Considerazioni sulle equazioni e sulle funzioni
Salve ragazzi, qualcuno potrebbe seguire questo mio discorso sulle funzioni e dirmi se è sensato?
Io sto cercando di rispondere alla domanda: perché le equazioni del tipo $y=8x$, $y=2e^x$, $z=2x+4y^2$ e così via vengono confuse con le funzioni $f(x)=8x$, $g(x)=2e^x$, $h(x,y)=2x+4y^2$? Queste sono equazioni e non funzioni!
Mi spiego meglio.
In Analisi Matematica si definisce funzione una qualunque legge che, dati due insiemi A e B, associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Quello di funzione è dunque un concetto molto generale, applicabile non solo ai numeri: io però supporrò che A e B siano due insiemi numerici. In questo caso, un "oggetto" che rispetta una definizione di questo tipo è una quantità variabile che varia al variare di certe variabili indipendenti. Per esempio, $8e^x$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, ed in particolare è una funzione, cioè è un "macchinario" che, preso come input un certo numero, restituisce un certo output. Ancora, $2x^2+3y$ è quantità variabile che varia al variare della $x$ e della $y$, $2x+3y+8z$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, della $y$ e della $z$, e cosi via. Insomma, quello di funzione è un concetto che rappresenta l'evoluzione del concetto di numero (quantità costante). Il numero è una quantità costante, che mal si presta a descrivere fenomeni che variano al variare di certe variabili.
Veniamo ora alle equazioni. Di equazioni ne esistono di tutti i tipi. Per esempio $x^2+3x=8x^3$ è un'equazione nella variabile $x$, $x+3y=2x$ è un'equazione nelle variabili $x$ ed $y$ e cosi via. Risolvere un'equazione significa trovare i valori che devono assumere le variabili in modo tale da soddisfarla, cioè da generare un'identità. Detto questo, è importante notare il fatto che un'equazione, qualunque essa sia, ha per "ingredienti" delle funzioni, cioè delle quantità variabili. Per esempio, per costruire l'equazione $x^2+3x=8x^3$ si prende una funzione $f(x)=x^2+3x$, una funzione $g(x)=8x^3$ e si impone che sia $f(x)=g(x)$. Per costruire l'equazione $x+3y=2x$ si prende una $f(x,y)=x+3y$, una $g(x)=2x$ e si pone $f(x,y)=g(x)$ e cosi via. Insomma, i singoli membri di un'equazione sono delle quantità variabili dipendenti da certe variabili indipendenti, cioè sono delle funzioni. Le funzioni rappresentano, come ho già detto prima, gli ingredienti di una equazione. Due funzioni messe in una relazione di uguaglianza definiscono un'equazione. Le equazioni sono molto importanti, infatti attraverso di esse sono formulate tutte le leggi fisiche. Per esempio, la legge oraria di un punto può essere un'equazione del tipo $x=3t-5$, il legame tra pressione, volume e temperatura di un gas perfetto è espresso da un'equazione del tipo $P=nRT/V$ e cosi via. Veniamo ora alla domanda iniziale: perché le equazioni del tipo $y=3x$, $z=3x+2y$, $P=nRT/V$ vengono confuse con le funzioni $f(x)=3x$, $g(x,y)=3x+2y$, $h(T,V)=nRT/V$? Risposta: se consideriamo per esempio l'equazione in tre variabili $z=3x+2y$, abbiamo che i suoi "ingredienti", come per tutte le equazioni, sono due funzioni, cioè due quantità variabili: $f(z)=z$ e $g(x,y)=3x+2y$ tali che $f(z)=g(x,y)$. Perchè un'equazione scritta in questo modo viene impropriamente confusa con la funzione $g(x,y)=3x+2y$, oggetto che non è una equazione, ma solo un numero variabile? La risposta a tale domanda sta nel fatto che, quando un'equazione è scritta in modo tale che essa sia esplicitata rispetto ad una variabile, si verifica la seguente circostanza. La funzione che compone il secondo membro dell'equazione è una $g(x,y)=3x+2y$, ed ha una certa immagine, cioè assume un certo insieme di valori al variare di $x$ ed $y$. Inoltre, la funzione $f(z)=z$, in virtù del segno di uguaglianza, prende in input gli output di $g(x,y)$ e non li modifica. Quindi, in equazioni della forma $z=3x+2y$, o anche della forma $y=8e^x$ e cosi via entrambe le funzioni componenti l'equazione hanno le stesse uscite e dunque equazioni di tal tipo possono essere confuse con la funzione al primo membro. E' cosi spiegato il motivo per cui si fa confusione tra l'equazione $y=8x$ e la funzione $f(x)=8x$: i membri componenti l'equazione $y=8x$ sono una funzione $g(y)=y$ ed una funzione $f(x)=8x$ tali che $g(y)=f(x)$. Al variare della $x$, il secondo membro dell'equazione assume certi valori, uguali ai valori che assume il primo membro. Dunque, è evidente che in questi casi equazioni del tipo $z=3x+2y$ non aggiungono nulla rispetto a quanto già detto dalla funzione che compone il secondo membro dell'equazione, cioè $g(x,y)=3x+2y$. In questi casi, e solo in questi casi, l'equazione può essere "riassunta" completamente da una delle funzioni componenti, cioè $g(x,y)=3x+2y$, in quanto il grafico di tale funzione mi dice già tutto sull'equazione, dal momento che osservandolo conosco tutte le soluzioni dell'equazione. Notiamo infine che per equazioni del tipo $x^2=x+y$, costituite dalle funzioni $f(x)=x^2$ e $g(x,y)=x+y$ questo discorso non vale; infatti, conoscere il grafico di una funzione non permette di sapere tutte le soluzioni.
Scusate se sono stato troppo lungo, ma ci tenevo ad essere preciso e non trascurare alcun dettaglio.
Io desidero solo capire, non chiedo altro. Questa questione non è affrontata da alcun libro di testo, né professori.
