Consigli dimostrazione limiti successioni

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Buongiorno a tutti, sono un nuovo iscritto, mi chiamo Lorenzo. Cercando su internet mi sono imbattuto in questo interessantissimo forum (complimenti a tutti gli iscritti!), e da appassionato di matematica non ho potuto fare a meno di parteciparvi in prima persona.

Approfitto del mio primo post per proporvi una breve dimostrazione che ho fatto come esercizo. In particolare vorrei sapere se a Voi sembra giusta o se manchi qualcosa.

Ecco il testo:
Sia {a[size=59]n[/size]} una successione tale che lim (a[size=59]n[/size])=L (L appartiene all'insieme dei reali). Per ogni [size=59]n[/size] naturale i termini della successione stanno in un intervallo del tipo [a,b] con a e b reali.


Dim:
Sfrutto il teorema di limitatezza http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_limitatezza .

Mantenendo le stesse lettere del link posso dire che ponendo -K=b e +k=a la succesione è sempre compresa in questo intervallo chiuso e limitato.


Secondo me nella penultima riga, quando wikipedia scrive che |f(x)|Massimo dell'insieme delle distanze che ogni termine ha dall'asse delle ascisse, qualche termine della successione potrebbe anche essere = K, quindi andrebbe tolta la disuguaglianza stretta e la formulazione giusta sarebbe |f(x)|<=K.
(In questo caso allora l'intervallo della mia dimostrazione sarebbe veramente chiuso e limitato).

Che ne pensate? Saluti, Lorenzo :)

PS: per inciso ricordo come tutti saprete che il massimo di un insieme è per definizione un elemento appartenente all'insieme stesso.

Risposte
fu^2
forse non ho capito bene il tuo quesito.

Tu vioi dimostrare che se [tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=L\in \mathbb{R}[/tex] allora esistono [tex]a,b \in \mathbb{R}[/tex] tali che [tex]\forall n\in \mathbb{N}[/tex], [tex]a_n \in [a,b][/tex]?

Questo è falso, prova a prendere come successione [tex](artan(n))_{n\geq 1}[/tex]

Studente Anonimo
Studente Anonimo
L'esercizio è esattamente come lo hai scritto tu.
Me lo ha dato il mio professore di analisi, ed eratratto da un vecchio quesito d'esame.

dato che l'enunciato afferma"dimostrare che" mi fa strano possa essere una proposizione falsa :?

a_g_t
Come falso? Tutta successione di numeri reali convergente a un numero reale è limitata!

(e arctan(n) è in [0,pi/2])

scusa... ho editato... mi sono incasinata!

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Il limite per n che tende all'infinito della successione arctan(n) è pi/2, quindi appartiene ai numeri reali. In questo caso i termini della successione sono tutti contenuti nell'intervallo [-pi/2, +pi/2]. Ovviamente questo NON è il più piccolo intarvallo possibile.

a_g_t
@anonymous_ed8f11, prova a fare la dimostrazione senza utilizare il teorema di limitatezza... perchè l'esercizio consiste esattamente a dimostrare il teorema di limitatezza, gli enunciati sono equivalenti! Non hai dimostrato niente!

Se vuoi ti aiuto, prova a usare la definizione di limite di una successione. Prendi $ \epsilon = 1 $ per esempio, esiste un $n_0$ tale che... e poi usa la seconda disuguagalianza triangolare... per ottenere un maggiorante per tutti gli elementi per n>= n0. Rimangono un numero finito di elementi della successione ma prendi il massimo di loro in modulo e del maggiorante ottenuto prima... vedi?

Se non lo vedi te lo scrivo al dettaglio

a_g_t
Ma perchè parli del più piccolo intervallo possibile? Devi provare che la successione è limitata (senza usare il teorema di limitatezza ovviamente perchè come ho detto è lo stesso solo che prendendo K=max(|a|,|b|).

Studente Anonimo
Studente Anonimo
In pratica dovrei fare la classica dimostrazione del teorema di limitatezza, aggiungendo alla fine il passaggio che ho descritto nel primo post per definire l'intervallo.

In effetti mi sembrava un po tautologica come dimostrazione, non mi ero reso conto che stavo usando nella dimostrazione un'altra formulazione dello stesso teorema che stavo andando a dimostrare :-D (che figuraccia :oops: )


Ad ogni modo la dimostrazione che hai citato la conosco molto bene, sono stato così tanto tempo a capirla profondamente che ormai me la ricordo praticamente a memoria :lol:

Cosa mi dici invece riguardo alla questione dalla disuguaglianza che ho posto alla fine del mio primo post?


Vi ringrazio tutti per l'aiuto prezioso che mi date, Lorenzo

a_g_t
Beh, nessuno ha detto che K deva essere il massimo... Immagina che hai trovato un maggiorante L: |f(x)|<=L per ogni x. Prendi K=L+1. Ti serve. Abbiamo |f(x)|
Non è importante in questa situazione se la disuguaglianza è stretta o no, credemi. Molte volte non importa formulare $ < \epsilon $ o $ \le \epsilon $, $ > n_0 $ o $ \ge n_0 $, etc


E per esempio la successione arcotangente di cui parlava fu^2, certo che è in [0, pi/2], si avvicina tutto quello che vuoi a pi/2 ma non ci arriva mai... Ma è limitata, nessuno ha chiesto di provare se ha un massimo (infatti non l'ha, penso che è per quello che fu^2 non ha capito il tuo esercizio)

Fioravante Patrone1
Comunque su wiki la dimostrazione del teorema non era corretta.

