Conferme su esercizio con integrale improprio
Dunque io avrei questa funzione:
$F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t^2}{e^{t^2}}dt$ con [tex]x\in [0,+\infty[[/tex]. Ora, l'esercizio mi chiede di stabilire se la funzione nel suo insieme di definizione è continua e se è derivabile.
Io ho fatto il seguente ragionamento, vorrei sapere se è una strada valida:
"Stabilire se $F(x)$ è continua, vuol dire verificare che $\exists$ finito $\lim_{x\to x_0} F(x)=F(x_0)$ con $x_0$ di accumulazione per [tex][0,+\infty[[/tex] (in questo caso). Dalla definizione di funzione integrale, essendo $f(t)=\frac{t^2}{e^{t^2}}$ continua su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] e quindi su ogni intervallo chiuso e limitato [tex][0,x][/tex], la funzione integrale $F(x)$ è continua anch'essa su [tex][0,x][/tex] e derivabile in ogni punto di essa".
Che ne pensate?
Regge come ragionamento? Oppure ho bisogno di invocare le condizioni sufficienti per l'integrabilità in senso improprio?
$F(x)=\int_{0}^{x}\frac{t^2}{e^{t^2}}dt$ con [tex]x\in [0,+\infty[[/tex]. Ora, l'esercizio mi chiede di stabilire se la funzione nel suo insieme di definizione è continua e se è derivabile.
Io ho fatto il seguente ragionamento, vorrei sapere se è una strada valida:
"Stabilire se $F(x)$ è continua, vuol dire verificare che $\exists$ finito $\lim_{x\to x_0} F(x)=F(x_0)$ con $x_0$ di accumulazione per [tex][0,+\infty[[/tex] (in questo caso). Dalla definizione di funzione integrale, essendo $f(t)=\frac{t^2}{e^{t^2}}$ continua su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] e quindi su ogni intervallo chiuso e limitato [tex][0,x][/tex], la funzione integrale $F(x)$ è continua anch'essa su [tex][0,x][/tex] e derivabile in ogni punto di essa".
Che ne pensate?
Regge come ragionamento? Oppure ho bisogno di invocare le condizioni sufficienti per l'integrabilità in senso improprio?
Risposte
Avresti ottenuto $0$ con la funzione iniziale. Comunque hai una funzione a denominatore derivabile, e allora qualunque continua funzione integranda puoi considerare, e ottenere qualunque valore per il limite.
Un attimo...se io vado a calcolare la derivata di $\int_{0}^{x^5}\ f(t)dt$ per un'eventuale applicazione delle regole di De L'Hopital, non otterrei sempre $f(t)$ ? 
Ma scusa... Quella funzione si ottiene componendo due funzioni:
[tex]\displaystyle F:\left(0,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R},\quad F(x):=\int_0^x \frac{t^2}{e^{t^2}}\,\text{d}t[/tex] (volendo questa la potremmo definire anche in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]),
[tex]\displaystyle G:\left(0,+\infty\right)\rightarrow\left(0,+\infty\right),\quad G(x):=x^5[/tex].
La funzione composta è:
[tex]\displaystyle F\circ G:\left(0,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R},\quad \left(F\circ G\right)(x):=\int_0^{x^5} \frac{t^2}{e^{t^2}}\,\text{d}t[/tex].
Quanto vale [tex]\left(F\circ G\right)^{\prime} (x)[/tex], per ogni [tex]x\in\left(0,+\infty\right)[/tex] ? Dovresti saperla la regola di derivazione delle funzioni
composte... Devi calcolare la derivata di [tex]F[/tex] in [tex]G(x)[/tex] e moltiplicare il risultato per la derivata di [tex]G[/tex] in [tex]x[/tex]
(dirla in modo preciso una volta ogni tanto, non guasta)...
Altra domanda (che ti faccio io, per vedere se hai capito): se volessi scambiare l'ordine di composizione, chi sarebbe [tex]G\circ F[/tex]?
Quali dovrebbero essere in questo caso il dominio e il codominio di [tex]G[/tex]?
[tex]\displaystyle F:\left(0,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R},\quad F(x):=\int_0^x \frac{t^2}{e^{t^2}}\,\text{d}t[/tex] (volendo questa la potremmo definire anche in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]),
[tex]\displaystyle G:\left(0,+\infty\right)\rightarrow\left(0,+\infty\right),\quad G(x):=x^5[/tex].
La funzione composta è:
[tex]\displaystyle F\circ G:\left(0,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R},\quad \left(F\circ G\right)(x):=\int_0^{x^5} \frac{t^2}{e^{t^2}}\,\text{d}t[/tex].
Quanto vale [tex]\left(F\circ G\right)^{\prime} (x)[/tex], per ogni [tex]x\in\left(0,+\infty\right)[/tex] ? Dovresti saperla la regola di derivazione delle funzioni
composte... Devi calcolare la derivata di [tex]F[/tex] in [tex]G(x)[/tex] e moltiplicare il risultato per la derivata di [tex]G[/tex] in [tex]x[/tex]
(dirla in modo preciso una volta ogni tanto, non guasta)...
Altra domanda (che ti faccio io, per vedere se hai capito): se volessi scambiare l'ordine di composizione, chi sarebbe [tex]G\circ F[/tex]?
Quali dovrebbero essere in questo caso il dominio e il codominio di [tex]G[/tex]?
Ah, ok. Adesso ho capito, dunque...
Essendo $F\o\G=F(G(x))=\int_{0}^{x^5}\ f(t)dt$, si ha che $D[F(G(x))]=f(x^5)*5x^4$
Questa è giusta intanto?
Essendo $F\o\G=F(G(x))=\int_{0}^{x^5}\ f(t)dt$, si ha che $D[F(G(x))]=f(x^5)*5x^4$
Questa è giusta intanto?
Sì, è giusta.
Ok. Continuo:
Se faccio il $\lim_{x\to 0^+}\ \frac{\frac{x^10}{e^{x^10}}*5x^4}{4x^3}=0$ Quindi in questo caso $\int_{0}^{x^5}\ f(t)dt$ è , per $x\to 0^+$, un infinitesimo di ordine superiore ad $x^4$
La funzione composta $GoF=[\int_{0}^{x}\ f(t)dt]^5$ il suo dominio è l'insieme delle immagini della funzione integrale, quindi $G:\ (0,+\infty)\to (0, +\infty)$ . Giusto?
Se faccio il $\lim_{x\to 0^+}\ \frac{\frac{x^10}{e^{x^10}}*5x^4}{4x^3}=0$ Quindi in questo caso $\int_{0}^{x^5}\ f(t)dt$ è , per $x\to 0^+$, un infinitesimo di ordine superiore ad $x^4$
La funzione composta $GoF=[\int_{0}^{x}\ f(t)dt]^5$ il suo dominio è l'insieme delle immagini della funzione integrale, quindi $G:\ (0,+\infty)\to (0, +\infty)$ . Giusto?
Sì, va bene anche così. Andrebbe bene però anche $G:RR->RR$: non è necessario che il dominio di G coincida ESATTAMENTE con l'immagine di F, basta che la contenga.
Ma in quel caso non dovremmo estendere il dominio della funzione integrale a tutto $RR$ ?
altro piccolo dubbio:
Se volessi vedere se la funzione integranda è integrabile in senso generalizzato su [tex][0,+\infty[[/tex] (visto che abbiamo scoperto che $f(t)$ è continua su tale insieme e dunque Riemann integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato $[0, x]$) stabilendo se esiste finito il limite $\lim_{x\to +\infty}\ F(x)$, come faccio a dimostrare che $f(t)=\frac{t^2}{e^{t^2}}$ è un infinitesimo di ordine maggiore ad $\alpha$ con $\alpha\ge 1$ ???
Ho provato a confrontarla con $\frac{1}{t^2}$ ma non ho ottenuto grandi risultati T_T
altro piccolo dubbio:
Se volessi vedere se la funzione integranda è integrabile in senso generalizzato su [tex][0,+\infty[[/tex] (visto che abbiamo scoperto che $f(t)$ è continua su tale insieme e dunque Riemann integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato $[0, x]$) stabilendo se esiste finito il limite $\lim_{x\to +\infty}\ F(x)$, come faccio a dimostrare che $f(t)=\frac{t^2}{e^{t^2}}$ è un infinitesimo di ordine maggiore ad $\alpha$ con $\alpha\ge 1$ ???
Ho provato a confrontarla con $\frac{1}{t^2}$ ma non ho ottenuto grandi risultati T_T
"Orlok":
Ma in quel caso non dovremmo estendere il dominio della funzione integrale a tutto $RR$ ?
Non necessariamente, rileggi bene ciò che ho scritto prima (ho editato il post).
"Orlok":
come faccio a dimostrare che $f(t)=\frac{t^2}{e^{t^2}}$ è un infinitesimo di ordine maggiore ad $\alpha$ con $\alpha\ge 1$ ???
Ho provato a confrontarla con $\frac{1}{t^2}$ ma non ho ottenuto grandi risultati T_T
Dovresti verificare che $lim_(t->+oo) (t^{alpha+2})/(e^(t^2))=0$ per ogni $alpha>0$...
Lo verifichi con De L'Hopital: fai tante derivate al numeratore e al denominatore finché non ottieni al numeratore una costante
(al denominatore non la otterrai mai): a questo punto hai il limite di una costante divisa per un oggetto che tende all'infinito, quindi anche il limite iniziale è 0...
Questo ragionamento però, effettivamente, va bene se $alpha$ è un numero intero positivo...
Nel caso che fosse un generico numero reale positivo, occorre una dimostrazione più sofisticata...
Però in fin dei conti, correggimi se sbaglio, dato che ho scoperto che $e^{t^2}$ è un infinito, per $t\to +\infty$ di ordine maggiore di $t^2$ che è di ordine $2$ automaticamente mi sono messo nelle ipotesi della condizione sufficiente, no? :O
In realtà $e^(t^2)$ è un infinito di ordine superiore a ogni potenza ad esponente reale e positivo di $t$. Per cui sì, sei nella condizione sufficiente e $t^2/(e^(t^2))$ è certamente integrabile impropriamente su $(0,+oo)$ (ma anche su tutto $RR$ lo è).
Si proprio di quella parlo :O
Un' ultima cosa senza uscire troppo OT:
Per quanto riguarda la condizione sufficiente secondo la quale una funzione è un infinito di ordine minore o uguale ad un $\alpha< 1$ quando $x\to 0^+$ è integrabile in senso improprio su [tex]]0,1][/tex], si può rendere più generale?
Nel senso...si può dire:
Data una funzione definita su $I$ tale che $\lim_{x\to x_0} f(x)$ (con $x_0$ di accumulazione per $I$), è un infinito di ordine minore o uguale ad un $\alpha< 1$ quando $x\to 0^+$ è integrabile in senso improprio su [tex]]x_0,b][/tex] $\forall b>x_0$ ???
Spero di essere stato sufficientemente chiaro nel porre la domanda.
Per quanto riguarda la condizione sufficiente secondo la quale una funzione è un infinito di ordine minore o uguale ad un $\alpha< 1$ quando $x\to 0^+$ è integrabile in senso improprio su [tex]]0,1][/tex], si può rendere più generale?
Nel senso...si può dire:
Data una funzione definita su $I$ tale che $\lim_{x\to x_0} f(x)$ (con $x_0$ di accumulazione per $I$), è un infinito di ordine minore o uguale ad un $\alpha< 1$ quando $x\to 0^+$ è integrabile in senso improprio su [tex]]x_0,b][/tex] $\forall b>x_0$ ???
Spero di essere stato sufficientemente chiaro nel porre la domanda.
mmmh...faccio un esempio, effettivamente la domanda forse non è delle più chiare:
Io ho la funzione $f(x)=\frac{\frac{1}{x-1}}{\ln \frac{1}{x}}$ che sappiamo essere, per $x\to 1^-$ un infinito di ordine inferiore ad 1 ma superiore a qualunque $\beta\in (0,1)$. Possiamo quindi dire, per tali motivi che la funzione non è integrabile in senso improprio per esempio su [tex][\frac{1}{2},1[[/tex] ?
Io ho la funzione $f(x)=\frac{\frac{1}{x-1}}{\ln \frac{1}{x}}$ che sappiamo essere, per $x\to 1^-$ un infinito di ordine inferiore ad 1 ma superiore a qualunque $\beta\in (0,1)$. Possiamo quindi dire, per tali motivi che la funzione non è integrabile in senso improprio per esempio su [tex][\frac{1}{2},1[[/tex] ?
Forse ho sbagliato di nuovo. E' che ho molta confusione riguardo le condizioni sufficienti per l'integrabilità in senso generalizzato.
Avrei da vedere se la funzione $f(x)=\frac{\frac{1}{x-1}}{\ln \frac{1}{x}}$ è integrabile in senso generalizzato su [tex][\frac{1}{2}, 1[[/tex]. Che tipo di ragionamento dovrei fare? Perchè mi sono reso conto che quelli fatti sin'ora sono sbagliati.
Allora...la funzione so che è definita su $\mathbb{R}_{+}-{1}$ e affinchè risulti integrabile in senso improprio su quell'intervallo devo vedere come si comporta per $x\to 1^-$ , no?
Avrei da vedere se la funzione $f(x)=\frac{\frac{1}{x-1}}{\ln \frac{1}{x}}$ è integrabile in senso generalizzato su [tex][\frac{1}{2}, 1[[/tex]. Che tipo di ragionamento dovrei fare? Perchè mi sono reso conto che quelli fatti sin'ora sono sbagliati.
Allora...la funzione so che è definita su $\mathbb{R}_{+}-{1}$ e affinchè risulti integrabile in senso improprio su quell'intervallo devo vedere come si comporta per $x\to 1^-$ , no?
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