Due sono le cose: o è una questione elementare, ovvia come versare l'acqua nel bicchiere, oppure nessuno la reputa importante. Eppure vedo che da molte parti si passa con disinvoltura da espressioni del tipo $y=8x$, ad espressioni del tipo $f(x)=8x$, cioè da equazioni a funzioni, il che mi fa pensare che siano equivalenti. Il mio testo delle superiori scriveva tutte le funzioni come delle equazioni, mentre il mio libro di Analisi come delle quantità variabili e basta, confondendole però spesso con le equazioni sopra citate.
Io non studio per l'università, o per l'esame. Io studio per la vita. Gli esami che molti definiscono la "bestia nera" dei primi anni di ingegneria, li ho superati, e con buoni voti. Di certo però non è nel mio spirito archiviare la questione solo perchè l'esame l'ho già fatto. Spero di non aver detto stronzate e di guadagnare la stima dei matematici che leggono queste mie riflessioni.
Un'ultima considerazione: per voi matematici questa questione potrà essere banale. Non lo è però per me, che sono un aspirante ingegnere. Noi aspiranti ingegneri tiriamo avanti con le conoscenze di Algebra accumulate nelle scuole superiori, e null'altro della Matematica ci viene detto al di fuori dell'Analisi. Non ho mai letto un testo di Algebra universitario, quindi tutto quello che ho scritto sulle equazioni l'ho tirato fuori dalla mia testa e non so se sia corretto.
Io mi sforzo di far si che la Matematica per me non sia qualcosa di meccanico, che si fa cosi perchè cosi mi è stato sempre detto. Spero abbiate capito la mia "filosofia" ed il mio modo di approcciarmi allo studio.
Dunque cercate di essere comprensivi e di non bastonarmi troppo
.
Grazie mille e buon fine settimana!
Io sto cercando di rispondere alla domanda: perché le equazioni del tipo $y=8x$, $y=2e^x$, $z=2x+4y^2$ e così via vengono confuse con le funzioni $f(x)=8x$, $g(x)=2e^x$, $h(x,y)=2x+4y^2$? Queste sono equazioni e non funzioni!
Mi spiego meglio.
In Analisi Matematica si definisce funzione una qualunque legge che, dati due insiemi A e B, associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Quello di funzione è dunque un concetto molto generale, applicabile non solo ai numeri: io però supporrò che A e B siano due insiemi numerici. In questo caso, un "oggetto" che rispetta una definizione di questo tipo è una quantità variabile che varia al variare di certe variabili indipendenti. Per esempio, $8e^x$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, ed in particolare è una funzione, cioè è un "macchinario" che, preso come input un certo numero, restituisce un certo output. Ancora, $2x^2+3y$ è quantità variabile che varia al variare della $x$ e della $y$, $2x+3y+8z$ è una quantità variabile che varia al variare della $x$, della $y$ e della $z$, e cosi via. Insomma, quello di funzione è un concetto che rappresenta l'evoluzione del concetto di numero (quantità costante). Il numero è una quantità costante, che mal si presta a descrivere fenomeni che variano al variare di certe variabili.
Veniamo ora alle equazioni. Di equazioni ne esistono di tutti i tipi. Per esempio $x^2+3x=8x^3$ è un'equazione nella variabile $x$, $x+3y=2x$ è un'equazione nelle variabili $x$ ed $y$ e cosi via. Risolvere un'equazione significa trovare i valori che devono assumere le variabili in modo tale da soddisfarla, cioè da generare un'identità. Detto questo, è importante notare il fatto che un'equazione, qualunque essa sia, ha per "ingredienti" delle funzioni, cioè delle quantità variabili. Per esempio, per costruire l'equazione $x^2+3x=8x^3$ si prende una funzione $f(x)=x^2+3x$, una funzione $g(x)=8x^3$ e si impone che sia $f(x)=g(x)$. Per costruire l'equazione $x+3y=2x$ si prende una $f(x,y)=x+3y$, una $g(x)=2x$ e si pone $f(x,y)=g(x)$ e cosi via. Insomma, i singoli membri di un'equazione sono delle quantità variabili dipendenti da certe variabili indipendenti, cioè sono delle funzioni. Le funzioni rappresentano, come ho già detto prima, gli ingredienti di una equazione. Due funzioni messe in una relazione di uguaglianza definiscono un'equazione. Le equazioni sono molto importanti, infatti attraverso di esse sono formulate tutte le leggi fisiche. Per esempio, la legge oraria di un punto può essere un'equazione del tipo $x=3t-5$, il legame tra pressione, volume e temperatura di un gas perfetto è espresso da un'equazione del tipo $P=nRT/V$ e cosi via. Veniamo ora alla domanda iniziale: perché le equazioni del tipo $y=3x$, $z=3x+2y$, $P=nRT/V$ vengono confuse con le funzioni $f(x)=3x$, $g(x,y)=3x+2y$, $h(T,V)=nRT/V$? Risposta: se consideriamo per esempio l'equazione in tre variabili $z=3x+2y$, abbiamo che i suoi "ingredienti", come per tutte le equazioni, sono due funzioni, cioè due quantità variabili: $f(z)=z$ e $g(x,y)=3x+2y$ tali che $f(z)=g(x,y)$. Perchè un'equazione scritta in questo modo viene impropriamente confusa con la funzione $g(x,y)=3x+2y$, oggetto che non è una equazione, ma solo un numero variabile? La risposta a tale domanda sta nel fatto che, quando un'equazione è scritta in modo tale che essa sia esplicitata rispetto ad una variabile, si verifica la seguente circostanza. La funzione che compone il secondo membro dell'equazione è una $g(x,y)=3x+2y$, ed ha una certa immagine, cioè assume un certo insieme di valori al variare di $x$ ed $y$. Inoltre, la funzione $f(z)=z$, in virtù del segno di uguaglianza, prende in input gli output di $g(x,y)$ e non li modifica. Quindi, in equazioni della forma $z=3x+2y$, o anche della forma $y=8e^x$ e cosi via entrambe le funzioni componenti l'equazione hanno le stesse uscite e dunque equazioni di tal tipo possono essere confuse con la funzione al primo membro. E' cosi spiegato il motivo per cui si fa confusione tra l'equazione $y=8x$ e la funzione $f(x)=8x$: i membri componenti l'equazione $y=8x$ sono una funzione $g(y)=y$ ed una funzione $f(x)=8x$ tali che $g(y)=f(x)$. Al variare della $x$, il secondo membro dell'equazione assume certi valori, uguali ai valori che assume il primo membro. Dunque, è evidente che in questi casi equazioni del tipo $z=3x+2y$ non aggiungono nulla rispetto a quanto già detto dalla funzione che compone il secondo membro dell'equazione, cioè $g(x,y)=3x+2y$. In questi casi, e solo in questi casi, l'equazione può essere "riassunta" completamente da una delle funzioni componenti, cioè $g(x,y)=3x+2y$, in quanto il grafico di tale funzione mi dice già tutto sull'equazione, dal momento che osservandolo conosco tutte le soluzioni dell'equazione. Notiamo infine che per equazioni del tipo $x^2=x+y$, costituite dalle funzioni $f(x)=x^2$ e $g(x,y)=x+y$ questo discorso non vale; infatti, conoscere il grafico di una funzione non permette di sapere tutte le soluzioni.
