Confronto o confronto asintotico?
Avrei un dubbio per quanto riguarda la teroria delle serie. Non ho ben chiara la differenza tra il confronto e il confronto asintotico... magari qualcuno di voi può spiegarmi qlcs in merito. Quando devo applicare l'uno e quando l'altro?
Ad esempio per la serie \(\displaystyle \sum n 10 ^{- \sqrt n} \) quale dei 2 devo utilizzare? Grazie.
Ad esempio per la serie \(\displaystyle \sum n 10 ^{- \sqrt n} \) quale dei 2 devo utilizzare? Grazie.
Risposte
nel tuo libro di teoria non c'è scritto nulla in proposito?
sì, sì...in pratica nel confronto asintotico devo applicare il limite del rapporto tra 2 funzioni >0 per n-> infinito...nel caso in cui l sia finito e diverso da zero, le 2 serie hanno lo stesso carattere. Nel confronto devo invece maggiorare o minorare la mia serie. Quindi volevo sapere se la sostanziale differenza fosse che nel confronto asintotico ci troviamo in un intorno di infinito mentre nell'altro no...
tornando al mio esempio ho pensato di confrontare asintoticamente la serie con \(\displaystyle \frac{1}{n^2} \) ottenendo che il limite sia 0. In questo caso \(\displaystyle \sum \frac {1}{n^2} \) converge quindi posso accettare anche che il limite del rapporto faccia 0. In conclusione la serie converge. E' giusto? E' un valido esempio di come applicare il confronto asintotico?
tornando al mio esempio ho pensato di confrontare asintoticamente la serie con \(\displaystyle \frac{1}{n^2} \) ottenendo che il limite sia 0. In questo caso \(\displaystyle \sum \frac {1}{n^2} \) converge quindi posso accettare anche che il limite del rapporto faccia 0. In conclusione la serie converge. E' giusto? E' un valido esempio di come applicare il confronto asintotico?
si è esatto!è proprio questa l'essenza del confronto asintotico 
Però credo di non aver capito bene come si sceglie la funzione con cui confrontare asintoticamente la mia serie. In genere dovrebbe essere una serie nota (armonica, geometrica...), ma come faccio a scegliere quale? Ad esempio rileggendo un esercizio svolto (non da me XD) ho trovato che \(\displaystyle \ e^{ \frac {1} {n}} - 1\) è asintotico a \(\displaystyle 1/n \). Per quale motivo proprio \(\displaystyle 1/n \)?
quello che posso consigliarti per fare il confronto asintotico è innanzitutto conoscere i limiti notevoli (infatti quello dell'esempio che mi hai fatto è un limite noto!);
e poi il criterio puoi applicarlo nuovamente sulla nuova serie se non ne conosci il carattere. ti faccio un esempio:
$ sum log(1+arcsen^2(1/n)) $ *
applichiamo il confronto asintotico poichè conosciamo il limite notevole:
$ lim_(x -> 0) log(1+x)/x=1 $
posto $ t=arcsen^2(1/n) $ sappiamo che:
$ lim_(t -> 0) log(1+t)/t=1 $ (poichè $ lim_(n -> oo ) arcsen^2(1/n)=0 $ )
quindi ora abbiamo una nuova serie:
$ sum arcsen^2(1/n) $ **
a questa possiamo applicare nuovamente il confronto asintico poichè conosciamo il limite notevole:
$ lim_(x -> 0) (arcsen(x))/x=1 $
da cui si ha che la serie ** ha lo stesso carattere della seguente serie per il confronto asintotico:
$ sum 1/n^2 $
essendo quest'ultima serie convergente, a catena, anche la serie ** converge, e quindi anche la serie di partenza.
e poi il criterio puoi applicarlo nuovamente sulla nuova serie se non ne conosci il carattere. ti faccio un esempio:
$ sum log(1+arcsen^2(1/n)) $ *
applichiamo il confronto asintotico poichè conosciamo il limite notevole:
$ lim_(x -> 0) log(1+x)/x=1 $
posto $ t=arcsen^2(1/n) $ sappiamo che:
$ lim_(t -> 0) log(1+t)/t=1 $ (poichè $ lim_(n -> oo ) arcsen^2(1/n)=0 $ )
quindi ora abbiamo una nuova serie:
$ sum arcsen^2(1/n) $ **
a questa possiamo applicare nuovamente il confronto asintico poichè conosciamo il limite notevole:
$ lim_(x -> 0) (arcsen(x))/x=1 $
da cui si ha che la serie ** ha lo stesso carattere della seguente serie per il confronto asintotico:
$ sum 1/n^2 $
essendo quest'ultima serie convergente, a catena, anche la serie ** converge, e quindi anche la serie di partenza.
Grazie mille, sei stato chiarissimo... quindi nel caso in cui non ho limiti notevoli che possono aiutarmi, mi conviene cambiare metodo ad esempio il confronto oppure qualche altro criterio...
non ho detto questo! ho detto che con i limiti notevoli sai già la serie con cui confrontare, ma se riesci a dimostrare qualcosa con un'altra serie qualsiasi puoi applicare il confronto asintotico(come hai fatto bene nel primo esercizio che hai proposto)!i limiti notevoli servono per facilitarti la strada nel ricercare una serie il cui carattere è noto!
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