Confusione sui limiti notevoli

[Lodosage]

dato questo limite di successione $lim_(n->+∞)((n^2+2)/(n^2+n+1))^(2n)$ lo si risolve riconducendosi al limite notevole del numero e. Quando però arrivo a questo punto $lim_(n->+∞)[(1+1/((n^2+n+1)/(1-n)))^((n^2+n+1)/(1-n))]^((1-n)/(n^2+n+1)*2n$ la funzione ((n^2+n+1)/(1-n)) tende a meno infinito e non è più concorde con n che tende ad infinito, perché il limite notevole funziona lo stesso?

[pilloeffe]

Ciao Leoddio,

Si ha:

$lim_{n \to +\infty} ((n^2+2)/(n^2+n+1))^(2n) = lim_{n \to +\infty} [(1+1/((n^2+n+1)/(1-n)))^((n^2+n+1)/(1-n))]^{(1-n)/(n^2+n+1) \cdot 2n} = e^{-2} = frac{1}{e^2} $

"Leoddio":perché il limite notevole funziona lo stesso?

Perché si può dimostrare che, più in generale, si ha:

$lim_{x \to \pm \infty} (1 + 1/x)^x = e $

$lim_{f(x) \to \pm \infty} (1 + frac{1}{f(x)})^{f(x)} = e $

[Lodosage]

si ma il limite notevole non "pretende" che $f(x)$ tenda alla stessa quantità a cui tende $x$?

[pilloeffe]

No. $x$ potrebbe anche tendere a $ 0 $, che se $f(x)$ tende a $+\infty $ il limite vale $e $
Ad esempio si ha:

$ lim_{x \to 0} (1 + x^2)^{1/x^2} = lim_{x \to 0} (1 + frac{1}{1/x^2})^{1/x^2} = e $

con $f(x) := 1/x^2 \to +\infty $ per $x \to 0 $
Per convincersene basta porre $ t := 1/x^2 \implies t \to +\infty $ per $ x \to 0 $ e si ha:

$ lim_{x \to 0} (1 + x^2)^{1/x^2} = lim_{x \to 0} (1 + frac{1}{1/x^2})^{1/x^2} = lim_{t \to +\infty} (1 + frac{1}{t})^{t} = e $