Considerazioni sulle equazioni e sulle funzioni
Salve ragazzi, qualcuno potrebbe seguire questo mio discorso sulle funzioni e dirmi se è sensato?
Io sto cercando di rispondere alla domanda: perché le equazioni del tipo $y=8x$, $y=2e^x$, $z=2x+4y^2$ e così via vengono confuse con le funzioni $f(x)=8x$, $g(x)=2e^x$, $h(x,y)=2x+4y^2$? Queste sono equazioni e non funzioni!
Mi spiego meglio.
In Analisi Matematica si definisce funzione una qualunque legge che, dati due insiemi A e B, associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Quello di funzione è dunque un concetto molto generale, applicabile non solo ai numeri: io però supporrò che A e B siano due insiemi numerici. In questo caso, un "oggetto" che rispetta una definizione di questo tipo è una quantità variabile che varia al variare di certe variabili indipendenti. Per esempio, $8e^x$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, ed in particolare è una funzione, cioè è un "macchinario" che, preso come input un certo numero, restituisce un certo output. Ancora, $2x^2+3y$ è quantità variabile che varia al variare della $x$ e della $y$, $2x+3y+8z$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, della $y$ e della $z$, e cosi via. Insomma, quello di funzione è un concetto che rappresenta l'evoluzione del concetto di numero (quantità costante). Il numero è una quantità costante, che mal si presta a descrivere fenomeni che variano al variare di certe variabili.
Veniamo ora alle equazioni. Di equazioni ne esistono di tutti i tipi. Per esempio $x^2+3x=8x^3$ è un'equazione nella variabile $x$, $x+3y=2x$ è un'equazione nelle variabili $x$ ed $y$ e cosi via. Risolvere un'equazione significa trovare i valori che devono assumere le variabili in modo tale da soddisfarla, cioè da generare un'identità. Detto questo, è importante notare il fatto che un'equazione, qualunque essa sia, ha per "ingredienti" delle funzioni, cioè delle quantità variabili. Per esempio, per costruire l'equazione $x^2+3x=8x^3$ si prende una funzione $f(x)=x^2+3x$, una funzione $g(x)=8x^3$ e si impone che sia $f(x)=g(x)$. Per costruire l'equazione $x+3y=2x$ si prende una $f(x,y)=x+3y$, una $g(x)=2x$ e si pone $f(x,y)=g(x)$ e cosi via. Insomma, i singoli membri di un'equazione sono delle quantità variabili dipendenti da certe variabili indipendenti, cioè sono delle funzioni. Le funzioni rappresentano, come ho già detto prima, gli ingredienti di una equazione. Due funzioni messe in una relazione di uguaglianza definiscono un'equazione. Le equazioni sono molto importanti, infatti attraverso di esse sono formulate tutte le leggi fisiche. Per esempio, la legge oraria di un punto può essere un'equazione del tipo $x=3t-5$, il legame tra pressione, volume e temperatura di un gas perfetto è espresso da un'equazione del tipo $P=nRT/V$ e cosi via. Veniamo ora alla domanda iniziale: perché le equazioni del tipo $y=3x$, $z=3x+2y$, $P=nRT/V$ vengono confuse con le funzioni $f(x)=3x$, $g(x,y)=3x+2y$, $h(T,V)=nRT/V$? Risposta: se consideriamo per esempio l'equazione in tre variabili $z=3x+2y$, abbiamo che i suoi "ingredienti", come per tutte le equazioni, sono due funzioni, cioè due quantità variabili: $f(z)=z$ e $g(x,y)=3x+2y$ tali che $f(z)=g(x,y)$. Perchè un'equazione scritta in questo modo viene impropriamente confusa con la funzione $g(x,y)=3x+2y$, oggetto che non è una equazione, ma solo un numero variabile? La risposta a tale domanda sta nel fatto che, quando un'equazione è scritta in modo tale che essa sia esplicitata rispetto ad una variabile, si verifica la seguente circostanza. La funzione che compone il secondo membro dell'equazione è una $g(x,y)=3x+2y$, ed ha una certa immagine, cioè assume un certo insieme di valori al variare di $x$ ed $y$. Inoltre, la funzione $f(z)=z$, in virtù del segno di uguaglianza, prende in input gli output di $g(x,y)$ e non li modifica. Quindi, in equazioni della forma $z=3x+2y$, o anche della forma $y=8e^x$ e cosi via entrambe le funzioni componenti l'equazione hanno le stesse uscite e dunque equazioni di tal tipo possono essere confuse con la funzione al primo membro. E' cosi spiegato il motivo per cui si fa confusione tra l'equazione $y=8x$ e la funzione $f(x)=8x$: i membri componenti l'equazione $y=8x$ sono una funzione $g(y)=y$ ed una funzione $f(x)=8x$ tali che $g(y)=f(x)$. Al variare della $x$, il secondo membro dell'equazione assume certi valori, uguali ai valori che assume il primo membro. Dunque, è evidente che in questi casi equazioni del tipo $z=3x+2y$ non aggiungono nulla rispetto a quanto già detto dalla funzione che compone il secondo membro dell'equazione, cioè $g(x,y)=3x+2y$. In questi casi, e solo in questi casi, l'equazione può essere "riassunta" completamente da una delle funzioni componenti, cioè $g(x,y)=3x+2y$, in quanto il grafico di tale funzione mi dice già tutto sull'equazione, dal momento che osservandolo conosco tutte le soluzioni dell'equazione. Notiamo infine che per equazioni del tipo $x^2=x+y$, costituite dalle funzioni $f(x)=x^2$ e $g(x,y)=x+y$ questo discorso non vale; infatti, conoscere il grafico di una funzione non permette di sapere tutte le soluzioni.
Scusate se sono stato troppo lungo, ma ci tenevo ad essere preciso e non trascurare alcun dettaglio.
Io desidero solo capire, non chiedo altro. Questa questione non è affrontata da alcun libro di testo, né professori.
Due sono le cose: o è una questione elementare, ovvia come versare l'acqua nel bicchiere, oppure nessuno la reputa importante. Eppure vedo che da molte parti si passa con disinvoltura da espressioni del tipo $y=8x$, ad espressioni del tipo $f(x)=8x$, cioè da equazioni a funzioni, il che mi fa pensare che siano equivalenti. Il mio testo delle superiori scriveva tutte le funzioni come delle equazioni, mentre il mio libro di Analisi come delle quantità variabili e basta, confondendole però spesso con le equazioni sopra citate.
Io non studio per l'università, o per l'esame. Io studio per la vita. Gli esami che molti definiscono la "bestia nera" dei primi anni di ingegneria, li ho superati, e con buoni voti. Di certo però non è nel mio spirito archiviare la questione solo perchè l'esame l'ho già fatto. Spero di non aver detto stronzate e di guadagnare la stima dei matematici che leggono queste mie riflessioni.
