Considerazioni sulle equazioni e sulle funzioni
Salve ragazzi, qualcuno potrebbe seguire questo mio discorso sulle funzioni e dirmi se è sensato?
Io sto cercando di rispondere alla domanda: perché le equazioni del tipo $y=8x$, $y=2e^x$, $z=2x+4y^2$ e così via vengono confuse con le funzioni $f(x)=8x$, $g(x)=2e^x$, $h(x,y)=2x+4y^2$? Queste sono equazioni e non funzioni!
Mi spiego meglio.
In Analisi Matematica si definisce funzione una qualunque legge che, dati due insiemi A e B, associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Quello di funzione è dunque un concetto molto generale, applicabile non solo ai numeri: io però supporrò che A e B siano due insiemi numerici. In questo caso, un "oggetto" che rispetta una definizione di questo tipo è una quantità variabile che varia al variare di certe variabili indipendenti. Per esempio, $8e^x$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, ed in particolare è una funzione, cioè è un "macchinario" che, preso come input un certo numero, restituisce un certo output. Ancora, $2x^2+3y$ è quantità variabile che varia al variare della $x$ e della $y$, $2x+3y+8z$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, della $y$ e della $z$, e cosi via. Insomma, quello di funzione è un concetto che rappresenta l'evoluzione del concetto di numero (quantità costante). Il numero è una quantità costante, che mal si presta a descrivere fenomeni che variano al variare di certe variabili.
Veniamo ora alle equazioni. Di equazioni ne esistono di tutti i tipi. Per esempio $x^2+3x=8x^3$ è un'equazione nella variabile $x$, $x+3y=2x$ è un'equazione nelle variabili $x$ ed $y$ e cosi via. Risolvere un'equazione significa trovare i valori che devono assumere le variabili in modo tale da soddisfarla, cioè da generare un'identità. Detto questo, è importante notare il fatto che un'equazione, qualunque essa sia, ha per "ingredienti" delle funzioni, cioè delle quantità variabili. Per esempio, per costruire l'equazione $x^2+3x=8x^3$ si prende una funzione $f(x)=x^2+3x$, una funzione $g(x)=8x^3$ e si impone che sia $f(x)=g(x)$. Per costruire l'equazione $x+3y=2x$ si prende una $f(x,y)=x+3y$, una $g(x)=2x$ e si pone $f(x,y)=g(x)$ e cosi via. Insomma, i singoli membri di un'equazione sono delle quantità variabili dipendenti da certe variabili indipendenti, cioè sono delle funzioni. Le funzioni rappresentano, come ho già detto prima, gli ingredienti di una equazione. Due funzioni messe in una relazione di uguaglianza definiscono un'equazione. Le equazioni sono molto importanti, infatti attraverso di esse sono formulate tutte le leggi fisiche. Per esempio, la legge oraria di un punto può essere un'equazione del tipo $x=3t-5$, il legame tra pressione, volume e temperatura di un gas perfetto è espresso da un'equazione del tipo $P=nRT/V$ e cosi via. Veniamo ora alla domanda iniziale: perché le equazioni del tipo $y=3x$, $z=3x+2y$, $P=nRT/V$ vengono confuse con le funzioni $f(x)=3x$, $g(x,y)=3x+2y$, $h(T,V)=nRT/V$? Risposta: se consideriamo per esempio l'equazione in tre variabili $z=3x+2y$, abbiamo che i suoi "ingredienti", come per tutte le equazioni, sono due funzioni, cioè due quantità variabili: $f(z)=z$ e $g(x,y)=3x+2y$ tali che $f(z)=g(x,y)$. Perchè un'equazione scritta in questo modo viene impropriamente confusa con la funzione $g(x,y)=3x+2y$, oggetto che non è una equazione, ma solo un numero variabile? La risposta a tale domanda sta nel fatto che, quando un'equazione è scritta in modo tale che essa sia esplicitata rispetto ad una variabile, si verifica la seguente circostanza. La funzione che compone il secondo membro dell'equazione è una $g(x,y)=3x+2y$, ed ha una certa immagine, cioè assume un certo insieme di valori al variare di $x$ ed $y$. Inoltre, la funzione $f(z)=z$, in virtù del segno di uguaglianza, prende in input gli output di $g(x,y)$ e non li modifica. Quindi, in equazioni della forma $z=3x+2y$, o anche della forma $y=8e^x$ e cosi via entrambe le funzioni componenti l'equazione hanno le stesse uscite e dunque equazioni di tal tipo possono essere confuse con la funzione al primo membro. E' cosi spiegato il motivo per cui si fa confusione tra l'equazione $y=8x$ e la funzione $f(x)=8x$: i membri componenti l'equazione $y=8x$ sono una funzione $g(y)=y$ ed una funzione $f(x)=8x$ tali che $g(y)=f(x)$. Al variare della $x$, il secondo membro dell'equazione assume certi valori, uguali ai valori che assume il primo membro. Dunque, è evidente che in questi casi equazioni del tipo $z=3x+2y$ non aggiungono nulla rispetto a quanto già detto dalla funzione che compone il secondo membro dell'equazione, cioè $g(x,y)=3x+2y$. In questi casi, e solo in questi casi, l'equazione può essere "riassunta" completamente da una delle funzioni componenti, cioè $g(x,y)=3x+2y$, in quanto il grafico di tale funzione mi dice già tutto sull'equazione, dal momento che osservandolo conosco tutte le soluzioni dell'equazione. Notiamo infine che per equazioni del tipo $x^2=x+y$, costituite dalle funzioni $f(x)=x^2$ e $g(x,y)=x+y$ questo discorso non vale; infatti, conoscere il grafico di una funzione non permette di sapere tutte le soluzioni.
