Continuità
Salve a tutti, sono nuovo.
Volevo chiedere se qualcuno fosse in grado di risolvere un esercizio riguardo la continuità di una funzione:
Discutere la continuità della funzione
$f(x) = (((sin x)/x)-1) / (\alpha arctan(x^2))$ se x $!=$ 0
f(x) = 1 se x = 0
in x = 0, al variare di α ∈ R \ {0}.
Volevo chiedere se qualcuno fosse in grado di risolvere un esercizio riguardo la continuità di una funzione:
Discutere la continuità della funzione
$f(x) = (((sin x)/x)-1) / (\alpha arctan(x^2))$ se x $!=$ 0
f(x) = 1 se x = 0
in x = 0, al variare di α ∈ R \ {0}.
Risposte
Una funzione $f$ si dice continua in $x_0$ appartenente al suo dominio se vale l'uguaglianza:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $$
Nel tuo caso quindi....?
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $$
Nel tuo caso quindi....?
Per studiare per quali \(\alpha \neq 0 \):
\[ f(x) = \left \{ \begin{array} {lr} \frac{\frac{\sin(x)}{x} -1}{\alpha \arctan \left (x^2 \right) }, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{array} \right. \in \mathcal {C} (0) \]
puoi provare a studiare quando:
\[ \lim_{x \to 0} { \frac{\frac{\sin(x)}{x} -1}{\alpha \arctan \left (x^2 \right) } } = 1 \]
Edit: quando ho finito di scrivere il messaggio di sono accorto che era stata data nel frattempo una risposta. Questa la lascio più che altro per il testo.
\[ f(x) = \left \{ \begin{array} {lr} \frac{\frac{\sin(x)}{x} -1}{\alpha \arctan \left (x^2 \right) }, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{array} \right. \in \mathcal {C} (0) \]
puoi provare a studiare quando:
\[ \lim_{x \to 0} { \frac{\frac{\sin(x)}{x} -1}{\alpha \arctan \left (x^2 \right) } } = 1 \]
Edit: quando ho finito di scrivere il messaggio di sono accorto che era stata data nel frattempo una risposta. Questa la lascio più che altro per il testo.
Sisi, la definizione di continuità la so e anche come si svolge un esercizio di questo tipo.
Il problema è proprio lo svolgimento della funzione con l'alfa che mi mette in difficoltà.
Ciò che dovrei fare è il limite di x che tende a 0 da destra e da sinistra in modo da vedere se è 1 oppure un punto di discontinuità, ma non so come procedere a causa dell'alfa.
Il problema è proprio lo svolgimento della funzione con l'alfa che mi mette in difficoltà.
Ciò che dovrei fare è il limite di x che tende a 0 da destra e da sinistra in modo da vedere se è 1 oppure un punto di discontinuità, ma non so come procedere a causa dell'alfa.
\(\alpha\) la tratti come una costante, tanto che puoi tirarla fuori dal limite e svolgerlo senza nemmeno considerarla.
Eventualmente ci sarà un \(\alpha\) (\(\alpha=-\frac{1}{6}\)) tale che la funzione sia continua.
Eventualmente ci sarà un \(\alpha\) (\(\alpha=-\frac{1}{6}\)) tale che la funzione sia continua.
Nel caso io abbia un altro esercizio sempre riguardo alla continuità senza possibilità di non considerare l'alfa?
$f(x) = (2+x^2)^\alpha $ se x$<=$0
$f(x) = (log(1+(sin(2x))^2))/arctan x^\alpha $ se x$>$0
L'esercizio di prima comunque esce 0/0. Bisogna derivare numeratore e denominatore con De L'Hopital?
Chiedo scusa le mille domande tutte di getto ma vorrei capire bene come trattare questo tipo di esercizi.
Grazie
$f(x) = (2+x^2)^\alpha $ se x$<=$0
$f(x) = (log(1+(sin(2x))^2))/arctan x^\alpha $ se x$>$0
L'esercizio di prima comunque esce 0/0. Bisogna derivare numeratore e denominatore con De L'Hopital?
Chiedo scusa le mille domande tutte di getto ma vorrei capire bene come trattare questo tipo di esercizi.
Grazie
"Andrea@BS":Abbiamo potuto non considerare \(\alpha\) perché è una costante (o, per dir meglio, un parametro).
Nel caso io abbia un altro esercizio sempre riguardo alla continuità senza possibilità di non considerare l'alfa?
"Andrea@BS":
L'esercizio di prima comunque esce 0/0. Bisogna derivare numeratore e denominatore con De L'Hopital?
Sì, puoi utilizzare de l'Hôpital. Ti consiglio di partire da \(\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}-x}{x\arctan{x^2}}\), sfruttando la regola due volte.
"Andrea@BS":Figurati!
Chiedo scusa le mille domande tutte di getto ma vorrei capire bene come trattare questo tipo di esercizi.
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo