Confusione dominio funzioni integrali
Ragazzi ho dei problemi con gli integrali impropri, ho studiato e ristudiato il vostro topic di approfondimento riguardo lo studio di funzione integrale ma certe cose non mi sono ancora per niente chiare. Mi sembra di aver capito discretamente i metodi di confronto asintotico, anche nei casi che richiedono qualche ragionamento in più, tipo $log$ o potenze di $e$,
Il problema grande ce l'ho quando devo determinare il dominio della funzione integrale. Anche nell'esempio che riportate voi nel topic per spiegare come comportarsi nel caso di un punto di discontinuità, della funzione integranda, di seconda specie. La funzione è questa: $\int_0^x e^t/(t-1) dt$. Ok, l'integrale diverge per $xrarr1$ ma perchè devo dire che allora non è definita per $x>1$, l'integrale diverge anche in un intorno destro di $1$, allora potrei dire che non la funzione integrale ha dominio $(1,+00)$. Perchè no?
Il mio esercizio è lo studio di questa funzione integrale: $int_{2}^{x} (x+1)/root(3)(1-x^2)$.
Allora, la funzione integranda per $xrarr+-oo$ è un infinito di ordine $1/3$, mentre in un intorno di $1$ tende a $0$ e ha asintoto verticale in $1$.
La funzione integrale converge per $xrarr+-oo$. Ridefinisco la funzione integranda e pongo che vale $0$ per $x=-1$, e l'integrale converge per questo valore di $x$. E converge anche per $xrarr1$. Quindi, mi risulterebbe che il dominio della funzione integrale è tutto $RR$.
Vorrei sapere se questi miei ragionamenti sono giusti o no e capire il discorso che avete fatto per la funzione del topic di approfondimento.
Per piacere aiutatemi che sono davvero un po' in crisi, in sintesi credo di non aver troppo chiaro le condizioni di integrabilità di una funzione.
Grazie a tutti!
Il problema grande ce l'ho quando devo determinare il dominio della funzione integrale. Anche nell'esempio che riportate voi nel topic per spiegare come comportarsi nel caso di un punto di discontinuità, della funzione integranda, di seconda specie. La funzione è questa: $\int_0^x e^t/(t-1) dt$. Ok, l'integrale diverge per $xrarr1$ ma perchè devo dire che allora non è definita per $x>1$, l'integrale diverge anche in un intorno destro di $1$, allora potrei dire che non la funzione integrale ha dominio $(1,+00)$. Perchè no?
Il mio esercizio è lo studio di questa funzione integrale: $int_{2}^{x} (x+1)/root(3)(1-x^2)$.
Allora, la funzione integranda per $xrarr+-oo$ è un infinito di ordine $1/3$, mentre in un intorno di $1$ tende a $0$ e ha asintoto verticale in $1$.
La funzione integrale converge per $xrarr+-oo$. Ridefinisco la funzione integranda e pongo che vale $0$ per $x=-1$, e l'integrale converge per questo valore di $x$. E converge anche per $xrarr1$. Quindi, mi risulterebbe che il dominio della funzione integrale è tutto $RR$.
Vorrei sapere se questi miei ragionamenti sono giusti o no e capire il discorso che avete fatto per la funzione del topic di approfondimento.
Per piacere aiutatemi che sono davvero un po' in crisi, in sintesi credo di non aver troppo chiaro le condizioni di integrabilità di una funzione.
Grazie a tutti!
Risposte
"delca85":
Ragazzi ho dei problemi con gli integrali impropri, ho studiato e ristudiato il vostro topic di approfondimento riguardo lo studio di funzione integrale ma certe cose non mi sono ancora per niente chiare. Mi sembra di aver capito discretamente i metodi di confronto asintotico, anche nei casi che richiedono qualche ragionamento in più, tipo $log$ o potenze di $e$,
Il problema grande ce l'ho quando devo determinare il dominio della funzione integrale. Anche nell'esempio che riportate voi nel topic per spiegare come comportarsi nel caso di un punto di discontinuità, della funzione integranda, di seconda specie. La funzione è questa: $\int_0^x e^t/(t-1) dt$. Ok, l'integrale diverge per $xrarr1$ ma perchè devo dire che allora non è definita per $x>1$, l'integrale diverge anche in un intorno destro di $1$, allora potrei dire che non la funzione integrale ha dominio $(1,+00)$. Perchè no?
Sia $x_0>1$, allora:
$\int_0^(x_0) e^t/(t-1) dt = \int_0^1 e^t/(t-1) dt + \int_1^(x_0) e^t/(t-1) dt$
Allora vedi che non può essere definita!
Ok, grazie. Avevo perso di vista il fatto di dividere l'integrale nella somma di altri due. Non so però come ragionare nel caso di una funzione periodica. Ad esempio per $\int_0^x (t+1)/sint$. Io in questo caso considerei un intervallo come $(0,pi)$, intervallo in cui la funzione integranda è continua.
Ed i ragionamenti che io ho fatto nello studio della funzione precedente sono corretti?
Scusa l'insistenza e grazie davvero!
Ed i ragionamenti che io ho fatto nello studio della funzione precedente sono corretti?
Scusa l'insistenza e grazie davvero!
Questa puoi vederla come:
$\int_(Tpi)^(x) (t+1)/(sint)dt+sum_(k=0)^(T) \int_k^(kpi) (t+1)/(sint)dt$
(con $T$ scelto opportunamente) Ed osserva che in ciascun estremo del tipo $kpi$ la funzione integranda diverge...
$\int_(Tpi)^(x) (t+1)/(sint)dt+sum_(k=0)^(T) \int_k^(kpi) (t+1)/(sint)dt$
(con $T$ scelto opportunamente) Ed osserva che in ciascun estremo del tipo $kpi$ la funzione integranda diverge...
Ok. Ma allora lo studio della funzione integrale lo posso fare solo in $(0,pi)$? È questo che non riesco a capire, che intervallo devo prendere come dominio della funzione integrale!
Il problema che ho è sempre nel trovare il dominio della funzione integrale. Anche in questo caso, ad esempio:$F(x):\int_{-1/2}^{x} (1-e^(t-1))/ln(t^2)$.
Secondo me il dominio della funzione integrale é $(-1,+oo)$, perchè l'integrale in 0 converge quindi esiste la funzione integrale.
È giusto o no? Se no, mi potete spiegare perchè?
Secondo me il dominio della funzione integrale é $(-1,+oo)$, perchè l'integrale in 0 converge quindi esiste la funzione integrale.
È giusto o no? Se no, mi potete spiegare perchè?
"Lord K":
[quote="delca85"]Ragazzi ho dei problemi con gli integrali impropri, ho studiato e ristudiato il vostro topic di approfondimento riguardo lo studio di funzione integrale ma certe cose non mi sono ancora per niente chiare. Mi sembra di aver capito discretamente i metodi di confronto asintotico, anche nei casi che richiedono qualche ragionamento in più, tipo $log$ o potenze di $e$,
Il problema grande ce l'ho quando devo determinare il dominio della funzione integrale. Anche nell'esempio che riportate voi nel topic per spiegare come comportarsi nel caso di un punto di discontinuità, della funzione integranda, di seconda specie. La funzione è questa: $\int_0^x e^t/(t-1) dt$. Ok, l'integrale diverge per $xrarr1$ ma perchè devo dire che allora non è definita per $x>1$, l'integrale diverge anche in un intorno destro di $1$, allora potrei dire che non la funzione integrale ha dominio $(1,+00)$. Perchè no?
Sia $x_0>1$, allora:
$\int_0^(x_0) e^t/(t-1) dt = \int_0^1 e^t/(t-1) dt + \int_1^(x_0) e^t/(t-1) dt$
Allora vedi che non può essere definita![/quote]
perchè? scusa la domanda ma anche per em questo argomento è nuovo e ho alcune difficoltà
Non può essere definita perchè la funzione integrale delle $x>1$ sarebbe la somma di due integrali, uno dei quali diverge.
"delca85":
Il problema che ho è sempre nel trovare il dominio della funzione integrale. Anche in questo caso, ad esempio:$F(x):\int_{-1/2}^{x} (1-e^(t-1))/ln(t^2)$.
Secondo me il dominio della funzione integrale é $(-1,+oo)$, perchè l'integrale in $0$ converge quindi esiste la funzione integrale.
È giusto o no? Se no, mi potete spiegare perchè?
Mentre invece questo esercizio l'ho eseguito in maniera corretta o no?
Il ragionamento che faccio è che una volta trovati i punti di discontinuità, in questo caso $+-1$ e $0$, vedo se l'integrale improprio converge per l'incognita che tende a quei valori.
In questo caso specifico, per $x-->-1$ da sinistra, l'integrale diverge, quindi il dominio della funzione integrale esclude $(-oo,-1)$. Anche in un intorno destro di $-1$ l'integrale diverge, quindi -1 non appartiene al dominio della funzione integrale. Il prossimo punto di discontinuità è $0$, allora guardo come si comporta l'integrale improprio per $x-->0^-$, e vedo che converge. Allora dico che $0$ appartiene al dominio della funzione integrale, quindi secondo me il dominio diventa $(-1,+oo)$, giusto o sbagliato?
Per piacere aiutatemi, è importantissimo!
Scusate l'insistenza ragazzi ma devo uppare, aiutatemi per piacere! Devo assolutamente fare chiarezza sulla questione del dominio delle funzioni integrali!
Sembra ostica come cosa ma ti assicuro che non è difficile! Se hai una funzione integrale $F(x) = intf(t)dt$ ragiona in questo modo
1) prendi la $f(t)$ e ti studi il suo dominio
facciamo il caso che questo dominio risulti essere $(-infty, 1)U(1, 0)U(0, infty)$
2)Ora dobbiamo scoprire quale sarà il dominio della $F(x)$
conoscendo gli integrali impropri, cioè sapendo come fare se un integrale converge a $+infty$ o ad un certo $x_0$ dobbiamo scoprire se la funzione è impropriamente integrabile! Nel caso dell'esempio di sopra dobbiamo scoprire se è impropriamente integrabile in $infty$, $0$ e $1$! Se risulterà essere integrabile impropriamente in tutti e tre allora il suo dominio sarà $RR$! Facciamo caso invece che è impropriamente integrabile solo in $0$, allora il dominio di $F(x)$ sarà $(1, infty)$
1) prendi la $f(t)$ e ti studi il suo dominio
facciamo il caso che questo dominio risulti essere $(-infty, 1)U(1, 0)U(0, infty)$
2)Ora dobbiamo scoprire quale sarà il dominio della $F(x)$
conoscendo gli integrali impropri, cioè sapendo come fare se un integrale converge a $+infty$ o ad un certo $x_0$ dobbiamo scoprire se la funzione è impropriamente integrabile! Nel caso dell'esempio di sopra dobbiamo scoprire se è impropriamente integrabile in $infty$, $0$ e $1$! Se risulterà essere integrabile impropriamente in tutti e tre allora il suo dominio sarà $RR$! Facciamo caso invece che è impropriamente integrabile solo in $0$, allora il dominio di $F(x)$ sarà $(1, infty)$
Innanzitutto grazie per la chiarezza!
Ma allora la mia ha dominio $(-1,+oo)$? Perchè a me risulta impropriamente integrabile sia in $0$ che in $1$ ma non in $-1$. Invece un programma che fa i grafici me la disegna solo nell'intervallo $(-1,0)$ ma in $0$ effettivamente converge!!!
Grazie!
Ma allora la mia ha dominio $(-1,+oo)$? Perchè a me risulta impropriamente integrabile sia in $0$ che in $1$ ma non in $-1$. Invece un programma che fa i grafici me la disegna solo nell'intervallo $(-1,0)$ ma in $0$ effettivamente converge!!!
Grazie!
"delca85":
Ok, grazie. Avevo perso di vista il fatto di dividere l'integrale nella somma di altri due. Non so però come ragionare nel caso di una funzione periodica. Ad esempio per $\int_0^x (t+1)/sint$. Io in questo caso considerei un intervallo come $(0,pi)$, intervallo in cui la funzione integranda è continua.
Ed i ragionamenti che io ho fatto nello studio della funzione precedente sono corretti?
Scusa l'insistenza e grazie davvero!
Ragazzi in questo caso come riconosco il dominio della funzione integrale? Perchè la funzione è continua in ogni intervallo $(kpi,kpi+pi) kinZZ$. Allora cosa faccio? Guardo se l'integrale diverge o converge per $xrarrkpi$ e, eventualmente, dico che il dominio è tutto $RR$, oppure studio la funzione solo nell'intervallo $(0,pi)$?
Grazie!
Scusami delca85, per dire che in 0 la funzione integrale converge, hai provato ad eseguire pure il limite della funzione $x \to 0^-$? Hai provato ad eseguire pure i limiti della funzione per $x \to \infty$?
Solitamente, per studiare una funzione integrale, io parto sempre dallo studio della funzione integranda, cioè la $f(t)$. Una volta studiata, procedo a quella integrale e quindi studio, secondo quanto determinato prima per la funzione integranda, la sua sommabilità nei punti di discontinuità trovati. Secondo me, devi rivedere lo studio della $f(t)$.
EDIT: Scusate non ho letto il messaggio di clockover, che enuncia il mio stesso discorso.
Solitamente, per studiare una funzione integrale, io parto sempre dallo studio della funzione integranda, cioè la $f(t)$. Una volta studiata, procedo a quella integrale e quindi studio, secondo quanto determinato prima per la funzione integranda, la sua sommabilità nei punti di discontinuità trovati. Secondo me, devi rivedere lo studio della $f(t)$.
EDIT: Scusate non ho letto il messaggio di clockover, che enuncia il mio stesso discorso.
Allora, la funzione integranda in $0$ diverge e così anche la funzione integrale. Però come mi devo comportare considerando il fatto che lo $0$ è il punto base dell'integrale? Anch'io studio sempre prima la funzione integranda ed utilizzo i criteri che mi avete detto tu e clockover.
Il problema è che in questo caso non so come fare per due motivi:
a) la funzione integrale diverge per $xrarr0$, ma il fatto che $0$ sia il punto base e che quindi $F(0)$ dovrebbe essere $0$, non cambia la situazione?
b) i punti di discontinuità sono quelli che ho indicato prima e la funzione integranda e anche quella integrale diverge per $x$ che tende a quei valori, quindi essi non appartengono al dominio della funzione integrale. Ma se fosse stato il contrario, allora il dominio sarebbe stato tutto $RR$?
Sto rifacendo questo esercizio quindi può essere che scriva cose diverse da quelle scritte la prima volta.
Grazie a tutti!
Il problema è che in questo caso non so come fare per due motivi:
a) la funzione integrale diverge per $xrarr0$, ma il fatto che $0$ sia il punto base e che quindi $F(0)$ dovrebbe essere $0$, non cambia la situazione?
b) i punti di discontinuità sono quelli che ho indicato prima e la funzione integranda e anche quella integrale diverge per $x$ che tende a quei valori, quindi essi non appartengono al dominio della funzione integrale. Ma se fosse stato il contrario, allora il dominio sarebbe stato tutto $RR$?
Sto rifacendo questo esercizio quindi può essere che scriva cose diverse da quelle scritte la prima volta.
Grazie a tutti!
"delca85":
Allora, la funzione integranda in $0$ diverge e così anche la funzione integrale. Però come mi devo comportare considerando il fatto che lo $0$ è il punto base dell'integrale? Anch'io studio sempre prima la funzione integranda ed utilizzo i criteri che mi avete detto tu e clockover.
Il problema è che in questo caso non so come fare per due motivi:
a) la funzione integrale diverge per $xrarr0$, ma il fatto che $0$ sia il punto base e che quindi $F(0)$ dovrebbe essere $0$, non cambia la situazione?
b) i punti di discontinuità sono quelli che ho indicato prima e la funzione integranda e anche quella integrale diverge per $x$ che tende a quei valori, quindi essi non appartengono al dominio della funzione integrale. Ma se fosse stato il contrario, allora il dominio sarebbe stato tutto $RR$?