Scusate se sono stato troppo lungo, ma ci tenevo ad essere preciso e non trascurare alcun dettaglio.
Io desidero solo capire, non chiedo altro. Questa questione non è affrontata da alcun libro di testo, né professori.
Due sono le cose: o è una questione elementare, ovvia come versare l'acqua nel bicchiere, oppure nessuno la reputa importante. Eppure vedo che da molte parti si passa con disinvoltura da espressioni del tipo $y=8x$, ad espressioni del tipo $f(x)=8x$, cioè da equazioni a funzioni, il che mi fa pensare che siano equivalenti. Il mio testo delle superiori scriveva tutte le funzioni come delle equazioni, mentre il mio libro di Analisi come delle quantità variabili e basta, confondendole però spesso con le equazioni sopra citate.
Io non studio per l'università, o per l'esame. Io studio per la vita. Gli esami che molti definiscono la "bestia nera" dei primi anni di ingegneria, li ho superati, e con buoni voti. Di certo però non è nel mio spirito archiviare la questione solo perchè l'esame l'ho già fatto. Spero di non aver detto stronzate e di guadagnare la stima dei matematici che leggono queste mie riflessioni.
Un'ultima considerazione: per voi matematici questa questione potrà essere banale. Non lo è però per me, che sono un aspirante ingegnere. Noi aspiranti ingegneri tiriamo avanti con le conoscenze di Algebra accumulate nelle scuole superiori, e null'altro della Matematica ci viene detto al di fuori dell'Analisi. Non ho mai letto un testo di Algebra universitario, quindi tutto quello che ho scritto sulle equazioni l'ho tirato fuori dalla mia testa e non so se sia corretto.
Io mi sforzo di far si che la Matematica per me non sia qualcosa di meccanico, che si fa cosi perchè cosi mi è stato sempre detto. Spero abbiate capito la mia "filosofia" ed il mio modo di approcciarmi allo studio.
Dunque cercate di essere comprensivi e di non bastonarmi troppo
.
Grazie mille e buon fine settimana!
Io sto cercando di rispondere alla domanda: perché le equazioni del tipo $y=8x$, $y=2e^x$, $z=2x+4y^2$ e così via vengono confuse con le funzioni $f(x)=8x$, $g(x)=2e^x$, $h(x,y)=2x+4y^2$? Queste sono equazioni e non funzioni!
Mi spiego meglio.
In Analisi Matematica si definisce funzione una qualunque legge che, dati due insiemi A e B, associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Quello di funzione è dunque un concetto molto generale, applicabile non solo ai numeri: io però supporrò che A e B siano due insiemi numerici. In questo caso, un "oggetto" che rispetta una definizione di questo tipo è una quantità variabile che varia al variare di certe variabili indipendenti. Per esempio, $8e^x$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, ed in particolare è una funzione, cioè è un "macchinario" che, preso come input un certo numero, restituisce un certo output. Ancora, $2x^2+3y$ è quantità variabile che varia al variare della $x$ e della $y$, $2x+3y+8z$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, della $y$ e della $z$, e cosi via. Insomma, quello di funzione è un concetto che rappresenta l'evoluzione del concetto di numero (quantità costante). Il numero è una quantità costante, che mal si presta a descrivere fenomeni che variano al variare di certe variabili.