Prova solo il "minore o uguale", e @anonymous_ed8f11 ha intuito giusto (ed è facile fare un esempio in proposito).

Ho corretto su wiki:
http://it.wikipedia.org/w/index.php?tit ... d=20062549

PS: l'errore c'era dal 2006...

PPS: io limerei l'enunciato di limitatezza locale per funzioni. E voi?

a_g_t
Si, quello l'avevo visto anch'io, ma Lorenzo parlava del enunciato del teorema per funzioni non di quello delle successione, no? Sono stata tentata di parlane ma alla fine non l'ho fatto perchè l'enunciato NON era sbagliato, solo che nella dimostrazione bisognava prendere K uguale alla K che è scritta li più 1, per esempio. E secondo me bisogna capire che veramente non è importante di formularlo in uno o altro modo.

Fioravante Patrone1
"a_g_t":
Si, quello l'avevo visto anch'io, ma Lorenzo parlava del enunciato del teorema per funzioni non di quello delle successione, no?

NO!
Basterebbe che tu leggessi il suo primo post. O magari anche solo il titolo del suo post: Consigli dimostrazione limiti successioni.

Fioravante Patrone1
"a_g_t":
E secondo me bisogna capire che veramente non è importante di formularlo in uno o altro modo.

Questo lo so benissimo anch'io. Uno può provare un teorema con il "$<$" e anche uno col "$\le$", ovviamente.
Ma il punto era ed è un altro.
Se io enuncio un teorema col "$<$", devo provare quel teorema. Se provo il "$\le$" mi auguro sinceramente che tu convenga con me che non ho dimostrato un bel niente.

a_g_t
Come no? Lorenzo parla della PENULTIMA RIGA nella wikipedia. E parla di f(x), non di $a_n$. Certo che la dimostrazione la voleva per successioni, lo so, ho letto il titolo e il suo primo post, li ho parlato della demostrazione per successioni...

dissonance
"Fioravante Patrone":
PPS: io limerei l'enunciato di limitatezza locale per funzioni. E voi?
Anche io. La cosa importante sono le successioni, il resto fa solo confusione.

a_g_t
Io avevo capito, non so se mi sbaglio, che Lorenzo pensava che il teorema non era vero così <, che si era un po' incasinato, parlava di massimo, di intervallo il più piccolo possibili... E volevo solo farli capire che invece si era vero, che era lo stesso. Certo che la gente che si è già laureata lo sa benissimo. Bisogna vedere dove è l'esenziale del teorema, secondo me, non so...

Fioravante Patrone1
"dissonance":
[quote="Fioravante Patrone"]PPS: io limerei l'enunciato di limitatezza locale per funzioni. E voi?
Anche io. La cosa importante sono le successioni, il resto fa solo confusione.[/quote]
Io intendevo un'altra cosa. Infatti ho usato il termine "limerei", non "eliminerei".

Fioravante Patrone1
"a_g_t":
Come no? Lorenzo parla della PENULTIMA RIGA nella wikipedia. E parla di f(x), non di $a_n$. Certo che la dimostrazione la voleva per successioni, lo so, ho letto il titolo e il suo primo post, li ho parlato della demostrazione per successioni...

A lui interessa il teorema sulle successioni.

Certo che se gli utenti lorenzo90 e a_g_t scrivessero in un italiano accettabile ci sarebbero meno equivoci.

[mod="Fioravante Patrone"]Dal regolamento:
3.6 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente.[/mod]

a_g_t
Secondo me nella penultima riga, quando wikipedia scrive che |f(x)|

funzioni o successioni?

Fioravante Patrone1
Successioni, ovviamente.

Il teorema sulle funzioni, enunciato nella pagina di wiki, è corretto, per quanto "limabile".
Il cuore del problema era la dim per le successioni. E' lì che c'era il problema sulla dimostrazione, che non era corretta (prima del mio intervento nella pagina).

Ed è lì che lorenzo90 concentra il suo commento, vedi il bold blu nella citazione:
"anonymous_ed8f11":
Secondo me nella penultima riga, quando wikipedia scrive che |f(x)|Massimo dell'insieme delle distanze che ogni termine ha dall'asse delle ascisse, qualche termine della successione potrebbe anche essere = K, quindi andrebbe tolta la disuguaglianza stretta e la formulazione giusta sarebbe |f(x)|<=K.
(In questo caso allora l'intervallo della mia dimostrazione sarebbe veramente chiuso e limitato).

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Innanzitutto Vi ringrazio sia per l'interessamento, che per la correzione su wikipedia.

In secondo luogo devo ammettere che avete ragione un po tutti: quando mi sono accorto dell'errore mi riferivo all'enunciato de "Il teorema di limitatezza per successioni di numeri reali ", che giustamente è stato corretto anche su wiki.
Poi trascrivendo sul forum causa la fretta e forse anche la stanchezza (saranno state le 23 quando ho postato), per distrazione ho indicato il K della penultima riga invece che quello relativo alle successioni.

Chiedo quindi scusa per la confusione che ho creato, ma vi assicuro che ero in buona fede. Ad ogni modo non mi pare vero di aver corretto la mitica Wikipedia :-D. Finalmente dopo tanti anni che la uso sono riuscito anche io a darle un microscopico contributo.

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