Consiglio su integrale per sostituzione

[Marco Beta2]

Buongiorno a tutti, vorrei chiedervi un consiglio su un integrale da risolvere con la sostituzione, tecnica che ho appena iniziato e alcune cose mi sono poco chiare; l'integrale è il seguente:

$int (x+2)/(root (3)(x)) dx$

e ho pensato di effettuare la seguente sostituzione:

$t = root (3)(x) $
$x = t^3$
$dt= 1/(3root (3)(x^2)) dx$

il passaggio successivo verrebbe:

$3 int t^3 +2 dt $

Attendo vostri aggiornamenti, grazie a tutti

[Brancaleone1]

Beh l'hai praticamente risolto...

$3 int(t^3+2) \text(d)t=3 int t^3 \text(d)t+ 6 int \text(d)t$

Dopo averli calcolati, ritorni alla sostituzione e ottieni il risultato

[ciampax]

Senza sostituzione:
$$\int\frac{x+2}{x^{1/3}}\ dx=\int\left(\frac{x}{x^{1/3}}+\frac{2}{x^{1/3}}\right)\ dx=\int\left(x^{2/3}+2x^{-1/3}\right)\ dx=\frac{3}{5} x^{5/3}+3x^{2/3}+c$$

[Lo_zio_Tom]

"Brancaleone":Beh l'hai praticamente risolto...

$3 int(t^3+2) \text(d)t=3 int t^3 \text(d)t+ 6 int \text(d)t$

...direi praticamente risolto male visto che, oltre ad essere un procedimento inutilmente complicato (ciampax docet), ha dimenticato un $t$ nella sostituzione

[Marco Beta2]

"ciampax":Senza sostituzione:
\[ \int\frac{x+2}{x^{1/3}}\ dx=\int\left(\frac{x}{x^{1/3}}+\frac{2}{x^{1/3}}\right)\ dx=\int\left(x^{2/3}+2x^{-1/3}\right)\ dx=\frac{3}{5} x^{5/3}+3x^{2/3}+c \]

Grazie per la risposta ciampax

"Brancaleone":Beh l'hai praticamente risolto...

$ 3 int(t^3+2) \text(d)t=3 int t^3 \text(d)t+ 6 int \text(d)t $

Dopo averli calcolati, ritorni alla sostituzione e ottieni il risultato

Grazie Brancaleone per la tua risposta

"tommik":[quote="Brancaleone"]Beh l'hai praticamente risolto...
...

...direi praticamente risolto male visto che, oltre ad essere un procedimento inutilmente complicato (ciampax docet), ha dimenticato un $ t $ nella sostituzione[/quote]

Grazie per la tua risposta tommik, si lo so che è un procedimento lungo per 'esercizio in questione però sto seguendo il libro e me lo porta nella sezione della sostituzione, è un esercizio abbastanza semplice utile per capire il meccanismo...
Mi potresti dire dove ho mancato la $t$?

[Lo_zio_Tom]

"Marco Beta2":
Mi potresti dire dove ho mancato la $t$?

ponendo (correttamente come hai impostato tu)

$x=t^3$

differenzi entrambi i membri ottenendo

$dx=3t^2dt$

sostituisci nell'integrale di partenza e trovi

$int(t^3+2)/t 3t^2dt=int3t(t^3+2)dt$

prosegui e trovi la soluzione corretta

[Marco Beta2]

"tommik":[quote="Marco Beta2"]
Mi potresti dire dove ho mancato la $t$?

ponendo (correttamente come hai impostato tu)

$x=t^3$

differenzi entrambi i membri ottenendo

$dx=3t^2dt$

sostituisci nell'integrale di partenza e trovi

$int(t^3+2)/t 3t^2dt=int3t(t^3+2)dt$

prosegui e trovi la soluzione corretta[/quote]

Ah ecco, avevo sbagliato $dx=3t^2dt$
Di seguito lascio la mia soluzione, dategli un'occhiata così, se dovesse servire a qualche altro utente, potrà seguire passo passo lo svolgimento

$int(t^3+2)/t 3t^2dt=int3t(t^3+2)dt = 3t^4+6t = 3 (root(3) x)^4 + 6 root (3) x = 3 (root(3) x^4) + 6 root (3) x +c $

grazie per le correzioni

[Lo_zio_Tom]

non è affatto giusta.....hai dimenticato solo [si fa per dire] di integrare....

non è $3t^4+6t$ ma $int(3t^4+6t )dt$ e non è proprio la stessa cosa

[Marco Beta2]

"tommik":non è affatto giusta.....hai dimenticato solo [si fa per dire] di integrare....

non è $3t^4+6t$ ma $int(3t^4+6t )dt$ e non è proprio la stessa cosa

Hai più che ragione, erroraccio mio di distrazione e superficialità

Dovrebbe essere definitiva:
$ int(t^3+2)/t 3t^2dt=int3t(t^3+2)dt = int (3t^4+6t) dt = 3/5 t^5 + 6/2 t^2 = 3/5(root(3) x)^5 + 6/3 (root (3) x)^2 = 3/5 root(3) x^5 + 3 root (3) x^2 +c $