Sto rifacendo questo esercizio quindi può essere che scriva cose diverse da quelle scritte la prima volta.
Grazie a tutti!
Intanto scusami, ho letto male. Nel punto $x=0$ la funzione converge e non diverge, come ho scritto prima.
1) Il fatto che $F(0)$ sia $0$ non dice nulla del dominio. Questa è una delle principali proprietà degli integrali per cui, ad esempio, $\int_1^1f(x)dx = 0$. Ciò perchè gli estremi di integrazione sono identici.
2)Sicuramente se fosse stato un caso contrario a quello riscontrato, potevi anche scrivere che il dominio sarebbe stato $RR$, con opportune considerazioni, secondo la regola enunciata prima da clockover.
Scusa perchè converge? Non è infinita asintotica a $1/x^(alpha)$ con $alpha=1$ e quindi divergente? Non dice nulla del dominio in senso generale però $0indom F(x)$ o no?
Grazie ancora!
Grazie ancora!
"delca85":
Il problema che ho è sempre nel trovare il dominio della funzione integrale. Anche in questo caso, ad esempio:$F(x):\int_{-1/2}^{x} (1-e^(t-1))/ln(t^2)$.
Secondo me il dominio della funzione integrale é $(-1,+oo)$, perchè l'integrale in 0 converge quindi esiste la funzione integrale.
È giusto o no? Se no, mi potete spiegare perchè?
Non ci capisco più niente. La funzione è questa. Qui dici che converge in $0$.
Poi mi dici che diverge, ed ora è esatto, per il criterio del confronto asintotico. Cerca di rendere il topic meno confusionario possibile.
In questo modo, facendo il limite della funzione per $x->0$, hai provato che nel punto $0$ la funzione non è sommabile, visto che hai trovato che la funzione diverge. Quindi $0 notin domF(x)$.
Il dominio può essere $(-1;+\infty)$, però devi vedere prima cosa succede alla funzione per i limiti con $x->+\infty$, in modo da sapere se la funzione è definita o no in $+\infty$. Chiaro?
Scusa ma la funzione di cui parlo io è questa: $F(x)=int_0^x (t+1)/sint dt$!
E questa diverge per $xrarr0$ di conseguenza $0!indomF(x)$ ma come devo fare dato che $0$ è il punto base dell'integrale?
E comunque secondo me studiare l'integrale all'infinito non vuol dire vedere se esiste o no ma solo studiarne il comportamento agli estremi.
Scusa se ho fatto casino e grazie comunque per cercare di capire!
E questa diverge per $xrarr0$ di conseguenza $0!indomF(x)$ ma come devo fare dato che $0$ è il punto base dell'integrale?
E comunque secondo me studiare l'integrale all'infinito non vuol dire vedere se esiste o no ma solo studiarne il comportamento agli estremi.
Scusa se ho fatto casino e grazie comunque per cercare di capire!
Ciao! Sono stata più chiara ora? Spero di essermi spiegata bene! Scusate ancora per la confusione! Quello che mi chiedo io è come comportarmi nei casi come questo:
$F(x)=int_0^x (t+1)/sin(t) dt$. La funzione integranda $f(t)rarroo$ per $trarr0$, con il criterio del confronto asintotico vedo che anche la funzione integrale diverge per $xrarr0$, quindi lo $0$ non dovrebbe appartenere al dominio della funzione integrale, invece secondo me $oindomF(x)$ perchè $F(0)=0$ poichè $0$ è il punto base dell'integrale.
Scusate se ho ripetuto tutto ma era per fare un po' di chiarezza. Aspetto fiduciosa delucidazioni...
$F(x)=int_0^x (t+1)/sin(t) dt$. La funzione integranda $f(t)rarroo$ per $trarr0$, con il criterio del confronto asintotico vedo che anche la funzione integrale diverge per $xrarr0$, quindi lo $0$ non dovrebbe appartenere al dominio della funzione integrale, invece secondo me $oindomF(x)$ perchè $F(0)=0$ poichè $0$ è il punto base dell'integrale.
Scusate se ho ripetuto tutto ma era per fare un po' di chiarezza. Aspetto fiduciosa delucidazioni...
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