Scusate se sono stato troppo lungo, ma ci tenevo ad essere preciso e non trascurare alcun dettaglio.
Io desidero solo capire, non chiedo altro. Questa questione non è affrontata da alcun libro di testo, né professori.
Due sono le cose: o è una questione elementare, ovvia come versare l'acqua nel bicchiere, oppure nessuno la reputa importante. Eppure vedo che da molte parti si passa con disinvoltura da espressioni del tipo $y=8x$, ad espressioni del tipo $f(x)=8x$, cioè da equazioni a funzioni, il che mi fa pensare che siano equivalenti. Il mio testo delle superiori scriveva tutte le funzioni come delle equazioni, mentre il mio libro di Analisi come delle quantità variabili e basta, confondendole però spesso con le equazioni sopra citate.
Io non studio per l'università, o per l'esame. Io studio per la vita. Gli esami che molti definiscono la "bestia nera" dei primi anni di ingegneria, li ho superati, e con buoni voti. Di certo però non è nel mio spirito archiviare la questione solo perchè l'esame l'ho già fatto. Spero di non aver detto stronzate e di guadagnare la stima dei matematici che leggono queste mie riflessioni.
Un'ultima considerazione: per voi matematici questa questione potrà essere banale. Non lo è però per me, che sono un aspirante ingegnere. Noi aspiranti ingegneri tiriamo avanti con le conoscenze di Algebra accumulate nelle scuole superiori, e null'altro della Matematica ci viene detto al di fuori dell'Analisi. Non ho mai letto un testo di Algebra universitario, quindi tutto quello che ho scritto sulle equazioni l'ho tirato fuori dalla mia testa e non so se sia corretto.
Io mi sforzo di far si che la Matematica per me non sia qualcosa di meccanico, che si fa cosi perchè cosi mi è stato sempre detto. Spero abbiate capito la mia "filosofia" ed il mio modo di approcciarmi allo studio.
Dunque cercate di essere comprensivi e di non bastonarmi troppo
.Grazie mille e buon fine settimana!
Risposte
Iinizio dicendo che spesso si dà un nome all'output delle funzioni: quindi le espressioni $y=8x$ e $f(x)=8x$ sono equivalenti perchè si pone $y=f(x)$ in cui la variabile $x$ è indipendente mentre $y$ dipende da $x$ attraverso la legge che definisce la funzione.
PIù che altro sono vecchie convenzioni, precedenti alla formalizzazione moderna del concetto di funzione, che poi sono rimaste nell'uso, proprio come i \(dx\) del calcolo differenziale e integrale. Spesso tali convenzioni fanno a pugni con il formalismo moderno ma con un po' di elasticità si riesce sempre a ricostruirne un significato preciso.
Ad esempio, una scrittura come \(y=8x\) formalmente non individua una funzione, ma un luogo di punti del piano cartesiano. Solo che tale luogo di punti è grafico di una funzione della \(x\) e quindi si può confondere con quest'ultima. Personalmente trovo scorretto e brutto scrivere "sia data la funzione \(y=8x\)", come si fa nei libri di scuola superiore, ma tant'è.
Ad esempio, una scrittura come \(y=8x\) formalmente non individua una funzione, ma un luogo di punti del piano cartesiano. Solo che tale luogo di punti è grafico di una funzione della \(x\) e quindi si può confondere con quest'ultima. Personalmente trovo scorretto e brutto scrivere "sia data la funzione \(y=8x\)", come si fa nei libri di scuola superiore, ma tant'è.
Ciao 
per quel che può contare, ti avrei dato la stessa risposta di dissonance. E' una questione che mi sono più volte posto anch'io, prima di giungere ad una conclusione (che a questo punto posso ritenere dotata di fondamento, dato che lo conferma un matematico ).
Non so se questo tuo post ti abbia garantito quella dei matematici, ma, per quel che conta, ti ha fatto guadagnare tutta la mia stima Sono pochi, almeno tra noi aspiranti ingengeri, quelli che ragionano come te (anzi, direi, che ragionano e basta...), e che hanno un certo spirito critico verso quello che viene loro insegnato. Buona fortuna!
Ciao
per quel che può contare, ti avrei dato la stessa risposta di dissonance. E' una questione che mi sono più volte posto anch'io, prima di giungere ad una conclusione (che a questo punto posso ritenere dotata di fondamento, dato che lo conferma un matematico ).Non so se questo tuo post ti abbia garantito quella dei matematici, ma, per quel che conta, ti ha fatto guadagnare tutta la mia stima
Sono pochi, almeno tra noi aspiranti ingengeri, quelli che ragionano come te (anzi, direi, che ragionano e basta...), e che hanno un certo spirito critico verso quello che viene loro insegnato. Buona fortuna!Ciao
"Plepp":Non esageriamo, sono solo uno studente!
lo conferma un matematico
"Plepp":
Non so se questo tuo post ti abbia garantito quella dei matematici, ma, per quel che conta, ti ha fatto guadagnare tutta la mia stima
@lisdap: Pure io ti stimo molto per questo tuo approccio e mi rendo conto della difficoltà che stai affrontando. Vedo anche che stai migliorando, insisti e vedrai che andrà sempre meglio. Cerca di essere più sintetico però, soprattutto per te: queste questioni che ti stanno angustiando tanto in realtà sono cose che non meritano più di due parole (anche se per trovarle potrebbe essere necessaria una lunga riflessione).
