Conferme su esercizio con integrale improprio
Dunque io avrei questa funzione:
$F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t^2}{e^{t^2}}dt$ con [tex]x\in [0,+\infty[[/tex]. Ora, l'esercizio mi chiede di stabilire se la funzione nel suo insieme di definizione è continua e se è derivabile.
Io ho fatto il seguente ragionamento, vorrei sapere se è una strada valida:
"Stabilire se $F(x)$ è continua, vuol dire verificare che $\exists$ finito $\lim_{x\to x_0} F(x)=F(x_0)$ con $x_0$ di accumulazione per [tex][0,+\infty[[/tex] (in questo caso). Dalla definizione di funzione integrale, essendo $f(t)=\frac{t^2}{e^{t^2}}$ continua su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] e quindi su ogni intervallo chiuso e limitato [tex][0,x][/tex], la funzione integrale $F(x)$ è continua anch'essa su [tex][0,x][/tex] e derivabile in ogni punto di essa".
Che ne pensate?
Regge come ragionamento? Oppure ho bisogno di invocare le condizioni sufficienti per l'integrabilità in senso improprio?
$F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t^2}{e^{t^2}}dt$ con [tex]x\in [0,+\infty[[/tex]. Ora, l'esercizio mi chiede di stabilire se la funzione nel suo insieme di definizione è continua e se è derivabile.
Io ho fatto il seguente ragionamento, vorrei sapere se è una strada valida:
"Stabilire se $F(x)$ è continua, vuol dire verificare che $\exists$ finito $\lim_{x\to x_0} F(x)=F(x_0)$ con $x_0$ di accumulazione per [tex][0,+\infty[[/tex] (in questo caso). Dalla definizione di funzione integrale, essendo $f(t)=\frac{t^2}{e^{t^2}}$ continua su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] e quindi su ogni intervallo chiuso e limitato [tex][0,x][/tex], la funzione integrale $F(x)$ è continua anch'essa su [tex][0,x][/tex] e derivabile in ogni punto di essa".
Che ne pensate?
Regge come ragionamento? Oppure ho bisogno di invocare le condizioni sufficienti per l'integrabilità in senso improprio?
Risposte
Il tuo ragionamento è corretto, d'altra parte non ti chiede di calcolare l'integrale nell'intervallo $[0,+oo)$ ma solo di dire se è continua in esso, questo è vero per qualunque funzione riemann integrabile che lo sia in ogni intervallo $[0,a]$ $a>0$, la derivabilità in un punto è subordinata invece alla continuità dell'integranda in quel punto che, essendo in questo caso ovunque continua, è perciò ovunque derivabile.
Grazie della risposta 
Ma avrei un dubbio....Se scopro che $f(t)$ è integrabile in senso improprio su [tex][0,+\infty[[/tex] vuol dire anche che esiste anche $\int_{0}^{x_0} f(t)\ dt$ $\forall x_0\in [0,+\infty)$ ???
Ma avrei un dubbio....Se scopro che $f(t)$ è integrabile in senso improprio su [tex][0,+\infty[[/tex] vuol dire anche che esiste anche $\int_{0}^{x_0} f(t)\ dt$ $\forall x_0\in [0,+\infty)$ ???
LA risposta è implicita nella domanda.
Ok. Quindi avrei potuto dimostrare la continuità di $F(x)$ anche vedendo se $f(t)$ è integrabile in senso improprio su $[0,+\infty)$. Giusto?
Orlok scusami la risposta, ma mi prendi per i fondelli?
Ma guarda che $+oo$ non è un elemento che appartiene al dominio di $F$... Quindi non ti serve per provarne la continuità.
Quando devi provare la continuità di $g(x):=x^2$ su $RR$, che fai, dimostri che $g(+oo)$ è uguale a $lim_(x->+oo) g(x)$ ?
In questo caso l'integrabilità in senso improprio non c'entra, $int_0^(+oo) f$ potrebbe anche non esistere... Anche $sinx$ è
continua in tutto $RR$ e ha la proprietà che $lim_(x->\pm oo) sinx$ non esiste... Che male c'è?
Comunque, $F$ non è solo continua, ma di più: è anche derivabile, dato che $f$ (l'integranda) è continua ovunque nel suo dominio.
Quando devi provare la continuità di $g(x):=x^2$ su $RR$, che fai, dimostri che $g(+oo)$ è uguale a $lim_(x->+oo) g(x)$ ?
In questo caso l'integrabilità in senso improprio non c'entra, $int_0^(+oo) f$ potrebbe anche non esistere... Anche $sinx$ è
continua in tutto $RR$ e ha la proprietà che $lim_(x->\pm oo) sinx$ non esiste... Che male c'è?
Comunque, $F$ non è solo continua, ma di più: è anche derivabile, dato che $f$ (l'integranda) è continua ovunque nel suo dominio.
@regim: scusami, avevo male interpretato la risposta.
Ma se per esempio dovessi calcolare (che è un altro punto dell'esercizio) il $\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x^4}$ potrei dire che essendo $F(x)$ continua in $0$ e che quindi $\lim_{x\to 0} F(x)=F(0)=\int_{0}^{0}\ f(t)dt=0$, allora $\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x^4}=+\infty$ ?
Ma se per esempio dovessi calcolare (che è un altro punto dell'esercizio) il $\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x^4}$ potrei dire che essendo $F(x)$ continua in $0$ e che quindi $\lim_{x\to 0} F(x)=F(0)=\int_{0}^{0}\ f(t)dt=0$, allora $\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x^4}=+\infty$ ?
Orlok, hai letto la mia risposta o l'hai bypassata del tutto? 
Comunque, è una forma indeterminata, come fai a dire che il limite fa $+oo$?
Comunque, è una forma indeterminata, come fai a dire che il limite fa $+oo$?
@fireball: No, no che bypassata ? E' stato utilissimo il tuo chiarimento. In fin dei conti $+\infty$ non è un oggetto di $RR$.
Ho guardato il grado della $x$, no? Altrimenti come avrei dovuto fare?
Ho guardato il grado della $x$, no? Altrimenti come avrei dovuto fare?
"Orlok":
Ma se per esempio dovessi calcolare (che è un altro punto dell'esercizio) il $\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x^4}$ potrei dire che essendo $F(x)$ continua in $0$ e che quindi $\lim_{x\to 0} F(x)=F(0)=\int_{0}^{0}\ f(t)dt=0$, allora $\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x^4}=+\infty$ ?
Secondo te?
Anche $x^4$ è una funzione continua in $0$ ma $x^4/x^4 = 1$, non puoi dirlo solo sulla scorta della continuità della primitiva, puoi dirlo solo in questo caso particolare, cioè nel caso dell'esercizio da te proposto.
Non sai come $F(x)$ va a 0... Tu sai che va a 0, ma non sai come ci va... Per cui non puoi dire quanto fa il limite, viene una forma indeterminata.
Ed è quindi una forma indeterminata che non si può ovviare come di solito si fa con le funzioni, allora? Per esempio con De L'Hopital non si può fare niente? :O
Sì, conviene che usi quello infatti.
@Orlok Fireball parlava in generale, perchè hai posto il quesito in termine di primitiva tout court, e ha ragione.
Non so se è giusto, ma credo che :
$\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x^4}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2}{(4x^3)e^{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{(4x)e^{x^2}}=+\infty$
EDIT: Applicato De L'Hopital
$\lim_{x\to 0^+}\frac{F(x)}{x^4}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2}{(4x^3)e^{x^2}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{(4x)e^{x^2}}=+\infty$
EDIT: Applicato De L'Hopital
Yes.
Da questo scopro allora che $x^4$ va a zero molto più velocemente della $F(x)$. Ciò lo si poteva vedere in altri modi? Cioè è conseguenza di qualcosa di basilare?
No... Non credo.
Quindi se avessi voluto calcolare $\lim_{x\to 0^+} \frac{\int_{0}^{x^5}\ f(t)dt}{x^4}$ avrei ottenuto lo stesso risultato?
Fai il calcolo...
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