Un'ultima considerazione: per voi matematici questa questione potrà essere banale. Non lo è però per me, che sono un aspirante ingegnere. Noi aspiranti ingegneri tiriamo avanti con le conoscenze di Algebra accumulate nelle scuole superiori, e null'altro della Matematica ci viene detto al di fuori dell'Analisi. Non ho mai letto un testo di Algebra universitario, quindi tutto quello che ho scritto sulle equazioni l'ho tirato fuori dalla mia testa e non so se sia corretto.
Io mi sforzo di far si che la Matematica per me non sia qualcosa di meccanico, che si fa cosi perchè cosi mi è stato sempre detto. Spero abbiate capito la mia "filosofia" ed il mio modo di approcciarmi allo studio.
Dunque cercate di essere comprensivi e di non bastonarmi troppo
.
Grazie mille e buon fine settimana!
Io sto cercando di rispondere alla domanda: perché le equazioni del tipo $y=8x$, $y=2e^x$, $z=2x+4y^2$ e così via vengono confuse con le funzioni $f(x)=8x$, $g(x)=2e^x$, $h(x,y)=2x+4y^2$? Queste sono equazioni e non funzioni!
Mi spiego meglio.
In Analisi Matematica si definisce funzione una qualunque legge che, dati due insiemi A e B, associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Quello di funzione è dunque un concetto molto generale, applicabile non solo ai numeri: io però supporrò che A e B siano due insiemi numerici. In questo caso, un "oggetto" che rispetta una definizione di questo tipo è una quantità variabile che varia al variare di certe variabili indipendenti. Per esempio, $8e^x$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, ed in particolare è una funzione, cioè è un "macchinario" che, preso come input un certo numero, restituisce un certo output. Ancora, $2x^2+3y$ è quantità variabile che varia al variare della $x$ e della $y$, $2x+3y+8z$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, della $y$ e della $z$, e cosi via. Insomma, quello di funzione è un concetto che rappresenta l'evoluzione del concetto di numero (quantità costante). Il numero è una quantità costante, che mal si presta a descrivere fenomeni che variano al variare di certe variabili.
Veniamo ora alle equazioni. Di equazioni ne esistono di tutti i tipi. Per esempio $x^2+3x=8x^3$ è un'equazione nella variabile $x$, $x+3y=2x$ è un'equazione nelle variabili $x$ ed $y$ e cosi via. Risolvere un'equazione significa trovare i valori che devono assumere le variabili in modo tale da soddisfarla, cioè da generare un'identità. Detto questo, è importante notare il fatto che un'equazione, qualunque essa sia, ha per "ingredienti" delle funzioni, cioè delle quantità variabili. Per esempio, per costruire l'equazione $x^2+3x=8x^3$ si prende una funzione $f(x)=x^2+3x$, una funzione $g(x)=8x^3$ e si impone che sia $f(x)=g(x)$. Per costruire l'equazione $x+3y=2x$ si prende una $f(x,y)=x+3y$, una $g(x)=2x$ e si pone $f(x,y)=g(x)$ e cosi via. Insomma, i singoli membri di un'equazione sono delle quantità variabili dipendenti da certe variabili indipendenti, cioè sono delle funzioni. Le funzioni rappresentano, come ho già detto prima, gli ingredienti di una equazione. Due funzioni messe in una relazione di uguaglianza definiscono un'equazione. Le equazioni sono molto importanti, infatti attraverso di esse sono formulate tutte le leggi fisiche. Per esempio, la legge oraria di un punto può essere un'equazione del tipo $x=3t-5$, il legame tra pressione, volume e temperatura di un gas perfetto è espresso da un'equazione del tipo $P=nRT/V$ e cosi via. Veniamo ora alla domanda iniziale: perché le equazioni del tipo $y=3x$, $z=3x+2y$, $P=nRT/V$ vengono confuse con le funzioni $f(x)=3x$, $g(x,y)=3x+2y$, $h(T,V)=nRT/V$? Risposta: se consideriamo per esempio l'equazione in tre variabili $z=3x+2y$, abbiamo che i suoi "ingredienti", come per tutte le equazioni, sono due funzioni, cioè due quantità variabili: $f(z)=z$ e $g(x,y)=3x+2y$ tali che $f(z)=g(x,y)$. Perchè un'equazione scritta in questo modo viene impropriamente confusa con la funzione $g(x,y)=3x+2y$, oggetto che non è una equazione, ma solo un numero variabile? La risposta a tale domanda sta nel fatto che, quando un'equazione è scritta in modo tale che essa sia esplicitata rispetto ad una variabile, si verifica la seguente circostanza. La funzione che compone il secondo membro dell'equazione è una $g(x,y)=3x+2y$, ed ha una certa immagine, cioè assume un certo insieme di valori al variare di $x$ ed $y$. Inoltre, la funzione $f(z)=z$, in virtù del segno di uguaglianza, prende in input gli output di $g(x,y)$ e non li modifica. Quindi, in equazioni della forma $z=3x+2y$, o anche della forma $y=8e^x$ e cosi via entrambe le funzioni componenti l'equazione hanno le stesse uscite e dunque equazioni di tal tipo possono essere confuse con la funzione al primo membro. E' cosi spiegato il motivo per cui si fa confusione tra l'equazione $y=8x$ e la funzione $f(x)=8x$: i membri componenti l'equazione $y=8x$ sono una funzione $g(y)=y$ ed una funzione $f(x)=8x$ tali che $g(y)=f(x)$. Al variare della $x$, il secondo membro dell'equazione assume certi valori, uguali ai valori che assume il primo membro. Dunque, è evidente che in questi casi equazioni del tipo $z=3x+2y$ non aggiungono nulla rispetto a quanto già detto dalla funzione che compone il secondo membro dell'equazione, cioè $g(x,y)=3x+2y$. In questi casi, e solo in questi casi, l'equazione può essere "riassunta" completamente da una delle funzioni componenti, cioè $g(x,y)=3x+2y$, in quanto il grafico di tale funzione mi dice già tutto sull'equazione, dal momento che osservandolo conosco tutte le soluzioni dell'equazione. Notiamo infine che per equazioni del tipo $x^2=x+y$, costituite dalle funzioni $f(x)=x^2$ e $g(x,y)=x+y$ questo discorso non vale; infatti, conoscere il grafico di una funzione non permette di sapere tutte le soluzioni.
Scusate se sono stato troppo lungo, ma ci tenevo ad essere preciso e non trascurare alcun dettaglio.
Io desidero solo capire, non chiedo altro. Questa questione non è affrontata da alcun libro di testo, né professori.
Due sono le cose: o è una questione elementare, ovvia come versare l'acqua nel bicchiere, oppure nessuno la reputa importante. Eppure vedo che da molte parti si passa con disinvoltura da espressioni del tipo $y=8x$, ad espressioni del tipo $f(x)=8x$, cioè da equazioni a funzioni, il che mi fa pensare che siano equivalenti. Il mio testo delle superiori scriveva tutte le funzioni come delle equazioni, mentre il mio libro di Analisi come delle quantità variabili e basta, confondendole però spesso con le equazioni sopra citate.
Io non studio per l'università, o per l'esame. Io studio per la vita. Gli esami che molti definiscono la "bestia nera" dei primi anni di ingegneria, li ho superati, e con buoni voti. Di certo però non è nel mio spirito archiviare la questione solo perchè l'esame l'ho già fatto. Spero di non aver detto stronzate e di guadagnare la stima dei matematici che leggono queste mie riflessioni.
Un'ultima considerazione: per voi matematici questa questione potrà essere banale. Non lo è però per me, che sono un aspirante ingegnere. Noi aspiranti ingegneri tiriamo avanti con le conoscenze di Algebra accumulate nelle scuole superiori, e null'altro della Matematica ci viene detto al di fuori dell'Analisi. Non ho mai letto un testo di Algebra universitario, quindi tutto quello che ho scritto sulle equazioni l'ho tirato fuori dalla mia testa e non so se sia corretto.
Io mi sforzo di far si che la Matematica per me non sia qualcosa di meccanico, che si fa cosi perchè cosi mi è stato sempre detto. Spero abbiate capito la mia "filosofia" ed il mio modo di approcciarmi allo studio.
Dunque cercate di essere comprensivi e di non bastonarmi troppo
.Grazie mille e buon fine settimana!
Risposte
Scusami gugo, capisco che tu hai dieci anni più di me e conosci la matematica meglio di me, però sinceramente le tue argomentazioni non mi convincono. Tu giri intorno alla mia domanda senza darmi una risposta definitiva, ma solo dicendomi che sono ancora poco maturo per apprezzare certe cose.
Tu stesso dici:
1) Ti risponderei: Innanzitutto, smetti di farti troppe "pippe mentali" e vai a imparare le cose importanti.
Non mi pare che questo sia rispondere alla domanda. Anzi, è come rispondere "niente" alla domanda: "cos'hai che non va"?
2)E ti direi, infine, che la notazione y=f(x) o z=f(x,y) è un retaggio storico e che non viene più utilizzata quasi da nessuna parte, tranne che nei libri delle superiori ed in qualche libro di Calculus (non certo su alcun libro di Analisi che io ricordi).
Perchè il libro delle superiori la usa allora? I libri delle superiori li hanno scritti pur sempre dei matematici, e non credo dicano cazzate. E poi anche sui testi di Analisi moderni, quali il bramanti-pagani-salsa, si trovano espressioni del tipo: si consideri la funzione $y=sqrt(1-x^2)$, per $x in [-1,1]$ etc ect. Come vedi questo linguaggio non è stato abbandonato, e se si usa ancora un motivo c'è (e se non ci credi ti scannerizzo la pagina), ed il motivo secondo me sta nella definizione algebrica di funzione. E poi perchè mai ci dovrebbero essere due definizioni di funzione? Se io mi chiamo Giuseppe mi chiamo Giuseppe, e non Francesco.
Ciao.
Tu stesso dici:
1) Ti risponderei: Innanzitutto, smetti di farti troppe "pippe mentali" e vai a imparare le cose importanti.
Non mi pare che questo sia rispondere alla domanda. Anzi, è come rispondere "niente" alla domanda: "cos'hai che non va"?
2)E ti direi, infine, che la notazione y=f(x) o z=f(x,y) è un retaggio storico e che non viene più utilizzata quasi da nessuna parte, tranne che nei libri delle superiori ed in qualche libro di Calculus (non certo su alcun libro di Analisi che io ricordi).
Perchè il libro delle superiori la usa allora? I libri delle superiori li hanno scritti pur sempre dei matematici, e non credo dicano cazzate. E poi anche sui testi di Analisi moderni, quali il bramanti-pagani-salsa, si trovano espressioni del tipo: si consideri la funzione $y=sqrt(1-x^2)$, per $x in [-1,1]$ etc ect. Come vedi questo linguaggio non è stato abbandonato, e se si usa ancora un motivo c'è (e se non ci credi ti scannerizzo la pagina), ed il motivo secondo me sta nella definizione algebrica di funzione. E poi perchè mai ci dovrebbero essere due definizioni di funzione? Se io mi chiamo Giuseppe mi chiamo Giuseppe, e non Francesco.
Ciao.
[OT]
Mi permetto di dissentire su entrambe le affermazioni (ovviamente senza generalizzare).
[/OT]
"lisdap":
I libri delle superiori li hanno scritti pur sempre dei matematici, e non credo dicano cazzate.
Mi permetto di dissentire su entrambe le affermazioni (ovviamente senza generalizzare).
[/OT]
"lisdap":
...
parto da un esempio fisico. Supponiamo di avere un punto materiale
...
PS: A parte la malignità, che è connaturata in me, caspita che passi avanti hai fatto! Complimenti.
"Fioravante Patrone":
[quote="lisdap"]
...
parto da un esempio fisico. Supponiamo di avere un punto materiale
...
PS: A parte la malignità, che è connaturata in me, caspita che passi avanti hai fatto! Complimenti.[/quote]
La matematica e la fisica sono due scienze correlate, ed è stupido colui che pensa di poter fare matematica ignorando la fisica e viceversa. I più grandi scienziati erano dei "tutto fare", erano contemporaneamente ingegneri, matematici, fisici ecc...
Gaspard Gustave de Coriolis per esempio, come si evince da wikipedia, era un matematico, fisico, ed ingegnere meccanico; Fourier era sia un matematico che un fisico.
Quindi, a voi che mi dite di andarmi a studiare la storia, rispondo: "andatevela a studiare voi, visto che non conoscete il profondo legame imprescindibile che esiste tra la matematica e la fisica"!
"lisdap":
[quote="Fioravante Patrone"][quote="lisdap"]
...
parto da un esempio fisico. Supponiamo di avere un punto materiale
...
PS: A parte la malignità, che è connaturata in me, caspita che passi avanti hai fatto! Complimenti.[/quote]
La matematica e la fisica sono due scienze correlate, ed è stupido colui che pensa di poter fare matematica ignorando la fisica e viceversa. I più grandi scienziati erano dei "tutto fare", erano contemporaneamente ingegneri, matematici, fisici ecc...
Gaspard Gustave de Coriolis per esempio, come si evince da wikipedia, era un matematico, fisico, ed ingegnere meccanico; Fourier era sia un matematico che un fisico.
Quindi, a voi che mi dite di andarmi a studiare la storia, rispondo: "andatevela a studiare voi, visto che non conoscete il profondo legame imprescindibile che esiste tra la matematica e la fisica"![/quote]Ritiro i complimenti, visto che non capisci che i "punti materiali" sono roba di matematica.
"Fioravante Patrone":
Ritiro i complimenti, visto che non capisci che i "punti materiali" sono roba di matematica.
Stando al contesto della frase pensavo che i tuoi complimenti fossero "ironici", nel senso: "se fai matematica partendo da esempi fisici, allora non potrai mai capire la matematica, dunque non hai fatto passi avanti". Per questo ho risposto in quel modo. Beh, ti ringrazio allora per i complimenti, avevo inteso male.
Non sono d'accordo sul fatto che i punti materiali sono roba di matematica. Spesso i fisici definiscono come punto materiale delle "sferette rigide", piccole quanto basta per poterne trascurare le dimensioni e che con la matematica hanno poco a che fare.
Lisdap, a quanto ne so io, quello che chiamiamo punto materiale altro non è che il famoso punto che "si muove" al variare del parametro $t$ lungo l'arco di curva che studiamo in Analisi II (infatti che sostengo che in cinematica -quella del punto materiale- si faccia 99% analisi e 1% fisica)...i fisici ci aggiungono la caratteristica del possedere massa (a cui non si può rinunciare) e "corpo privo di struttura"...quindi puoi fidarti di Fioravante quando ti dice che i punti materiali sono "roba matematica"...
Naturalmente i "punti materiali" hanno a che fare con la fisica. Di certo a me ne avevano parlato in Fisica Generale I, non in Analisi Matematica I...
Quello che però mi sembra evidente è che, nel momento in cui si parla di punto materiale, si è terminata la fase di modellizzazione e si è ormai all'interno del modello matematico. In questo senso chi parla di "punto materiale" sta facendo matematica (applicanda).
Quello che però mi sembra evidente è che, nel momento in cui si parla di punto materiale, si è terminata la fase di modellizzazione e si è ormai all'interno del modello matematico. In questo senso chi parla di "punto materiale" sta facendo matematica (applicanda).
"Fioravante Patrone":
Naturalmente i "punti materiali" hanno a che fare con la fisica. Di certo a me ne avevano parlato in Fisica Generale I, non in Analisi Matematica I...
Quello che però mi sembra evidente è che, nel momento in cui si parla di punto materiale, si è terminata la fase di modellizzazione e si è ormai all'interno del modello matematico. In questo senso chi parla di "punto materiale" sta facendo matematica (applicanda).
Quoto.
PS: Ma non doveva parlare di equazioni/funzioni sto thread??
"Plepp":
Quoto.
PS: Ma non doveva parlare di equazioni/funzioni sto thread??
Già, però un pò di off topic ogni tanto ci vuole, moderatori permettendo
A proposito, tu che ne pensi della questione?
Mi farebbe piacere leggere un tuo parere a proposito!
Ciao.
Aggiungo un ultimo intervento, che riassume il mio punto di vista, che probabilmente sarà andato perduto in questo lungo topic.
Premetto che l'esposizione non è rigorosa in termini matematici e manca di generalità in alcuni esempi:D
Tutti sappiamo, almeno a livello intuitivo (come me), che cos'è un insieme, e che cos'è il prodotto cartesiano fra due insiemi.
Come afferma wikipedia, "dati gli insiemi $X$ e $Y$ non vuoti, si chiama funzione da $X$ in $Y$ un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano $X xx Y$ tale che per ogni $x in X$ esiste uno ed un solo elemento $y in Y$ tale che $(x, y) in f$.
Come già ho detto parecchie volte, non tutti i sottoinsiemi che si ottengono da un prodotto cartesiano sono funzioni, vedasi l'insieme di coppie ordinate che geometricamente, fissato un opportuno sistema di riferimento, rappresenta una circonferenza od un'ellisse ecc..
Un insieme qualsiasi, ed in particolare gli insiemi di coppie ordinate o di terne ordinate e cosi via, possono essere rappresentati, in generale, tramite la soluzione di particolari equazioni in due, tre ecc.. variabili. Gli insiemi che hanno per elementi numeri, non coppie o altro, sono invece in genere rappresentati attraverso equazioni in una variabile.
Fatte queste premesse, penso che per chiarire definitivamente la domanda che apre il topic, bisogna rispondere alla domanda: "di cosa si occupa l'analisi matematica"?
La geometria analitica si occupa di "tradurre" le figure geometriche mono, bi e tridimensionali, attraverso l'uso di quello che viene chiamato sistema di riferimento, in insiemi di coppie o terne ordinate. Questi insiemi possono essere delle funzioni, come nel caso della parabola o della semicirconferenza o della semiellisse, oppure no. Fatto questo, la geometria analitica fondata da cartesio cerca di dare una rappresentazione sintetica di questi insiemi, e ciò è possibile grazie all'uso di equazioni. Per esempio, smanettando, si trova che un piano nello spazio può essere rappresentato dalle soluzioni dell'equazione $ax+by+cz+d=0$ ecc...
Ora tocca all'analisi. L'analisi si occupa dello studio delle funzioni, cioè di particolari insiemi di coppie ordinate. Questi particolari insiemi, cioè queste funzioni, così come accade per ogni insieme possono essere indicati in modo sintetico come le soluzioni di certe equazioni. Per esempio, l'insieme di coppie ordinate che geometricamente rappresentano una retta, può essere indicato sinteticamente come l'insieme di tutte le coppie ordinate che soddisfa l'equazione $y=ax^2+bx+c$. Anzichè scrivere quell'equazione, definito preliminarmente che cosa è il grafico di un polinomio che dipende da $x$, posso indicare la funzione, cioè l'insieme di coppie ordinate, con il grafico di $ax^2+bx+c$. Infatti è la stessa cosa dire "consideriamo tutte le coppie ordinate che soddisfano $y=ax^2+bx+c$ e l'insieme di coppie ordinate grafico di $ax^2+bx+c$. Questo dunque spiega come mai una funzione, cioè un insieme, viene indicato equivalentemente da scritture del tipo $ax^2+bx+c$ o $y=ax^2+bx+c$. Le scritture $y=ax^2+bx+c$ o $ax^2+bx+c$ NON SONO LA FUNZIONE, bensi, permettono soltanto di rappresentare sinteticamente la funzione.
Il compito dell'analisi è quello di districarsi nel fitto insieme di coppie ordinate chiamato funzione. Gli strumenti migliori per studiare questi particolari insiemi sono gli oggetti $ax^2+bx+c$ o le equazioni come $y=ax^2+bx+c$, che appunto definiscono tali insiemi. Così come una sonda permette di esplorare un pianeta, allo stesso modo oggetti matematici quali equazioni $y=f(x)$ oppure $f(x)$ permettono di esplorare quell'insieme che gli algebristi hanno chiamato funzione. Se voglio sapere che valori assumono i secondi elementi delle coppie ordinate al tendere dei primi a più infinito, faccio il limite per $x$ che tende a più infinito di $ax^2+bx+c$, oppure prendo l'equazione $ax^2+bx+c=y$ e vedo a che valore si avvicina l'incognita $y$ per risolvere l'equazione all'aumentare della $x$. Oppure, data una quantità $f(x)$, posso costruire una nuova quantità che dipende da $h$ detta rapporto incrementale $f((x_0+h)-f(x_0))/h$, oppure l'equazione $y=f((x_0+h)-f(x_0))/h$. L'insieme delle soluzioni di questa equazione o le coppie che sono il grafico di $f((x_0+h)-f(x_0))/h$ costituiscono una nuova funzione, un nuovo insieme che può essere come già detto esplorato "smanettando" sull'equazione o sulla $f(x)$ che lo definisce, per esempio facendone il limite e cosi via.
Insomma, per concludere, l'analisi studia un particolare insieme di coppie ordinate, insieme che è rappresentato dalle soluzioni di equazioni del tipo $z=f(x_1,...,x_n)$ oppure dal grafico delle quantità $f(x_1,...,x_n)$. E non c'è modo migliore di studiare tale insieme "lavorando" sugli oggetti che lo definiscono.
Non capisco dunque perchè la definizione algebrica di funzione è "tutto fumo e niente arrosto". Il discorso che ho fatto (dopo mesi di studio, riflessioni e meditazioni) mi sembra abbastanza coerente.
Spero che il mio punto di vista sia chiaro. Grazie a chiunque volesse intervenire
Premetto che l'esposizione non è rigorosa in termini matematici e manca di generalità in alcuni esempi:D
Tutti sappiamo, almeno a livello intuitivo (come me), che cos'è un insieme, e che cos'è il prodotto cartesiano fra due insiemi.
Come afferma wikipedia, "dati gli insiemi $X$ e $Y$ non vuoti, si chiama funzione da $X$ in $Y$ un sottoinsieme $f$ del prodotto cartesiano $X xx Y$ tale che per ogni $x in X$ esiste uno ed un solo elemento $y in Y$ tale che $(x, y) in f$.
Come già ho detto parecchie volte, non tutti i sottoinsiemi che si ottengono da un prodotto cartesiano sono funzioni, vedasi l'insieme di coppie ordinate che geometricamente, fissato un opportuno sistema di riferimento, rappresenta una circonferenza od un'ellisse ecc..
Un insieme qualsiasi, ed in particolare gli insiemi di coppie ordinate o di terne ordinate e cosi via, possono essere rappresentati, in generale, tramite la soluzione di particolari equazioni in due, tre ecc.. variabili. Gli insiemi che hanno per elementi numeri, non coppie o altro, sono invece in genere rappresentati attraverso equazioni in una variabile.
Fatte queste premesse, penso che per chiarire definitivamente la domanda che apre il topic, bisogna rispondere alla domanda: "di cosa si occupa l'analisi matematica"?
La geometria analitica si occupa di "tradurre" le figure geometriche mono, bi e tridimensionali, attraverso l'uso di quello che viene chiamato sistema di riferimento, in insiemi di coppie o terne ordinate. Questi insiemi possono essere delle funzioni, come nel caso della parabola o della semicirconferenza o della semiellisse, oppure no. Fatto questo, la geometria analitica fondata da cartesio cerca di dare una rappresentazione sintetica di questi insiemi, e ciò è possibile grazie all'uso di equazioni. Per esempio, smanettando, si trova che un piano nello spazio può essere rappresentato dalle soluzioni dell'equazione $ax+by+cz+d=0$ ecc...
Ora tocca all'analisi. L'analisi si occupa dello studio delle funzioni, cioè di particolari insiemi di coppie ordinate. Questi particolari insiemi, cioè queste funzioni, così come accade per ogni insieme possono essere indicati in modo sintetico come le soluzioni di certe equazioni. Per esempio, l'insieme di coppie ordinate che geometricamente rappresentano una retta, può essere indicato sinteticamente come l'insieme di tutte le coppie ordinate che soddisfa l'equazione $y=ax^2+bx+c$. Anzichè scrivere quell'equazione, definito preliminarmente che cosa è il grafico di un polinomio che dipende da $x$, posso indicare la funzione, cioè l'insieme di coppie ordinate, con il grafico di $ax^2+bx+c$. Infatti è la stessa cosa dire "consideriamo tutte le coppie ordinate che soddisfano $y=ax^2+bx+c$ e l'insieme di coppie ordinate grafico di $ax^2+bx+c$. Questo dunque spiega come mai una funzione, cioè un insieme, viene indicato equivalentemente da scritture del tipo $ax^2+bx+c$ o $y=ax^2+bx+c$. Le scritture $y=ax^2+bx+c$ o $ax^2+bx+c$ NON SONO LA FUNZIONE, bensi, permettono soltanto di rappresentare sinteticamente la funzione.
Il compito dell'analisi è quello di districarsi nel fitto insieme di coppie ordinate chiamato funzione. Gli strumenti migliori per studiare questi particolari insiemi sono gli oggetti $ax^2+bx+c$ o le equazioni come $y=ax^2+bx+c$, che appunto definiscono tali insiemi. Così come una sonda permette di esplorare un pianeta, allo stesso modo oggetti matematici quali equazioni $y=f(x)$ oppure $f(x)$ permettono di esplorare quell'insieme che gli algebristi hanno chiamato funzione. Se voglio sapere che valori assumono i secondi elementi delle coppie ordinate al tendere dei primi a più infinito, faccio il limite per $x$ che tende a più infinito di $ax^2+bx+c$, oppure prendo l'equazione $ax^2+bx+c=y$ e vedo a che valore si avvicina l'incognita $y$ per risolvere l'equazione all'aumentare della $x$. Oppure, data una quantità $f(x)$, posso costruire una nuova quantità che dipende da $h$ detta rapporto incrementale $f((x_0+h)-f(x_0))/h$, oppure l'equazione $y=f((x_0+h)-f(x_0))/h$. L'insieme delle soluzioni di questa equazione o le coppie che sono il grafico di $f((x_0+h)-f(x_0))/h$ costituiscono una nuova funzione, un nuovo insieme che può essere come già detto esplorato "smanettando" sull'equazione o sulla $f(x)$ che lo definisce, per esempio facendone il limite e cosi via.
Insomma, per concludere, l'analisi studia un particolare insieme di coppie ordinate, insieme che è rappresentato dalle soluzioni di equazioni del tipo $z=f(x_1,...,x_n)$ oppure dal grafico delle quantità $f(x_1,...,x_n)$. E non c'è modo migliore di studiare tale insieme "lavorando" sugli oggetti che lo definiscono.
Non capisco dunque perchè la definizione algebrica di funzione è "tutto fumo e niente arrosto". Il discorso che ho fatto (dopo mesi di studio, riflessioni e meditazioni) mi sembra abbastanza coerente.
Spero che il mio punto di vista sia chiaro. Grazie a chiunque volesse intervenire
No secondo me stai un po' navigando nel nulla. Se proprio ci deve essere una branca della matematica che si occupa in generale del concetto di funzione è la logica matematica, non certo l'analisi. Poi tutte le altre branche utilizzano per i loro scopi certi tipi di insiemi e di funzioni tra essi.
