Confronto asintotico

[PoppoGBR]

salve a tutti, sapete dirmi che cosa sia il confronto asintotico per risolvere delle limiti di sucessioni? potete riportarmi degli esempi piu o meno validi? nn riesco proprio a capire come si applica.

[ELWOOD1]

il confronto asintotico si rifà ai limiti notevoli ovvero se tu hai un limite, un integrale o una serie che va all'infinito o a zero tu conosci a priori il comportamento delle funzioni

ad es:

tu sai che $sen x~x$ per $x->0$

o ad esempio in una successione

$sum_(n=o)^oo (3n)/(n^2+5)$ tu sai che si comporta come

$3/n$
Quindi $(3n)/(n^2+5)~3/n$
il simboletto ~ sta proprio ad indicare ...è asintotico a...

[PoppoGBR]

sai dirmi che differenza c'è tra questi due limiti? uno tende a infinito e l'altro a 0:

$lim_{n->oo} sin(e^-n)/3^-n = +oo$

$lim_{n->oo} sin(e^-n)/2^-n = 0$


il mio prof a detto che si puo fare semplecemente con il confronto asintotico. come si fa?

[ELWOOD1]

Non mi sembra possibile perchè il seno di un qualcosa che va all'infinito è una forma indeterminata, in quanto la funzione oscilla tra 1 e -1

[PoppoGBR]

nn ti sembra possibile in che senso? che nn si puo fare con il confronto asintotico o che è sbagliato il risultato? li ho fatti con derive.
perche se nn si puo fare con il confronto asintotico sono stato bocciato all'esame di analisi per niente....

[Fioravante Patrone1]

@PoppoGBR

per me hai sbagliato a ritrascrivere il testo dell'esercizio

[ELWOOD1]

pure facendolo con derive mi da "?"

asintoticamente l'esponenziale va all'infinito per $n->oo$
e il denominatore va a 0 in quanto $a^(-n)->0$ con $n->oo$....ma ti ripeto...il seno di qualcosa che va all'infinito è una forma indeterminata!

[PoppoGBR]

avevate ragione ho sbagliato a trascrivere era $e^-n$ su entrambi i limiti. il problema che nn riesco a risolvere è perche se c'è 2 al denominatore viene un risultato e invece se c'è 3 un'altro. sapreste spiegarmelo?

[Fioravante Patrone1]

"PoppoGBR":avevate ragione ho sbagliato a trascrivere era $e^-n$ su entrambi i limiti

preciso che "avevo" ragione, non "avevamo" ragione. Qui di mago ce n'è solo uno!
ELWOOD è ancora un apprendista stregone...


Tutto dipende dal fatto che $2 < e < 3$

Vediamo il caso con $3$.

Poiché $3 > e$, $3 = e^a$ con $a >1$.
Allora: $3^{-n} = (e^a)^{-n} = e^{-an} = (e^{-n})^a$

Quindi il limite da fare è:

$lim_{n->oo} sin(e^-n)/(e^{-n})^a$

Chiamo $x = e^{-n}$. Per $n->oo$, $e^{-n} -> 0$.
Allora se so trovare il limite:
$lim_{x->0} sin(x)/x^a$, da questo deduco che anche il limite richiesto esiste ed ha lo stesso valore.

Ma:
$lim_{x->0} sin(x)/x^a = lim_{x->0} sin(x)/(x * x^{1-a}) $

Usando il limite fondamentale di $sin(x)/x$ (che vale $1$)e il fatto che (essendo $ lim_{x->0} x^{1-a} = 0$) $ lim_{x->0} 1/x^{1-a} = oo$ otteniamo il risultato voluto.

Il caso dove la base è $2$ è analogo