BTW: le osservazioni di Plepp non si limitano certo agli ingegneri. A quanto vedo io esse valgono anche per una gran parte degli studenti di matematica.
"dissonance":Non esageriamo, sono solo uno studente![/quote]
[quote="Plepp"]lo conferma un matematico
Penso che per queste cose importi poco essere studente o avere un pezzo di carta che attesti che tu sei un matematico...
Capitò, quando preparavo analisi II, che chiesi delle delucidazioni su qualche argomento particolare ad un sedicente laureato in matematica del mio paese...a farla breve, ero io che ricordavo i Teoremi a lui...finchè non riconobbe la sua incompetenza e se ne andò, naturalmente,senza chiedermi un centesimo per la "lezione"...si vede che quando era studente rientrava nella categoria di cui abbiamo parlato...
Leggendo i tuoi post invece, dissonance, si vede che sei una persona che ragiona nonchè estremamente preparata, almeno dal mio punto di vista
quindi se non prenderò come verità assolute le tue affermazioni (cosa che non si dovrebbe fare mai, con chiunque) per lo meno mi sento di dovergli dare un gran peso. Ecco il perchè della mia frase Ciao"dissonance":
Cerca di essere più sintetico però
Quoto
Grazie ragazzi, mi fa davvero piacere leggere quello che avete scritto e che ci sono persone come voi che condividono questo stesso mio approccio all'apprendimento 
Per quanto riguarda la sinteticità....si, avete perfettamente ragione, spesso i miei interventi sono lunghi ed inutilmente minuziosi, e ciò è un pò una caratteristica del mio stile di scrittura. Però dissonance, come tu stesso hai detto, la sintesi arriva nel momento in cui si ha piena consapevolezza dell'argomento.
Che dire, vi ringrazio tanto per la stima che avete mostrato nei miei confronti, spesso per mia natura mi faccio domande apparentemente "assurde", ed il fatto che nessuno si ponga domande simili mi fa a volte pensare di essere "pazzo" o avere una mente distorta
.....
Per quanto riguarda la sinteticità....si, avete perfettamente ragione, spesso i miei interventi sono lunghi ed inutilmente minuziosi, e ciò è un pò una caratteristica del mio stile di scrittura. Però dissonance, come tu stesso hai detto, la sintesi arriva nel momento in cui si ha piena consapevolezza dell'argomento.
Che dire, vi ringrazio tanto per la stima che avete mostrato nei miei confronti, spesso per mia natura mi faccio domande apparentemente "assurde", ed il fatto che nessuno si ponga domande simili mi fa a volte pensare di essere "pazzo" o avere una mente distorta
.....
[OT] Piccola curiosità: dove studi, lisdap? [/OT]
Studio all'università di Roma Tor Vergata.
Effettivamente è una notazione che anche a me non piace molto.
Se però ricordiamo che, per definizione, una funzione da \(A\) a \(B\) è un insieme \(f\subset A\times B\) tale che per ogni \(a\in A\) esiste un unico \(b\in B\) t.c. \((a,b)\in f\), anche una notazione del tipo \(y=2x\) non è poi così sbagliata...
Se però ricordiamo che, per definizione, una funzione da \(A\) a \(B\) è un insieme \(f\subset A\times B\) tale che per ogni \(a\in A\) esiste un unico \(b\in B\) t.c. \((a,b)\in f\), anche una notazione del tipo \(y=2x\) non è poi così sbagliata...
Salve ragazzi, volevo fare qualche altra considerazione su questo discorso, riassumendone i punti fondamentali e collegandomi anche a questa discussione che ho iniziato alcuni mesi fa:
come-si-indica-una-funzione-e-sua-definizione-t85823.html
Ora sembra che la questione mi è definitivamente chiara.
Per una maggiore immediatezza, parto da un esempio fisico. Supponiamo di avere un punto materiale che si muove lungo una certa traiettoria. Se fisso un sistema di riferimento, vedrò che in ogni istante di tempo il punto materiale avrà occupato una certa posizione. Se studio il fenomeno in un certo intervallo $[t_1,t_2]$ di tempo, avrò che esso è completamente descritto una volta che avrò indicato l'insieme di tutte le coppie ordinate $(t, P)$, dove il primo elemento è l'istante considerato ed il secondo elemento è la posizione occupata dal punto in quell'istante. Ovviamente il numero di tali coppie ordinate è infinito e di certo non posso descrivere il fenomeno scrivendo un insieme di infinite coppie ordinate. I matematici hanno allora elaborato un modo sintetico per rappresentare un insieme di coppie ordinate: considerare le soluzioni di un' equazione. Nel nostro caso, si ha che l'insieme di tutte quelle coppie ordinate è rappresentato efficacemente dalle soluzioni del sistema di equazioni $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$, con $t in [a,b]$. L'equazione è uno strumento potente, in quanto permette di dire in una riga quello che avresti dovuto dire in infinite pagine: consideriamo l'insieme (infinito) di tutte le coppie ordinate del tipo $(t,P)$. Basta invece solo dire: consideriamo le soluzioni del sistema di equazioni $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$. Ora, come già ho detto prima, un modo ancora più sintetico per rappresentare quell'insieme di coppie ordinate è dire: consideriamo il grafico di $(x(t), y(t), z(t))$. E' evidente dunque che un insieme opportuno di coppie ordinate può essere espresso in maniera sintetica da equazioni in questo caso del tipo $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ oppure dal grafico delle quantità variabili $(x(t), y(t), z(t))$. A questo punto dunque, come già aveva detto Rigel nel post sopra di me, si capisce come la vera definizione di funzione sia quella di particolare sottoinsieme di un certo prodotto cartesiano, con la regola che non devono esistere due coppie ordinate diverse che hanno lo stesso primo elemento.