E sì quella di sottoinsieme del prodotto cartesiano è solo una possibile definizione rigorosa del concetto di funzione, non certo l'essenza del concetto. Ne nasconde anzi l'aspetto basilare di "trasformazione".
E sì quella di sottoinsieme del prodotto cartesiano è solo una possibile definizione rigorosa del concetto di funzione, non certo l'essenza del concetto. Ne nasconde anzi l'aspetto basilare di "trasformazione".
Per quanto mi riguarda Lisdap, ritengo che a noi manchino troppe basi per poter discutere di questo argomento. O meglio, ci mancano (parlo di me e di te, Ingegneri 
) le basi per poter approdare a una "verità assoluta"...se invece ci accontentiamo di fare un ragionamento per spiegare le contraddizioni nella notazione e cose simili, allora si, condivido il tuo modo di fare (ti ho già espresso la mia ammirazione).
Quindi io mi sarei fermato alla risposta di dissonance, terzo post-prima pagina, che è stata molto concisa ed esauriente a mio parere.
Quanto al problema che hai posto nel tuo ultimo post, li non sono d'accordo, è molto restrittivo definire l'Analisi come fai tu. E sicuramente, come dice yellow, non è lei che si deve occupare della definizione rigorosa del concetto di funzione (in alcuni libri che ho consultato è addirittura assente!)
Concordo ancora con yellow quando dice che quella di sottoinsieme del prodotto cartesiano è una delle possibili definizione rigorose...secondo me è addirittura quella che meno rende l'idea del concetto (al livello pratico) che la funzione rappresenta: quello di applicazione, o come dice yellow, trasformazione,
) le basi per poter approdare a una "verità assoluta"...se invece ci accontentiamo di fare un ragionamento per spiegare le contraddizioni nella notazione e cose simili, allora si, condivido il tuo modo di fare (ti ho già espresso la mia ammirazione).Quindi io mi sarei fermato alla risposta di dissonance, terzo post-prima pagina, che è stata molto concisa ed esauriente a mio parere.
Quanto al problema che hai posto nel tuo ultimo post, li non sono d'accordo, è molto restrittivo definire l'Analisi come fai tu. E sicuramente, come dice yellow, non è lei che si deve occupare della definizione rigorosa del concetto di funzione (in alcuni libri che ho consultato è addirittura assente!)
Concordo ancora con yellow quando dice che quella di sottoinsieme del prodotto cartesiano è una delle possibili definizione rigorose...secondo me è addirittura quella che meno rende l'idea del concetto (al livello pratico) che la funzione rappresenta: quello di applicazione, o come dice yellow, trasformazione,
Studiando Fisica mi sono accorto di come sia fondamentale in tale disciplina l'oggetto matematico chiamato "equazione". In matematica un'equazione è un qualcosa da risolvere, e basta; in Fisica, come ho già detto sopra, un'equazione è uno strumento che permette di "sintetizzare" in uno spazio ridottissimo risultati sperimentali. Prendiamo un gas perfetto e misuriamone numero di moli, temperatura, pressione e volume in diversi stati di equilibrio. Otterremo un numero molto elevato di dati sperimentali, che possono essere organizzati in diversi modi:
1) tabellare;
2) grafico (superficie nello spazio in questo caso);
3) come soluzioni dell'equazione $pV=nRT$.
E' evidente come la terza modalità di organizzazione dei dati sperimentali, cioè l'equazione, sia la più efficiente, nonché la più sintetica.
Questo discorso, fatto per i gas perfetti, è assolutamente generale. In Fisica tutti i fenomeni sono descritti tramite equazioni.
Ora in Matematica si definisce funzione dall'insieme A all'insieme B una QUALUNQUE legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Alla luce di questa definizione, possiamo dire che:
1) un'equazione del tipo $y=3x$ è ad esempio una funzione, perchè se assegno un valore alla $x$, posso ricavare il valore della $y$. L'equazione di stato dei gas perfetti, se scritta nella forma $p=nR(T/V)$ ($n$ e $R$ sono numeri) è una funzione di due variabili a valori reali, per lo stesso motivo di prima. L'equazione del primo principio della termodinamica per trasformazioni cicliche $Q=L$, è una funzione. La relazione tra l'energia cinetica di un corpo, la sua massa e la sua velocità, $E=1/2 mv^2$, è una funzione (di due variabili), e cosi via.
2) Il grafico che si ottiene disegnando la traiettoria parabolica di un proiettile è una funzione, in quanto esso rappresenta una legge che permette di associare ad un'ascissa un'ordinata.
3) L'insieme di coppie ordinate (o tabella) che si ottiene organizzando dati sperimentali quali "istante di tempo" e "posizione di un punto materiale", può essere interpretato come una funzione ecc...
Quindi una funzione è un'oggetto matematico estremamente generale. Sono funzioni alcuni tipi di equazioni, grafici, tabelle, "freccette" tra diagrammi di eulero venn e cosi via.
Per ora mi fermo qua e vi chiedo se siete d'accordo con quello che ho scritto.
Notate che la mia idea circa le funzioni, anche grazie alle vostre "ramanzine" , si è modificata con il tempo, e spero in positivo. Scusate eventuali errori grammaticali o di sintassi ma ho scritto velocemente.
Grazie a tutti!
1) tabellare;
2) grafico (superficie nello spazio in questo caso);
3) come soluzioni dell'equazione $pV=nRT$.
E' evidente come la terza modalità di organizzazione dei dati sperimentali, cioè l'equazione, sia la più efficiente, nonché la più sintetica.
Questo discorso, fatto per i gas perfetti, è assolutamente generale. In Fisica tutti i fenomeni sono descritti tramite equazioni.
Ora in Matematica si definisce funzione dall'insieme A all'insieme B una QUALUNQUE legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Alla luce di questa definizione, possiamo dire che:
1) un'equazione del tipo $y=3x$ è ad esempio una funzione, perchè se assegno un valore alla $x$, posso ricavare il valore della $y$. L'equazione di stato dei gas perfetti, se scritta nella forma $p=nR(T/V)$ ($n$ e $R$ sono numeri) è una funzione di due variabili a valori reali, per lo stesso motivo di prima. L'equazione del primo principio della termodinamica per trasformazioni cicliche $Q=L$, è una funzione. La relazione tra l'energia cinetica di un corpo, la sua massa e la sua velocità, $E=1/2 mv^2$, è una funzione (di due variabili), e cosi via.
2) Il grafico che si ottiene disegnando la traiettoria parabolica di un proiettile è una funzione, in quanto esso rappresenta una legge che permette di associare ad un'ascissa un'ordinata.
3) L'insieme di coppie ordinate (o tabella) che si ottiene organizzando dati sperimentali quali "istante di tempo" e "posizione di un punto materiale", può essere interpretato come una funzione ecc...
Quindi una funzione è un'oggetto matematico estremamente generale. Sono funzioni alcuni tipi di equazioni, grafici, tabelle, "freccette" tra diagrammi di eulero venn e cosi via.