Veniamo ora alle equazioni. Di equazioni ne esistono di tutti i tipi. Per esempio $x^2+3x=8x^3$ è un'equazione nella variabile $x$, $x+3y=2x$ è un'equazione nelle variabili $x$ ed $y$ e cosi via. Risolvere un'equazione significa trovare i valori che devono assumere le variabili in modo tale da soddisfarla, cioè da generare un'identità. Detto questo, è importante notare il fatto che un'equazione, qualunque essa sia, ha per "ingredienti" delle funzioni, cioè delle quantità variabili. Per esempio, per costruire l'equazione $x^2+3x=8x^3$ si prende una funzione $f(x)=x^2+3x$, una funzione $g(x)=8x^3$ e si impone che sia $f(x)=g(x)$. Per costruire l'equazione $x+3y=2x$ si prende una $f(x,y)=x+3y$, una $g(x)=2x$ e si pone $f(x,y)=g(x)$ e cosi via. Insomma, i singoli membri di un'equazione sono delle quantità variabili dipendenti da certe variabili indipendenti, cioè sono delle funzioni. Le funzioni rappresentano, come ho già detto prima, gli ingredienti di una equazione. Due funzioni messe in una relazione di uguaglianza definiscono un'equazione. Le equazioni sono molto importanti, infatti attraverso di esse sono formulate tutte le leggi fisiche. Per esempio, la legge oraria di un punto può essere un'equazione del tipo $x=3t-5$, il legame tra pressione, volume e temperatura di un gas perfetto è espresso da un'equazione del tipo $P=nRT/V$ e cosi via. Veniamo ora alla domanda iniziale: perché le equazioni del tipo $y=3x$, $z=3x+2y$, $P=nRT/V$ vengono confuse con le funzioni $f(x)=3x$, $g(x,y)=3x+2y$, $h(T,V)=nRT/V$? Risposta: se consideriamo per esempio l'equazione in tre variabili $z=3x+2y$, abbiamo che i suoi "ingredienti", come per tutte le equazioni, sono due funzioni, cioè due quantità variabili: $f(z)=z$ e $g(x,y)=3x+2y$ tali che $f(z)=g(x,y)$. Perchè un'equazione scritta in questo modo viene impropriamente confusa con la funzione $g(x,y)=3x+2y$, oggetto che non è una equazione, ma solo un numero variabile? La risposta a tale domanda sta nel fatto che, quando un'equazione è scritta in modo tale che essa sia esplicitata rispetto ad una variabile, si verifica la seguente circostanza. La funzione che compone il secondo membro dell'equazione è una $g(x,y)=3x+2y$, ed ha una certa immagine, cioè assume un certo insieme di valori al variare di $x$ ed $y$. Inoltre, la funzione $f(z)=z$, in virtù del segno di uguaglianza, prende in input gli output di $g(x,y)$ e non li modifica. Quindi, in equazioni della forma $z=3x+2y$, o anche della forma $y=8e^x$ e cosi via entrambe le funzioni componenti l'equazione hanno le stesse uscite e dunque equazioni di tal tipo possono essere confuse con la funzione al primo membro. E' cosi spiegato il motivo per cui si fa confusione tra l'equazione $y=8x$ e la funzione $f(x)=8x$: i membri componenti l'equazione $y=8x$ sono una funzione $g(y)=y$ ed una funzione $f(x)=8x$ tali che $g(y)=f(x)$. Al variare della $x$, il secondo membro dell'equazione assume certi valori, uguali ai valori che assume il primo membro. Dunque, è evidente che in questi casi equazioni del tipo $z=3x+2y$ non aggiungono nulla rispetto a quanto già detto dalla funzione che compone il secondo membro dell'equazione, cioè $g(x,y)=3x+2y$. In questi casi, e solo in questi casi, l'equazione può essere "riassunta" completamente da una delle funzioni componenti, cioè $g(x,y)=3x+2y$, in quanto il grafico di tale funzione mi dice già tutto sull'equazione, dal momento che osservandolo conosco tutte le soluzioni dell'equazione. Notiamo infine che per equazioni del tipo $x^2=x+y$, costituite dalle funzioni $f(x)=x^2$ e $g(x,y)=x+y$ questo discorso non vale; infatti, conoscere il grafico di una funzione non permette di sapere tutte le soluzioni.
Scusate se sono stato troppo lungo, ma ci tenevo ad essere preciso e non trascurare alcun dettaglio.
Io desidero solo capire, non chiedo altro. Questa questione non è affrontata da alcun libro di testo, né professori.
Due sono le cose: o è una questione elementare, ovvia come versare l'acqua nel bicchiere, oppure nessuno la reputa importante. Eppure vedo che da molte parti si passa con disinvoltura da espressioni del tipo $y=8x$, ad espressioni del tipo $f(x)=8x$, cioè da equazioni a funzioni, il che mi fa pensare che siano equivalenti. Il mio testo delle superiori scriveva tutte le funzioni come delle equazioni, mentre il mio libro di Analisi come delle quantità variabili e basta, confondendole però spesso con le equazioni sopra citate.
Io non studio per l'università, o per l'esame. Io studio per la vita. Gli esami che molti definiscono la "bestia nera" dei primi anni di ingegneria, li ho superati, e con buoni voti. Di certo però non è nel mio spirito archiviare la questione solo perchè l'esame l'ho già fatto. Spero di non aver detto stronzate e di guadagnare la stima dei matematici che leggono queste mie riflessioni.
Un'ultima considerazione: per voi matematici questa questione potrà essere banale. Non lo è però per me, che sono un aspirante ingegnere. Noi aspiranti ingegneri tiriamo avanti con le conoscenze di Algebra accumulate nelle scuole superiori, e null'altro della Matematica ci viene detto al di fuori dell'Analisi. Non ho mai letto un testo di Algebra universitario, quindi tutto quello che ho scritto sulle equazioni l'ho tirato fuori dalla mia testa e non so se sia corretto.
Io mi sforzo di far si che la Matematica per me non sia qualcosa di meccanico, che si fa cosi perchè cosi mi è stato sempre detto. Spero abbiate capito la mia "filosofia" ed il mio modo di approcciarmi allo studio.
Dunque cercate di essere comprensivi e di non bastonarmi troppo
.Grazie mille e buon fine settimana!
Risposte
Ummm, secondo me mi devo prendere un libro di Algebra di quelli che si usano nelle facoltà di Matematica e studiarmelo. Io non riesco ad andare avanti se non so in modo preciso come sono definite tutte le varie operazioni, le funzioni radice, esponenziale, potenza, goniometriche ecc...O meglio, posso andare avanti (come fanno molti) ma sarò sempre tormentato da dubbi. Tutte le cose preliminari che sono scritte sul libro di Analisi 1 mi sono definite definendo altre cose. Non riesco a leggere una definizione che parte da zero!!!
A me la matematica mi è stata insegnata come una cosa meccanica, senza la minima giustificazione. Se non colmo queste lacune io non riesco a procedere.
Scusa lo sfogo, ma non mi riesco a trattenere.
Ti ringrazio per quello che hai scritto, ma è (giustamente, visto che siamo su un forum) troppo sintetico ed io non riesco a capire.
Comunque, hai dato una letta al quartultimo post ti pagina 4?
Grazie!
A me la matematica mi è stata insegnata come una cosa meccanica, senza la minima giustificazione. Se non colmo queste lacune io non riesco a procedere.
Scusa lo sfogo, ma non mi riesco a trattenere.
Ti ringrazio per quello che hai scritto, ma è (giustamente, visto che siamo su un forum) troppo sintetico ed io non riesco a capire.
Comunque, hai dato una letta al quartultimo post ti pagina 4?
Grazie!
"lisdap":
Ummm, secondo me mi devo prendere un libro di Algebra di quelli che si usano nelle facoltà di Matematica e studiarmelo.
Beh, desisti.
Non troverai nulla di ciò che ti ho scritto... Tant'è vero che io queste cose le ho studiate in Analisi I e mai in Algebra.
"lisdap":
Io non riesco ad andare avanti se non so in modo preciso come sono definite tutte le varie operazioni, le funzioni radice, esponenziale, potenza, goniometriche ecc...O meglio, posso andare avanti (come fanno molti) ma sarò sempre tormentato da dubbi.
Ti fai troppe pippe mentali, lisdap.
Non ti serve a nulla sapere certe cose in maniera troppo formale (non serve nemmeno ai Matematici, pensa!).
Vai avanti a capire quello che è veramente importante di ciò che stai studiando, non ti fossilizzare sui "fondamenti".
"lisdap":
Tutte le cose preliminari che sono scritte sul libro di Analisi 1 mi sono definite definendo altre cose. Non riesco a leggere una definizione che parte da zero!!!
Nessuna definizione "parte da zero"; c'è sempre qualcosa che è indefinibile in Matematica.
Anche le definizioni che sembrano più primitive, più astratte, poggiano sempre e necessariamente su una base di "senso comune".
La bravura di un autore sta anche nel collocare al giusto livello l'asta del "senso comune", i.e. nello scegliere il modo giusto e più proficuo per dare le definizioni.
Mi verrebbe da chiederti che libro di Analisi I hai usato...
"lisdap":
A me la matematica mi è stata insegnata come una cosa meccanica, senza la minima giustificazione. Se non colmo queste lacune io non riesco a procedere.
Prenditela con te stesso, che non sei stato in grado di buttare la testa fuori dal sacco prima di aver passato l'esame di Analisi (che sarebbe potuto essere, se studiato a dovere e non a caso, una buona occasione di riscatto).
Questo dipende da una limitatezza culturale che ti porti dietro dalle scuole inferiori, alla quale ho accennato anche in post precedenti; nonché da una tua innata supponenza, che ti fa ritenere d'essere sempre nel giusto (almeno, fino a che ti arriva una batosta...).
Questi sono due aspetti caratteriali che devi sforzarti di limare.
"lisdap":
Comunque, hai dato una letta al quartultimo post ti pagina 4?
Sì, l'ho data.
Tutto abbastanza esatto; ma sembra una ricerca da prima superiore.
"gugo82":
Beh, desisti.
Non troverai nulla di ciò che ti ho scritto... Tant'è vero che io queste cose le ho studiate in Analisi I e mai in Algebra.
Su quale libro le hai studiate?
Hai a portata di mano il vecchio pagani salsa analisi 1? Dai un'occhiata all'indice dei capitoli 1 e 2. A me interessa soltanto approfondire tutti quei concetti. Non voglio sapere roba strana da matematici. Io voglio soltanto essere consapevole di come sono definiti in modo preciso i vari insiemi numerici e come sono definite le varie operazioni. Tempo fa lessi questi argomenti sui 2 capitoli del pagani salsa, ma l'esposizione era troppo sintetica per uno che non sapeva nulla di quelle cose. Cerco soltanto del materiale che tratti questi argomenti in maniera un pò dettagliata. Ora non riesco a trovare il post preciso, ma mi ricordo che Wizard mi aveva detto che per capire bene tutti gli argomenti che figurano nei primi due capitoli del pagani salsa mi dovevo prendere un libro di algebra, visto che il pagani salsa è un libro di analisi e giustamente è sintetico su queste faccende.
"gugo82":
Prenditela con te stesso, che non sei stato in grado di buttare la testa fuori dal sacco prima di aver passato l'esame di Analisi (che sarebbe potuto essere, se studiato a dovere e non a caso, una buona occasione di riscatto).
Questo dipende da una limitatezza culturale che ti porti dietro dalle scuole inferiori, alla quale ho accennato anche in post precedenti; nonché da una tua innata supponenza, che ti fa ritenere d'essere sempre nel giusto (almeno, fino a che ti arriva una batosta...).
Questi sono due aspetti caratteriali che devi sforzarti di limare.
Più che con me stesso, io mi scaglio contro la didattica. Come è possibile che ho superato un anno e mezzo fa Analisi 1 con 25 (allo scritto presi 29) quando poi faccio queste domande? A giudicare dalle domande che faccio è assurda questa cosa.
Questo perchè c'è qualcosa che non funziona da qualche parte.
"gugo82":
Sì, l'ho data.
Tutto abbastanza esatto; ma sembra una ricerca da prima superiore.
Ok grazie. E che fa che sembra una ricerca di prima superiore? Si parte dalle cose semplici prima, no?
Ritornando alla questione del forum, visto che mi hai confermato quello che ho scritto circa le funzioni, mi chiedo:
come è possibile che il concetto di funzione mi sia stato presentato per la prima volta solo al quinto liceo, quando invece tutta la matematica (anche l'algebra che si studia ai primi anni) è basata sul concetto di funzione?
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Beh, desisti.
Non troverai nulla di ciò che ti ho scritto... Tant'è vero che io queste cose le ho studiate in Analisi I e mai in Algebra.