Aggiungo inoltre che non tutti gli insiemi di coppie ordinate sono funzioni. Per esempio, l'insieme di coppie ordinate che genera una circonferenza (unitaria supponiamo), è rappresentato dalle soluzioni di $x^2+y^2=1$. Siccome esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, possiamo dire che la circonferenza non è una funzione.
Insomma, per concludere questo discorso, quello che voglio dire è che il concetto di equazione rappresenta un modo sintetico per indicare un insieme di coppie ordinate (di qualunque natura esse siano, fisica, matematica, statistica ecc..). In alcuni casi, tale rappresentazione, già resa sintetica dalla scrittura di un'equazione per esempio del tipo $y=y(x)$ può essere ulteriormente sintetizzata considerando solo il grafico di $y(x)$: infatti, il suo grafico è costituito da coppie ordinate che sono ovviamente soluzioni di $y=y(x)$.
Grazie a tutti per le risposte
come-si-indica-una-funzione-e-sua-definizione-t85823.html
Ora sembra che la questione mi è definitivamente chiara.
Per una maggiore immediatezza, parto da un esempio fisico. Supponiamo di avere un punto materiale che si muove lungo una certa traiettoria. Se fisso un sistema di riferimento, vedrò che in ogni istante di tempo il punto materiale avrà occupato una certa posizione. Se studio il fenomeno in un certo intervallo $[t_1,t_2]$ di tempo, avrò che esso è completamente descritto una volta che avrò indicato l'insieme di tutte le coppie ordinate $(t, P)$, dove il primo elemento è l'istante considerato ed il secondo elemento è la posizione occupata dal punto in quell'istante. Ovviamente il numero di tali coppie ordinate è infinito e di certo non posso descrivere il fenomeno scrivendo un insieme di infinite coppie ordinate. I matematici hanno allora elaborato un modo sintetico per rappresentare un insieme di coppie ordinate: considerare le soluzioni di un' equazione. Nel nostro caso, si ha che l'insieme di tutte quelle coppie ordinate è rappresentato efficacemente dalle soluzioni del sistema di equazioni $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$, con $t in [a,b]$. L'equazione è uno strumento potente, in quanto permette di dire in una riga quello che avresti dovuto dire in infinite pagine: consideriamo l'insieme (infinito) di tutte le coppie ordinate del tipo $(t,P)$. Basta invece solo dire: consideriamo le soluzioni del sistema di equazioni $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$. Ora, come già ho detto prima, un modo ancora più sintetico per rappresentare quell'insieme di coppie ordinate è dire: consideriamo il grafico di $(x(t), y(t), z(t))$. E' evidente dunque che un insieme opportuno di coppie ordinate può essere espresso in maniera sintetica da equazioni in questo caso del tipo $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ oppure dal grafico delle quantità variabili $(x(t), y(t), z(t))$. A questo punto dunque, come già aveva detto Rigel nel post sopra di me, si capisce come la vera definizione di funzione sia quella di particolare sottoinsieme di un certo prodotto cartesiano, con la regola che non devono esistere due coppie ordinate diverse che hanno lo stesso primo elemento.
Aggiungo inoltre che non tutti gli insiemi di coppie ordinate sono funzioni. Per esempio, l'insieme di coppie ordinate che genera una circonferenza (unitaria supponiamo), è rappresentato dalle soluzioni di $x^2+y^2=1$. Siccome esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, possiamo dire che la circonferenza non è una funzione.
Insomma, per concludere questo discorso, quello che voglio dire è che il concetto di equazione rappresenta un modo sintetico per indicare un insieme di coppie ordinate (di qualunque natura esse siano, fisica, matematica, statistica ecc..). In alcuni casi, tale rappresentazione, già resa sintetica dalla scrittura di un'equazione per esempio del tipo $y=y(x)$ può essere ulteriormente sintetizzata considerando solo il grafico di $y(x)$: infatti, il suo grafico è costituito da coppie ordinate che sono ovviamente soluzioni di $y=y(x)$.
Grazie a tutti per le risposte
"lisdap":
Aggiungo inoltre che non tutti gli insiemi di coppie ordinate sono funzioni.
Qui ti riferisci alla definizione algebrica di funzione come parte di un prodotto cartesiano con certe proprietà... Ma ti accorgerai presto che dovrai rinunciare ben presto ad essa, non appena entrerai nel reame dell'Analisi Complessa.
Anche perciò ti ripeto: non ci pensare su troppo lisdap.
Sono questioni di lana caprina davvero "inutili".
"lisdap":
Per esempio, l'insieme di coppie ordinate che genera una circonferenza (unitaria supponiamo), è rappresentato dalle soluzioni di $x^2+y^2=1$. Siccome esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, possiamo dire che la circonferenza non è una funzione.
Falso.
Ad esempio \([0,2\pi[\ni t\mapsto (\cos t, \sin t)\in \mathbb{R}^2\) è una funzione che descrive tutti i punti della tua circonferenza.
Quindi, il fatto che una circonferenza sia o meno il diagramma del grafico di una funzione dipende da quale tipo di funzione hai in mente di usare, cioè dipende da quale tipo di "rappresentazione" di quell'insieme hai voglia di usare.
Ma poi, anche a livello terminologico, non ci siamo proprio. È scorretto dire "una circonferenza non è una funzione" (confondendo un oggetto geometrico con un oggetto algebrico); al massimo una circonferenza può essere il diagramma del grafico di una funzione.
"lisdap":
Insomma, per concludere questo discorso, quello che voglio dire è che il concetto di equazione rappresenta un modo sintetico per indicare un insieme di coppie ordinate (di qualunque natura esse siano, fisica, matematica, statistica ecc..). In alcuni casi, tale rappresentazione, già resa sintetica dalla scrittura di un'equazione per esempio del tipo $y=y(x)$ può essere ulteriormente sintetizzata considerando solo il grafico di $y(x)$: infatti, il suo grafico è costituito da coppie ordinate che sono ovviamente soluzioni di $y=y(x)$.
Falso.
Un'equazione è innanzitutto un problema; che poi, con un abuso più o meno lieve, si parli di "equazione di un luogo geometrico (o di altre zozzerie simili)" è un'altra questione (correlata a questa, però).