Per ora mi fermo qua e vi chiedo se siete d'accordo con quello che ho scritto.
Notate che la mia idea circa le funzioni, anche grazie alle vostre "ramanzine"
, si è modificata con il tempo, e spero in positivo. Scusate eventuali errori grammaticali o di sintassi ma ho scritto velocemente.Grazie a tutti!
La definizione corretta di funzione non è stata data in nessuna delle tue interpretazioni. Prima di tutto si parla di relazioni. Una relazione $R$ è un insieme di coppie ordinate: per dire che la coppia ordinata $(x,y)$ sta in $R$ scriviamo anche $xRy$. Una funzione $f$ è una relazione tale per cui se $xfy$ e $xfz$ allora $y=z$. Si dimostra quindi che se $f$ è una funzione allora esiste un unico insieme $A$, detto dominio di $f$, ed esiste un unico insieme $B$, detto immagine di $f$, tali per cui $f$ è un sottoinsieme di $A\times B$, per ogni $x in A$ esiste un unico $y\in B$, denotato anche con $f(x)$, tale che $xfy$ e infine per ogni $y\in B$ esiste $x\in A$ tale che $xfy$. Questa è la matematica, il resto è spiegazione a parole.
Il concetto di funzione dovrebbe essere centrale in tutta la matematica, ed immediatamente successivo a quello di insieme. Le equazioni sono oggetti che vengono dopo, i cui ingredienti sono appunto le funzioni.
Quello di insieme è un concetto innato, che tutti abbiamo in testa; per questo i matematici preferiscono non definirlo, e lo considerano un concetto primitivo. Definire che cos'è un insieme sarebbe un inutile spreco di tempo e di energie, perchè si finirebbe con l'usare sinonimi che poi a sua volta andrebbero definiti. Dato dunque per scontato il concetto di insieme, è estremamente naturale fare queste due cose:
1) considerare un insieme, prendere due elementi dell'insieme e associarvi un elemento dello stesso insieme, prendere altre due coppie e associarvi un altro elemento dello stesso insieme. Prendiamo ad esempio l'insieme di tutti i colori esistenti. E' estremamente naturale associare al bianco ed al nero, ad esempio, il grigio; al bianco e al rosso, il rosa; al celeste e al nero, il blu e così via;
2) considerare due insiemi diversi, prendere un elemento del primo insieme ed associarvi uno ed un solo elemento del secondo insieme e così via sino ad esaurire tutti gli elementi del primo insieme. Ad esempio, consideriamo l'insieme delle vetture parcheggiate su una certa strada e l'insieme delle marche automobilistiche. Quando noi vediamo una vettura, è un processo immediato quello di associare a una certa vettura una ed una sola marca, e cosi via.
Questi due esempi hanno mostrato come il processo di associazione di un oggetto ad un altro o di due o più oggetti ad un altro sia estremamente naturale nella vita quotidiana. Che significa però "associazione"? Il significato comune lo conosciamo tutti, però tradurre in termini matematici il significato del termine "associazione" è alquanto impossibile. Insomma, nell'elaborazione della teoria matematica il concetto di "associazione" è un concetto primitivo, e dunque si preferisce non definirlo.
Ora, quando si fa un'associazione, si segue sempre un criterio. Nei due esempi che ho fatto, il criterio che ho seguito è un "criterio comune", cioè un criterio dato dall'esperienza quotidiana. Siccome mescolando il bianco e il nero ottengo il grigio, l'esperienza mi fa associare al bianco-nero il colore grigio. Tuttavia, se si vuole far si che tali osservazioni facciano parte di una teoria matematica, è necessario che il criterio utilizzato per fare l'associazione sia definito in modo rigoroso. Mi spiego. Si può "chiudere un'occhio" sul concetto di insieme e di associazione e considerarli come primitivi, però il criterio che si segue per fare l'associazione, se si vuole fare Matematica, deve essere definito in modo preciso e senza ambiguità. Dunque, in riferimento ai due esempi precedenti, la frase "il criterio che seguo per fare l'associazione è quello dell'esperienza comune" ha senso nel linguaggio comune, ma non ha senso matematico.
Ora la domanda successiva è: in che modo è possibile definire il criterio, la legge, l'insieme di informazioni che seguo e che mi permettono di fare l'associazione?
I modi più comuni sono:
1) insieme di coppie ordinate;
2) tabella.
Ritornando all'esempio dei colori, il criterio di associazione può essere definito in maniera rigirosa definendo l'insieme {((bianco,nero),grigio), ((bianco,rosso),rosa)} e così via. (Per fare questo bisogna però prima definire che cos'è una coppia ordinata e il prodotto cartesiano di due insiemi). Infatti, osservando l'insieme appena scritto ho delle informazioni che mi permettono di associare al bianco-nero il grigio, al bianco-rosso il rosa, e così via. L'insieme appena scritto è detto operazione.
Dunque, la funzione non è l'associazione. La funzione è l'insieme delle informazioni, definite in modo rigoroso (il criterio insomma), che seguo per fare un'associazione.
Detto questo, passiamo ai numeri. Ragioni di natura pratica conducono l'uomo ad introdurre un ente chiamato "numero" e a definire, secondo certe modalità, vari insiemi numerici. Inoltre, sempre ragioni di natura pratica mostrano la necessità di associare a numeri altri numeri dello stesso insieme e quindi conducono alla definizione delle 4 operazioni (in generale funzioni).
Per ora mi fermo qui, in attesa di qualche conferma autorevole.
EDIT: correzioni effettuate!!!
Quello di insieme è un concetto innato, che tutti abbiamo in testa; per questo i matematici preferiscono non definirlo, e lo considerano un concetto primitivo. Definire che cos'è un insieme sarebbe un inutile spreco di tempo e di energie, perchè si finirebbe con l'usare sinonimi che poi a sua volta andrebbero definiti. Dato dunque per scontato il concetto di insieme, è estremamente naturale fare queste due cose:
1) considerare un insieme, prendere due elementi dell'insieme e associarvi un elemento dello stesso insieme, prendere altre due coppie e associarvi un altro elemento dello stesso insieme. Prendiamo ad esempio l'insieme di tutti i colori esistenti. E' estremamente naturale associare al bianco ed al nero, ad esempio, il grigio; al bianco e al rosso, il rosa; al celeste e al nero, il blu e così via;
2) considerare due insiemi diversi, prendere un elemento del primo insieme ed associarvi uno ed un solo elemento del secondo insieme e così via sino ad esaurire tutti gli elementi del primo insieme. Ad esempio, consideriamo l'insieme delle vetture parcheggiate su una certa strada e l'insieme delle marche automobilistiche. Quando noi vediamo una vettura, è un processo immediato quello di associare a una certa vettura una ed una sola marca, e cosi via.