Su quale libro le hai studiate?[/quote]
Le definizioni di relazione e funzione sono state ripetute a iosa sia all'inizio del corso di Analisi I sia all'inizio di quello di Algebra e si trovano su ogni testo pre-riforma (i.e., stampato prima del 1999).
La costruzione degli insiemi numerici, con le operazioni, l'ordine e le altre varie proprietà, l'ho studiata in Analisi I (e, in maniera molto più generale o astratta, in Algebra) da dispense del docente.
"lisdap":
Hai a portata di mano il vecchio pagani salsa analisi 1? Dai un'occhiata all'indice dei capitoli 1 e 2. A me interessa soltanto approfondire tutti quei concetti. Non voglio sapere roba strana da matematici. Io voglio soltanto essere consapevole di come sono definiti in modo preciso i vari insiemi numerici e come sono definite le varie operazioni. Tempo fa lessi questi argomenti sui 2 capitoli del pagani salsa, ma l'esposizione era troppo sintetica per uno che non sapeva nulla di quelle cose. Cerco soltanto del materiale che tratti questi argomenti in maniera un pò dettagliata. Ora non riesco a trovare il post preciso, ma mi ricordo che Wizard mi aveva detto che per capire bene tutti gli argomenti che figurano nei primi due capitoli del pagani salsa mi dovevo prendere un libro di algebra, visto che il pagani salsa è un libro di analisi e giustamente è sintetico su queste faccende.
Il Pagani-Salsa (che sono andato a recuperare in biblioteca per l'occasione) mi pare un buon riferimento.
Quarantacinque pagine sull'Algebra di base sono abbastanza; e sono scritte in maniera chiara.
Il capitolo sugli insiemi numerici (a parte la definizione dei reali come allineamenti decimali) non mi pare abbia qualcosa che non va.
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Prenditela con te stesso, che non sei stato in grado di buttare la testa fuori dal sacco prima di aver passato l'esame di Analisi (che sarebbe potuto essere, se studiato a dovere e non a caso, una buona occasione di riscatto).
Questo dipende da una limitatezza culturale che ti porti dietro dalle scuole inferiori, alla quale ho accennato anche in post precedenti; nonché da una tua innata supponenza, che ti fa ritenere d'essere sempre nel giusto (almeno, fino a che ti arriva una batosta...).
Questi sono due aspetti caratteriali che devi sforzarti di limare.
Più che con me stesso, io mi scaglio contro la didattica. Come è possibile che ho superato un anno e mezzo fa Analisi 1 con 25 (allo scritto presi 29) quando poi faccio queste domande? A giudicare dalle domande che faccio è assurda questa cosa.
Questo perchè c'è qualcosa che non funziona da qualche parte.[/quote]
Anche io la trovo una cosa assurda, perchè io non sarei mai andato a fare un esame in quelle condizioni.
Il problema, però, è tuo, non della didattica: evidentemente, quando hai studiato, non ti sei fatto le domande giuste; probabilmente hai preferito imparare quattro cose a memoria, piuttosto che interrogarti sul "senso" di quelle cose.
Sono errori di gioventù; con l'esperienza si apprende anche a studiare seriamente (e comunque non tutti ci riescono; conosco ingegneri che dimenticavano tutto ciò che avevano studiato appena due giorni dopo un esame... Qualunque esame avessero sostenuto!).
"lisdap":
mi chiedo: come è possibile che il concetto di funzione mi sia stato presentato per la prima volta solo al quinto liceo, quando invece tutta la matematica (anche l'algebra che si studia ai primi anni) è basata sul concetto di funzione?
Boh!
A me il concetto di funzione l'hanno presentato in prima, assieme alla Logica, all'Insiemistica di base, etc... Tutta roba che viene riportata su tutti i libri del primo anno del liceo.
"gugo82":
Le definizioni di relazione e funzione sono state ripetute a iosa sia all'inizio del corso di Analisi I sia all'inizio di quello di Algebra e si trovano su ogni testo pre-riforma (i.e., stampato prima del 1999).
La costruzione degli insiemi numerici, con le operazioni, l'ordine e le altre varie proprietà, l'ho studiata in Analisi I (e, in maniera molto più generale o astratta, in Algebra) da dispense del docente.
Mi sono fatto dare da uno studente di Matematica della mia università il libro che loro usavano nel corso di Algebra:
"Giulio Maria Piacentini Cattaneo ALGEBRA, un approccio algoritmico", del 1996.