In particolare:
Un'equazione è il problema di determinare se esistono (ed, eventualmente, calcolare esplicitamente) dei punti \(\bar{x}\) appartenenti ad un insieme non vuoto \(X\) tali che \(f(\bar{x})=y\), ove \(Y\) è non vuoto, \(y\) è un punto fissato di \(Y\) ed \(f:X\to Y\).
Questo problema di solito si denota sinteticamente col simbolo \(f(x)=y\), ove l'elemento \(x\) è detto incognita.
Alla luce della definizione di equazione data sopra, il termine "equazione di un insieme di punti del piano" è usato in questo senso:
Si dice che un insieme di punti \(\Gamma \subseteq \mathbb{R}^2\) ha equazione cartesiana (implicita) \(f(x_1,x_2)=0\) se e solo se, introdotto un opportuno sistema di riferimento in \(\mathbb{R}^2\), i punti di \((x_1,x_2)\in \Gamma\) sono tutte e sole le soluzioni dell'equazione \(f(x_1,x_2)=0\) (ove \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\)).
"gugo82":
[quote="lisdap"]Per esempio, l'insieme di coppie ordinate che genera una circonferenza (unitaria supponiamo), è rappresentato dalle soluzioni di $x^2+y^2=1$. Siccome esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, possiamo dire che la circonferenza non è una funzione.
Falso.
Ad esempio \([0,2\pi[\ni t\mapsto (\cos t, \sin t)\in \mathbb{R}^2\) è una funzione che descrive tutti i punti della tua circonferenza.[/quote]
Ciao, però se tu consideri il grafico di quello che hai scritto, grafico che sta in $RR^3$, non hai una circonferenza. Se prendi le terne ordinate costituite dal parametro e da $x$ ed $y$ quel grafico non ti descrive una circonferenza.
"gugo82":
Ma poi, anche a livello terminologico, non ci siamo proprio. È scorretto dire "una circonferenza non è una funzione" (confondendo un oggetto geometrico con un oggetto algebrico); al massimo una circonferenza può essere il diagramma del grafico di una funzione.
Si, hai ragione, intendevo dire: l'insieme delle coppie ordinate che rappresentate su un piano x-y è una circonferenza non è una funzione
"gugo82":
[quote="lisdap"]Insomma, per concludere questo discorso, quello che voglio dire è che il concetto di equazione rappresenta un modo sintetico per indicare un insieme di coppie ordinate (di qualunque natura esse siano, fisica, matematica, statistica ecc..). In alcuni casi, tale rappresentazione, già resa sintetica dalla scrittura di un'equazione per esempio del tipo $y=y(x)$ può essere ulteriormente sintetizzata considerando solo il grafico di $y(x)$: infatti, il suo grafico è costituito da coppie ordinate che sono ovviamente soluzioni di $y=y(x)$.
Falso.
Un'equazione è innanzitutto un problema; che poi, con un abuso più o meno lieve, si parli di "equazione di un luogo geometrico (o di altre zozzerie simili)" è un'altra questione (correlata a questa, però).[/quote]
Non sono d'accordissimo. Per me un'equazione è un qualcosa che descrive un insieme di n-uple ordinate.
"lisdap":
[quote="gugo82"]
[quote="lisdap"]Per esempio, l'insieme di coppie ordinate che genera una circonferenza (unitaria supponiamo), è rappresentato dalle soluzioni di $x^2+y^2=1$. Siccome esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, possiamo dire che la circonferenza non è una funzione.
Falso.
Ad esempio \([0,2\pi[\ni t\mapsto (\cos t, \sin t)\in \mathbb{R}^2\) è una funzione che descrive tutti i punti della tua circonferenza.[/quote]
Ciao, però se tu consideri il grafico di quello che hai scritto, grafico che sta in $RR^3$, non hai una circonferenza. Se prendi le terne ordinate costituite dal parametro e da $x$ ed $y$ quel grafico non ti descrive una circonferenza.[/quote]
Appunto, è un problema di rappresentazione.
Tu hai deciso unilateralmente, senza specificarlo, di voler identificare quel luogo geometrico con il diagramma del grafico di una funzione univoca.
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Ma poi, anche a livello terminologico, non ci siamo proprio. È scorretto dire "una circonferenza non è una funzione" (confondendo un oggetto geometrico con un oggetto algebrico); al massimo una circonferenza può essere il diagramma del grafico di una funzione.
Si, hai ragione, intendevo dire: l'insieme delle coppie ordinate che rappresentate su un piano x-y è una circonferenza non è una funzione[/quote]
Già è un po' più corretto...
"lisdap":
[quote="gugo82"][quote="lisdap"]Insomma, per concludere questo discorso, quello che voglio dire è che il concetto di equazione rappresenta un modo sintetico per indicare un insieme di coppie ordinate (di qualunque natura esse siano, fisica, matematica, statistica ecc..). In alcuni casi, tale rappresentazione, già resa sintetica dalla scrittura di un'equazione per esempio del tipo $y=y(x)$ può essere ulteriormente sintetizzata considerando solo il grafico di $y(x)$: infatti, il suo grafico è costituito da coppie ordinate che sono ovviamente soluzioni di $y=y(x)$.
Falso.
Un'equazione è innanzitutto un problema; che poi, con un abuso più o meno lieve, si parli di "equazione di un luogo geometrico (o di altre zozzerie simili)" è un'altra questione (correlata a questa, però).[/quote]
Non sono d'accordissimo. Per me un'equazione è un qualcosa che descrive un insieme di n-uple ordinate.[/quote]
Bene, allora, visto che vogliamo essere formali, dammi una definizione decente di equazione.
"gugo82":
Bene, allora, visto che vogliamo essere formali, dammi una definizione decente di equazione.
Un'uguaglianza tra due membri dove in ognuno dei membri compaiono delle variabili dette incognite.
