!=0$
$f(x)=1$ se $x=0$
esiste il limite in senso classico per $x to 0$ e vale 0, mentre non esiste nel senso che hai detto tu.
Ovviamente non so quanto la cosa può disturbare...
Infatti perche' dovrebbe disturbarti?
Purtropp non studierò a Brescia ma a Napoli.
Ehi, Wizard, ma studi matematica a Napoli? Anche io mi sono laureato lì in matematica...
Dimmi un po' chi hai come professori? (magari mi faccio un'idea...)
Forse ci incontreremo, dato che tenterò il dottorato
Dimmi un po' chi hai come professori? (magari mi faccio un'idea...)
Forse ci incontreremo, dato che tenterò il dottorato
"zorn":
Ehi, Wizard, ma studi matematica a Napoli? Anche io mi sono laureato lì in matematica...
Dimmi un po' chi hai come professori? (magari mi faccio un'idea...)
Forse ci incontreremo, dato che tenterò il dottorato
Non ho la più pallida idea di chi saranno i miei professori...ancora non mi sono iscritto
Tu chi ha avuto come docenti?
Com'è fare matematica lì?
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