A giudicare dall'indice, ci dovrebbe essere tutto quello che voglio. A qualcosa servirà...
"gugo82":
Il Pagani-Salsa (che sono andato a recuperare in biblioteca per l'occasione) mi pare un buon riferimento.
Quarantacinque pagine sull'Algebra di base sono abbastanza; e sono scritte in maniera chiara.
Il capitolo sugli insiemi numerici (a parte la definizione dei reali come allineamenti decimali) non mi pare abbia qualcosa che non va.
Ok, però tu mettiti nei panni di uno che sa poco o nulla: alcune cose sono scritte, giustamente (visto che è un libro di Analisi) in maniera troppo sintetica
"gugo82":
Anche io la trovo una cosa assurda, perchè io non sarei mai andato a fare un esame in quelle condizioni.
Ma io quando sono andato a fare Analisi pensavo di essere preparato, probabilmente non avevo assolutamente idea di cosa volesse dire studiare però non me ne rendevo conto, ero ancora poco maturo.
"gugo82":
Sono errori di gioventù; con l'esperienza si apprende anche a studiare seriamente (e comunque non tutti ci riescono; conosco ingegneri che dimenticavano tutto ciò che avevano studiato appena due giorni dopo un esame... Qualunque esame avessero sostenuto!).
Questa cosa è assurda. Sono assurde le modalità con le quali vengono effettuati gli esami. Il fatto che uno possa superare un esame, anche con un voto alto (vedi me ad esempio con analisi) e non averci capito nulla è gravissimo. Gli esami dovrebbero coprire tutto il programma in modo dettagliato e gli orali dovrebbero durare ore e ore. Solo così il professore potrà capire se lo studente ha davvero compreso ciò che ha studiato
"gugo82":
Boh!
A me il concetto di funzione l'hanno presentato in prima, assieme alla Logica, all'Insiemistica di base, etc... Tutta roba che viene riportata su tutti i libri del primo anno del liceo.
La mia insegnante non usava il libro, e da poco ho scoperto che i miei libri del liceo erano praticamente nuovi. Questo perchè molto probabilmente non avevo capito come si studiava (e cioè aprendo e leggendo attentamente un libro), ma se nessuno te lo insegna mi sembra normale!!!
"lisdap":
Gli esami dovrebbero coprire tutto il programma in modo dettagliato e gli orali dovrebbero durare ore e ore.
"lisdap":
Gli esami dovrebbero coprire tutto il programma in modo dettagliato e gli orali dovrebbero durare ore e ore.
Ma anche gli studenti dovrebbero essere abbastanza maturi da sapersi valutare prima di sostenere l'esame, caro lisdap.
Anch'io a scuola studiavo poco dai libri (soprattutto Matematica, perchè ho avuto sempre buoni docenti); per lo più mi piaceva svolgere esercizi e spiegare Matematica agli altri*... Però sapevo valutarmi correttamente ed, anzi, sono sempre stato poco indulgente con me stesso.
Anche adesso tendo sempre a sottovalutare me e ciò che faccio, nonostante molte persone a me vicine dicano costantemente il contrario.
A me sembra che da un po' di anni a questa parte, la maggior parte degli studenti si sopravvaluti o, comunque, sottovaluti la preparazione del corpo docente e, in generale, di chi studia da più tempo.
Ma forse ciò è solo conseguenza del fatto che le nuove generazioni intendono il verbo "studiare" in un'accezione differente rispetto a quelli della mia generazione; segno che c'è qualcosa che non va nel meccanismo della scuola.
__________
* Passioni che mi sono rimaste incollate addosso, nevvero?
Se sugli insiemi numerici non fossero definite operazioni, le uniche identità che si sarebbero potute scrivere sarebbero state del tipo $5=5$, $6=6$ ecc... e le uniche equazioni del tipo $x=8$, $x=9$ ecc...?
Ancora non hai capito cos'è un'equazione, vero?
Che bisogno c'è delle operazioni?
Ad esempio, metti che ti assegno la funzione \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) definita ponendo:
\[
f(n)=\text{numero di lettere che serve a scrivere per esteso } n
\]
(esempio: \(f(1)=f(2)=f(3)=3\), \(f(4)=7\), \(f(100)=5\), etc...) e ti chiedessi di risolvere \(f(n)=23\)... A cosa ti servirebbero le operazioni?
Che bisogno c'è delle operazioni?