Facciamo questo esperimento. Muniamoci di termometro ed in istanti sufficientemente ravvicinati misuriamo nell'arco di 24 ore la temperatura di una certa stanza. Otterremo un insieme abbastanza numeroso di coppie ordinate dove il primo elemento è l'istante considerato ed il secondo elemento è la temperatura della stanza. Ora io potrei essere un asino in matematica e scrivo soltanto un insieme che ha per elementi tutte queste coppie ordinate. Questo metodo è poco efficace, dal momento che se voglio sapere qual è la temperatura in un certo istante mi devo mettere a cercare la coppia ordinata che mi interessa. Un metodo molto più sintetico è, allora dire: sia $t$ il tempo e $T$ la temperatura: consideriamo le soluzioni dell'equazione $T=9t^2$ (ovviamente è un esempio). Un equazione dunque mi permette di dire in mezza riga quello che ho detto a parole in 10 righe.
Ancora più sintetico: consideriamo il monomio $9t^2$. Dopo aver definito che cos'è il grafico di $9t^2$ dico: consideriamo le coppie ordinate che costituiscono il grafico del monomio $9t^2$. Il grafico (cioè un insieme di coppie ordinate) di $9t^2$ lo chiamo funzione. Siccome il grafico di $9t^2$ è tale che non esistono due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, dico che una funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano che gose di questa proprietà.
Altro esempio, più matematico: prendo un foglio e faccio con il compasso una circonferenza.
Metto quindi in corrispondenza biunivoca i punti del foglio con gli elementi di $RR^2$ e mi accorgo che ogni punto della circonferenza può essere identificato dalle sue proiezioni lungo i due assi. Quindi deduco che matematicamente una circonferenza si può rappresentare come un insieme di coppie ordinate. Le coppie ordinate $(x,y)$ sono numerose, quindi devo trovare un modo più veloce per rappresentarle matematicamente: smanettando un poco, scopro quindi che non c'è modo migliore di dire che le coppie ordinate che sto considerando sono quelle che soddisfano l'equazione $x^2+y^2=R^2$.
In questo caso, però, non è verificata la proprietà secondo la quale non devono esistere due coppie ordinate con lo stesso primo elemento, affinché si possa parlare di funzione. Allora concludo che le coppie ordinate che rappresentano una circonferenza non sono una funzione.
Cosa c'è che non va in questi esempi da ingegnere
?Grazie!
P.S=Ho letto che sei un docente alla facoltà di ingegneria. Bene, supponiamo che io sono un tuo alunno e che ti faccio la domanda: "Perchè sui libri di Analisi si indicano con il termine funzione entrambe le scritture $z=2x+3y$ e $2x+3y$, nonostante la prima indichi un'equazione (c'è il simbolo di uguaglianza appunto) e la seconda un polinomio in $x$ ed $y$"?
Io dò questa risposta: "perchè sia le soluzioni dell'equazione, sia il grafico del polinomio rappresentano lo stesso insieme di coppie ordinate". Dunque, siccome per definizione una funzione è un insieme di coppie ordinate, allora, è lecito confondere $z=2x+3y$ con $2x+3y$.
Non vedo perchè ci debbano essere problemi a considerare come definizione di funzione quella di particolare sottoinsieme del prodotto cartesiano.
Tant'è che Rigel afferma:
"Effettivamente è una notazione che anche a me non piace molto.
Se però ricordiamo che, per definizione, una funzione da \(A\) a \(B\) è un insieme \(f\subset A\times B\) tale che per ogni \(a\in A\) esiste un unico \(b\in B\) t.c. \((a,b)\in f\), anche una notazione del tipo \(y=2x\) non è poi così sbagliata..."
Che ne pensi?
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Bene, allora, visto che vogliamo essere formali, dammi una definizione decente di equazione.
Un'uguaglianza tra due membri dove in ognuno dei membri compaiono delle variabili dette incognite.[/quote]
E che vuol dire?
Cerco di spiegare in parole poverissime il mio punto di vista.
Un'uguaglianza è un'uguaglianza, non un'equazione.
Insomma, \(a=b\) significa che "ad ogni occorrenza del simbolo \(a\) in una formula può essere sostituita un'occorrenza del simbolo \(b\) senza che la formula stessa perda significato". Quindi, un'uguaglianza è tale, cioè è vera per sua stessa natura e non va "risolta" per saper che essa è vera.
Un'equazione, invece, va "risolta" poiché è, per sua stessa natura, una relazione che non vale sempre.
E, visto che "qualcosa che va risolto" di solito lo si chiama "problema", un'equazione è un problema, cioè il problema di determinare per quali valori della variabile è vera una data relazione (che, nei casi scemi, è un'uguaglianza; ma può benissimo essere una congruenza, una relazione d'appartenenza ad un insieme, etc...).
"lisdap":
P.S=Ho letto che sei un docente alla facoltà di ingegneria. Bene, supponiamo che io sono un tuo alunno e che ti faccio la domanda: "Perchè sui libri di Analisi si indicano con il termine funzione entrambe le scritture $z=2x+3y$ e $2x+3y$, nonostante la prima indichi un'equazione (c'è il simbolo di uguaglianza appunto) e la seconda un polinomio in $x$ ed $y$"?
Io dò questa risposta: "perchè sia le soluzioni dell'equazione, sia il grafico del polinomio rappresentano lo stesso insieme di coppie ordinate". Dunque, siccome per definizione una funzione è un insieme di coppie ordinate, allora, è lecito confondere $z=2x+3y$ con $2x+3y$.
Non vedo perchè ci debbano essere problemi a considerare come definizione di funzione quella di particolare sottoinsieme del prodotto cartesiano.
Tant'è che Rigel afferma:
"Effettivamente è una notazione che anche a me non piace molto.
Se però ricordiamo che, per definizione, una funzione da \(A\) a \(B\) è un insieme \(f\subset A\times B\) tale che per ogni \(a\in A\) esiste un unico \(b\in B\) t.c. \((a,b)\in f\), anche una notazione del tipo \(y=2x\) non è poi così sbagliata..."
Che ne pensi?
Ti risponderei: Innanzitutto, smetti di farti troppe "pippe mentali" e vai a imparare le cose importanti.
Ti direi che chi usa denotare la funzione \(f(x,y):= 2x+3y\) con altri simboli sbaglia.
