Confronto fra polinomi

[Cannelloni1]

Buongiorno, sto studiando l'operatore di Volterra e vorrei dimostrare che, detto $V:C^0( [0,1] )\rightarrow C^0( [0,1] )$ l'op. di Volterra si ha che
\[
||V^n||=\frac{1}{n!}
\]

Questo è solo il contesto, potete ignorare tutta la parte sopra. Mi piacerebbe dimostrare che per ogni polinomio $p(x) = \sum_{k=0}^m c_k x^k$ POSITIVO tra 0 e 1 vale che

\[
\underset{x\in[0,1]}{\text{sup}}p(x)\geq\underset{x\in[0,1]}{\text{sup}} |p_n(x)| \text{ per ogni }n
\]
Dove $p_n(x)=\sum_{k=0}^m c_k\frac{k!n!}{(k+n)!}x^k$

[Lebesgue]

Scusami, ma non si capisce niente:
Cosa mi indica la $n$? Chi sono questi $c_k$? Sono gli stessi sia per $p(x)$ che per $p_n(x)?$ ( a senso direi di sì, dato che hai usato la stessa notazione, ma questo punto anche $p_n(x)$ dovrebbe essere positivo, no?)

Non basterebbe allora dimostrare che $(k!n!)/((k+n)!) \le 1?$