Ad esempio, metti che ti assegno la funzione \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) definita ponendo:
\[
f(n)=\text{numero di lettere che serve a scrivere per esteso } n
\]
(esempio: \(f(1)=f(2)=f(3)=3\), \(f(4)=7\), \(f(100)=5\), etc...) e ti chiedessi di risolvere \(f(n)=23\)... A cosa ti servirebbero le operazioni?
L'equazione che hai scritto (risolta dal numero otto) non l'hai scritta grazie al fatto che su $NN$ hai definito una certa operazione unaria?
Io dico: se su $NN$ non definisco nulla, niente di niente, allora gli unici "giochetti" che posso fare consistono nello scrivere proposizioni come $4=4$, $5=5$ e chiedermi se siano vere o meno, oppure cose del tipo $x=5$, $x=6$ e chiedermi quale numero messo dentro la $x$ le risolve.
Se su $NN$ non sono definite operazioni, allora scritture del tipo $+(2,2)=4$ o in generale espressioni del tipo $f(x,y)=6$ e cosi via non hanno senso, perchè $f$ non è definita.
Io dico: se su $NN$ non definisco nulla, niente di niente, allora gli unici "giochetti" che posso fare consistono nello scrivere proposizioni come $4=4$, $5=5$ e chiedermi se siano vere o meno, oppure cose del tipo $x=5$, $x=6$ e chiedermi quale numero messo dentro la $x$ le risolve.
Se su $NN$ non sono definite operazioni, allora scritture del tipo $+(2,2)=4$ o in generale espressioni del tipo $f(x,y)=6$ e cosi via non hanno senso, perchè $f$ non è definita.
"lisdap":
L'equazione che hai scritto (risolta dal numero otto) non l'hai scritta grazie al fatto che su $NN$ hai definito una certa operazione unaria?
A parte che $n=8$ non risolve l'equazione assegnata (perché \(f(8)=4\neq 23\); al massimo una possibile soluzione è $n=747$, perchè \(f(747)=\text{numero di lettere di "settecentoquarantasette"}=23\))...
Ma perchè cambi sempre le carte in tavola?
Si parlava di operazioni nel senso elementare del termine fino a due secondi fa; perchè adesso te ne esci con le "operazioni unarie", cioè con le funzioni di una variabile?
Diventa impossibile discutere con te.
"lisdap":
Io dico: se su $NN$ non definisco nulla, niente di niente, allora gli unici "giochetti" che posso fare consistono nello scrivere proposizioni come $4=4$, $5=5$ e chiedermi se siano vere o meno, oppure cose del tipo $x=5$, $x=6$ e chiedermi quale numero messo dentro la $x$ le risolve.
Se su $NN$ non sono definite operazioni, allora scritture del tipo $+(2,2)=4$ o in generale espressioni del tipo $f(x,y)=6$ e cosi via non hanno senso, perchè $f$ non è definita.
E certo.
Ma se non definisci nulla, non puoi definire nemmeno un'equazione... Quindi di che ti preoccupi?
"gugo82":
Ma perchè cambi sempre le carte in tavola?
Si parlava di operazioni nel senso elementare del termine fino a due secondi fa; perchè adesso te ne esci con le "operazioni unarie", cioè con le funzioni di una variabile?
Scusa, le operazioni unarie non sono sempre operazioni?
"gugo82":
E certo.
Ma se non definisci nulla, non puoi definire nemmeno un'equazione... Quindi di che ti preoccupi?
Già, capisco, ok!
Quanto alla soluzione della tua equazione, ho invertito il problema!
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Ma perchè cambi sempre le carte in tavola?
Si parlava di operazioni nel senso elementare del termine fino a due secondi fa; perchè adesso te ne esci con le "operazioni unarie", cioè con le funzioni di una variabile?
Scusa, le operazioni unarie non sono sempre operazioni?[/quote]
Qualcuno, recentemente, mi ricordava che "A lavare la testa all'asino, si sprecano sapone e fatica".
Buone vacanze, lisdap.
Forse perchè chi lava l'asino non ci mette impegno.
"lisdap":
Forse perchè chi lava l'asino non ci mette impegno.
[xdom="Seneca"]Con questo si conclude la discussione; due i motivi:
1. gli argomenti sono esauriti e
2. Gugo non è pagato per stare qui a risponderti e non è bello che tu declassi con due parole i suoi numerosi interventi e la pazienza che ha avuto nel seguirti... L'invito è sempre lo stesso: ascolta chi ne sa più di te.[/xdom]
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