Questi due esempi hanno mostrato come il processo di associazione di un oggetto ad un altro o di due o più oggetti ad un altro sia estremamente naturale nella vita quotidiana. Che significa però "associazione"? Il significato comune lo conosciamo tutti, però tradurre in termini matematici il significato del termine "associazione" è alquanto impossibile. Insomma, nell'elaborazione della teoria matematica il concetto di "associazione" è un concetto primitivo, e dunque si preferisce non definirlo.
Ora, quando si fa un'associazione, si segue sempre un criterio. Nei due esempi che ho fatto, il criterio che ho seguito è un "criterio comune", cioè un criterio dato dall'esperienza quotidiana. Siccome mescolando il bianco e il nero ottengo il grigio, l'esperienza mi fa associare al bianco-nero il colore grigio. Tuttavia, se si vuole far si che tali osservazioni facciano parte di una teoria matematica, è necessario che il criterio utilizzato per fare l'associazione sia definito in modo rigoroso. Mi spiego. Si può "chiudere un'occhio" sul concetto di insieme e di associazione e considerarli come primitivi, però il criterio che si segue per fare l'associazione, se si vuole fare Matematica, deve essere definito in modo preciso e senza ambiguità. Dunque, in riferimento ai due esempi precedenti, la frase "il criterio che seguo per fare l'associazione è quello dell'esperienza comune" ha senso nel linguaggio comune, ma non ha senso matematico.
Ora la domanda successiva è: in che modo è possibile definire il criterio, la legge, l'insieme di informazioni che seguo e che mi permettono di fare l'associazione?
I modi più comuni sono:
1) insieme di coppie ordinate;
2) tabella.
Ritornando all'esempio dei colori, il criterio di associazione può essere definito in maniera rigirosa definendo l'insieme {((bianco,nero),grigio), ((bianco,rosso),rosa)} e così via. (Per fare questo bisogna però prima definire che cos'è una coppia ordinata e il prodotto cartesiano di due insiemi). Infatti, osservando l'insieme appena scritto ho delle informazioni che mi permettono di associare al bianco-nero il grigio, al bianco-rosso il rosa, e così via. L'insieme appena scritto è detto operazione.
Dunque, la funzione non è l'associazione. La funzione è l'insieme delle informazioni, definite in modo rigoroso (il criterio insomma), che seguo per fare un'associazione.
Detto questo, passiamo ai numeri. Ragioni di natura pratica conducono l'uomo ad introdurre un ente chiamato "numero" e a definire, secondo certe modalità, vari insiemi numerici. Inoltre, sempre ragioni di natura pratica mostrano la necessità di associare a numeri altri numeri dello stesso insieme e quindi conducono alla definizione delle 4 operazioni (in generale funzioni).
Per ora mi fermo qui, in attesa di qualche conferma autorevole.
EDIT: correzioni effettuate!!!
m isembra tutto interessante ma...qual'è la domanda?
Nessuna, semplicemente voglio essere sicuro di aver capito a fondo, dopo innumerevoli tentativi, il concetto di funzione.
Comunque grazie newton per il tempo che spendi leggendo i miei post
Comunque grazie newton per il tempo che spendi leggendo i miei post
Salve, aggiungo qualche altra cosa. Le 4 operazioni che ci insegnano sin dalla scuola elementare dovrebbero essere definite come insiemi di coppie ordinate, giusto?
Domande:
1) Qual è la prima funzione che si definisce subito dopo la definizione delle 4 operazioni?
2) Le funzioni radice, logaritmo, valore assoluto ecc...sono definite come insiemi di coppie ordinate oppure attraverso funzioni già precedentemente definite?
Grazie!
Domande:
1) Qual è la prima funzione che si definisce subito dopo la definizione delle 4 operazioni?
2) Le funzioni radice, logaritmo, valore assoluto ecc...sono definite come insiemi di coppie ordinate oppure attraverso funzioni già precedentemente definite?
Grazie!
"lisdap":
Salve, aggiungo qualche altra cosa. Le 4 operazioni che ci insegnano sin dalla scuola elementare dovrebbero essere definite come insiemi di coppie ordinate, giusto?
Beh, quella è la definizione formale di funzione, quindi...
Ma, a parte questo, dubito che riconosceresti le applicazioni di somma e prodotto tra numeri naturali se guardassi solo la loro definizione formale.
Infatti, la somma \(s(n,m)\) per esempio è definita usando il seguente teorema (se non ricordo male, le 1 e 2 seguenti sono le uniche proprietà che servono per definire la somma... Però potrebbe servire pure la commutatività, ora non ricordo bene):
Esiste un'unica applicazione \(s:\mathbb{N}^2\to \mathbb{N}\) che gode delle seguenti proprietà:
[list=1] [*:3ttt3sis] per ogni \(m\in \mathbb{N}\) si ha \(c(s(0,m))=c(m)\);
[/*:m:3ttt3sis]
[*:3ttt3sis] per ogni \(n,m\in \mathbb{N}\) si ha \(c(s(n,m))=s(n,c(m))\).[/*:m:3ttt3sis][/list:o:3ttt3sis]
ove \(c:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) è la funzione consecutivo (i.e., quella funzione iniettiva, non suriettiva e tale che \(c(\mathbb{N}) =\mathbb{N}\setminus \{0\}\)) che serve per definire formalmente i numeri naturali.
"lisdap":
1) Qual è la prima funzione che si definisce subito dopo la definizione delle 4 operazioni?
Ciò che importanza ha?
Ad ogni modo, di solito, per chiarezza espositiva, si preferisce definire prima la potenza ad esponente intero positivo (in \(\mathbb{N}\) e \(\mathbb{Z}\)) e quella ad esponente intero (\(\mathbb{Q}\)); poi le radici, gli esponenziali, i logaritmi le funzioni trigonometriche e quelle iperboliche (in \(\mathbb{R}\)).
"lisdap":
2) Le funzioni radice, logaritmo, valore assoluto ecc...sono definite come insiemi di coppie ordinate oppure attraverso funzioni già precedentemente definite?
Le funzioni sono funzioni, quindi sono sempre oggetti del medesimo tipo.
Ah, nota in paticolare, che radici e logaritmi si definiscono grazie ai teoremi di esistenza che hai dimostrato in Analisi I, i.e.:
\[
\forall n\in \mathbb{N} \text{ e } \forall x\geq 0,\ \exists ! a=a_x\geq 0:\ a^n=x \qquad \text{(per la radice } n\text{-esima)}
\]
il quale ti permette di dare un significato al simbolo \(\sqrt[n]{x}\) ponendo per definizione \(\sqrt[n]{x}:=a_x\); e:
\[
\forall \alpha \in ]0,1[\cup ]1,\infty[ \text{ e } \forall x>0,\ \exists ! a=a_{\alpha,x}\in \mathbb{R}:\ \alpha^a=x \qquad \text{(per il logaritmo di base } \alpha \text{)}
\]
il quale ti permette di dare un significato al simbolo \(\log_\alpha x\) ponendo per definizione \(\log_\alpha x:=a_{\alpha ,x}\).
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