Poi ti direi quello che ho scritto nel post di prima, e che risolverebbe tutti i tuoi dubbi esistenziali.
E ti direi, infine, che la notazione \(y=f(x)\) o \(z=f(x,y)\) è un retaggio storico e che non viene più utilizzata quasi da nessuna parte, tranne che nei libri delle superiori ed in qualche libro di Calculus (non certo su alcun libro di Analisi che io ricordi).
"gugo82":
Poi ti direi quello che ho detto sopra, e che risolverebbe tutti i tuoi dubbi esistenziali.
Ti direi che la notazione \(y=f(x)\) è un retaggio storico e che non viene più utilizzato quasi da nessuna parte (tranne che nei libri delle superiori ed in qualche libro di Calculus, ma non certo su alcun libro di Analisi che io ricordi).
Ho a casa una vecchia raccolta (molto ampia, 1000 esercizi) di esercizi di Analisi scritta da vecchi professori universitari (intorno agli anni '50, tant'è che gli esercizi sono scritti a mano) che afferma:
"calcolare la derivata della funzione $y=3logx$ ecc ecc..."
Ciao.
"gugo82":
Ti direi che chi usa denotare la funzione \(f(x,y):= 2x+3y\) con altri simboli sbaglia.
Sbagliano professori universitari (che hanno fatto della matematica la loro vita) che denotano la funzione con l'equazione $z=2x+3y$? Mi sembra un pò strano...
Solo in virtù della definizione algebrica di funzione, come ha detto RIgel, il fatto può essere giustificato!
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Ti direi che chi usa denotare la funzione \(f(x,y):= 2x+3y\) con altri simboli sbaglia.
Sbagliano professori universitari (che hanno fatto della matematica la loro vita) che denotano la funzione con l'equazione $z=2x+3y$? Mi sembra un pò strano...
[/quote]Non è strano... Si vede che non conosci lo sviluppo storico del rigore in Matematica e, quindi, credi cose sbagliate.
Proprio il fatto che quella raccolta sia stata scritta negli anni '50 dovrebbe farti pensare che in essa i testi degli esercizi sono scritti secondo una "moda" antica (che si rifà a modelli ottocenteschi e precedenti), la quale precede l'ondata di rigore (di derivazione pseudo-bourbakista) che si è fatta largo nei testi di Matematica dagli anni '70 in poi.
Un gioco istruttivo che potresti fare è confrontare un libro degli anni '50 con uno scritto dopo gli anni '70 e trovare le differenze (di notazione, di impostazione, etc...).
Ad esempio, io ho un bellissimo testo di Calcolo Infinitesimale del Bagnera del 1915 ed una copia del classico trattato di Sansone sulle EDO del 1941 (riedito nel 1965) e trovo tra i due testi moltissime analogie; ma se confronto i due testi con il libro di Analisi di Cafiero degli ultimi anni '70 o con quelli più recenti, noto grandissime differenze. Soprattutto, noto la presenza di notazioni, locuzioni e modi di dire che sono stati "banditi" negli ultimi cinquant'anni dalla maggior parte dei testi universitari di Matematica.
Tuttavia, il fatto che nei testi classici siano presenti tali nei non mi impedisce di apprezzarli, né di coglierne l'importanza; in altre parole, le nozioni di Storia che ho mi consentono di non credere che nei testi antichi sia depositata tutta la saggezza del mondo, perché non è così.
Quindi, smettila di tormentarti con queste questioni: non ne vale la pena perché, ora come ora, non hai gli strumenti culturali adatti ad affrontarle serenamente.
Se ti preme davvero affrontare tali questioni, allora sappi che dovrai studiarti almeno qualche testo di Storia della Matematica per avere gli strumenti critici adatti ad interpretare queste cose.*
__________
* Cosa che non credo farai, dato che "non hai mai studiato storia e non hai intenzione di studiarla" (cit.), no?
"gugo82":
__________
* Cosa che non credo farai, dato che "non hai mai studiato storia e non hai intenzione di studiarla" (cit. lisdap), no?
La parola "storia" così senza niente è parecchio ambigua. Ci sono tanti tipi di storia. Non mi alletta l'idea di studiare la storia che si studia a scuola nell'ora di storia, come hai giustamente citato nella nota. Però mi interessa la storia dell'automoblismo per esempio. E non è detto che non mi potrà interessare quella della matematica o della fisica.
Detto questo, anche se a me piace la matematica, continuo a non digerire appieno alcuni esemplari di matematici
. In particolare quegli esemplari ai quali tu fai una domanda e la risposta che ricevi è che "non hai ancora abbastanza conoscenze per comprendere a fondo la questione" 
Ciao!
"lisdap":
[quote="gugo82"]* Cosa che non credo farai, dato che "non hai mai studiato storia e non hai intenzione di studiarla" (cit. lisdap), no?
La parola "storia" così senza niente è parecchio ambigua. Ci sono tanti tipi di storia. Non mi alletta l'idea di studiare la storia che si studia a scuola nell'ora di storia, come hai giustamente citato nella nota. Però mi interessa la storia dell'automoblismo per esempio. E non è detto che non mi potrà interessare quella della matematica o della fisica.[/quote]
Certo, dal punto di vista dell'ingegnere meccanico la storia dell'automobilismo è molto interessante... Peccato che c'entri poco e niente col problema che volevi affrontare qui.
"lisdap":
Detto questo, anche se a me piace la matematica, continuo a non digerire appieno alcuni esemplari di matematici
Anche io sopporto pochissimo chi non legge fino in fondo le risposte che dò e mi accusa di dare risposte come quella che citi.
Ti ho dato una definizione di equazione (nettamente distinta dalle chiacchiere che vai cianciando da tempo sul forum), ti ho spiegato dove vedo i punti deboli nel tuo discorso, ti ho anche spiegato i motivi storici dei difettucci che trovi nei tuoi libri "antidiluviani"... Che devo fare di più? Offrirti un caffè, una fetta di torta?
O forse dovrei darti assecondarti, come si fa con i bambini?
Buon proseguimento nel tuo veleggiare a vista nel mare della Matematica, lisdap.
Non ho più alcun interesse a discutere con te.
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